【数学】2021届新高考一轮复习北师大版第六章第一讲　平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算学案 11页

第六章　平面向量 第一讲　平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎1.[改编题]给出下列命题:‎ ‎①向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;‎ ‎②两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件;‎ ‎③若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反,则a+b与a,b两者之一的方向相同;‎ ‎④两个有共同起点的相等向量,其终点必相同;‎ ‎⑤若向量AB与向量CD是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上;‎ ‎⑥λa=0(λ为实数),则λ必为0.‎ 其中叙述正确的命题的序号是(　　)‎ A.①② B.③④ C.②④ D.⑤⑥‎ ‎2.[2015新课标全国Ⅰ]设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则(　　)‎ A.AD= - ‎1‎‎3‎AB‎+‎4‎‎3‎AC ‎ B.‎AD‎=‎1‎‎3‎AB-‎‎4‎‎3‎AC C.AD‎=‎4‎‎3‎AB+‎‎1‎‎3‎AC D.‎AD‎=‎4‎‎3‎AB-‎‎1‎‎3‎AC ‎3.[2020百校联考]已知A( - 1,2),B(2, - 1),若点C满足AC‎+‎AB=0,则点C的坐标为(　　)‎ A.(‎1‎‎2‎,‎1‎‎2‎) B.( - 3,3) C.(3, - 3) D.( - 4,5)‎ ‎4.[2019全国卷Ⅱ]已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a - b|=(　　)‎ A.‎2‎ B.2 C.5‎2‎ D.50‎ ‎5.[浙江高考]记max{x,y}=x,x≥y,‎y,x0,n>0),则m+2n的最小值为(　　)‎ 图6-1-4‎ A.3 B.4 C.‎8‎‎3‎ D.‎10‎‎3‎ ‎ 考法3 平面向量的坐标运算及应用 命题角度1　平面向量的坐标运算 ‎6给定平面内三个向量a=(3,2),b=( - 1,2),c=(4,1).‎ ‎(1)求满足a=mb+nc的实数m,n的值;‎ ‎(2)若(a+kc)∥(2b - a),求实数k的值;‎ ‎(3)若d满足(d - c)∥(a+b),且|d - c|=‎5‎,求d的坐标.‎ ‎(1)直接利用向量的坐标运算得到关于m,n的方程组;(2)根据向量平行的坐标表示,‎ 得到关于k的方程;(3)根据给出的两个条件,利用坐标运算可得到关于向量d的坐标的方程组.解以上方程(组)即可.‎ ‎(1)由题意得(3,2)=m( - 1,2)+n(4,1),‎ 所以‎-m+4n=3,‎‎2m+n=2,‎解得m=‎5‎‎9‎,‎n=‎8‎‎9‎.‎ ‎(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b - a=( - 5,2),‎ 由题意得2×(3+4k) - ( - 5)×(2+k)=0,解得k= - ‎16‎‎13‎.‎ ‎(3)设d=(x,y),则d - c=(x - 4,y - 1),‎ 又a+b=(2,4),|d - c|=‎5‎,‎ 所以‎4(x-4)-2(y-1)=0,‎‎(x-4‎)‎‎2‎+(y-1‎)‎‎2‎=5,‎解得x=3,‎y=-1‎或x=5,‎y=3.‎ 所以d的坐标为(3, - 1)或(5,3).‎ 命题角度2　坐标法在向量中的应用 ‎7[2017全国卷Ⅲ]在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.3 B.2‎2‎ C.‎5‎ D.2‎ 根据已知画出图形,通过建立平面直角坐标系,运用坐标法求解.‎ 以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立如图6- 1 - 5所示的平面直角坐标系,‎ 图6-1-5‎ 则A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2).可得直线BD的方程为2x+y - 2=0,点C到直线BD的距离d=‎2‎‎1‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎‎=‎‎2‎‎5‎,‎ 所以圆C的方程为(x - 1)2+(y - 2)2=‎4‎‎5‎. ‎ 因为点P在圆C上,‎ 所以可设P(1+‎2‎‎5‎‎5‎cos θ,2+‎2‎‎5‎‎5‎sin θ).‎ 易知AB=(1,0),AD=(0,2),AP=λAB+μAD=(λ,2μ),‎ 所以‎1+‎2‎‎5‎‎5‎cosθ=λ,‎‎2+‎2‎‎5‎‎5‎sinθ=2μ,‎所以λ+μ=2+‎2‎‎5‎‎5‎cos θ+‎5‎‎5‎sin θ=2+sin(θ+φ)≤3,其中φ满足tan φ=2.所以λ+μ的最大值为3.‎ A 解后反思　‎ 本题先通过建立平面直角坐标系,引入向量的坐标运算,然后用三角函数的知识求出λ+μ的最大值.引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决,体现了用坐标法解决问题的优势.‎ ‎3.给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为‎2π‎3‎.如图6 - 1 - 6所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动.若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,则x+y的最大值为　　　　. ‎ 图6-1-6‎ ‎1.C　对于①,当a=0时,不正确;‎ 对于②,根据平行向量和相等向量的定义可知正确;‎ 对于③,当a+b=0时,a+b的方向是任意的,它可以与a,b的方向都不相同,故③不正确;‎ 对于④,由相等向量的定义可知,④正确;‎ 对于⑤,若向量AB与向量CD是共线向量,由共线向量的定义可知,点A,B,C,D不一定在同一条直线上,故⑤不正确;‎ 对于⑥,当a=0时,不论λ为何值,λa=0,故⑥不正确.故选C.‎ ‎2.A　由题意得AD‎=AC+CD=AC+‎1‎‎3‎BC=AC+‎1‎‎3‎AC - ‎‎1‎‎3‎AB= - ‎1‎‎3‎AB‎+‎‎4‎‎3‎AC,故选A.‎ ‎3.D　设C(x,y),由AC‎+‎AB=0得AC‎=‎BA,即(x+1,y - 2)=( - 3,3),所以x+1= - 3,‎y - 2=3,‎解得x= - 4,‎y=5,‎所以点C的坐标为( - 4,5),故选D.‎ ‎4.A　依题意得a - b=( - 1,1),|a - b|=‎( - 1‎)‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎‎=‎‎2‎,因此选A.‎ ‎5.D　对于min{|a+b|,|a - b|}与min{|a|,|b|}的比较,相当于把以|a|与|b|为邻边的平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长度的较小者比较,它们的大小关系不定,因此A,B均错.而|a+b|,|a - b|中的较大者与|a|,|b|可构成非锐角三角形的三边,因此有max{|a+b|2,|a - b|2}≥|a|2+|b|2,故选D.‎ ‎6.‎1‎‎2‎　由题意得2a+b=(4,2),因为c=(1,λ),且c∥(2a+b),所以1×2=4λ,即λ=‎1‎‎2‎.‎ ‎7.‎1‎‎2‎　由于λa+b与a+2b平行,所以存在唯一实数μ,使得λa+b=μ(a+2b),即(λ - μ)a+(1 - 2μ)b=0.‎ 因为向量a,b不平行,所以λ - μ=0,1 - 2μ=0,解得λ=μ=‎1‎‎2‎.‎ ‎8.‎1‎‎2‎　 - ‎1‎‎6‎　由题中条件得MN‎=MC+CN=‎1‎‎3‎AC+‎1‎‎2‎CB=‎1‎‎3‎AC+‎‎1‎‎2‎(AB‎ - ‎AC)=‎1‎‎2‎AB‎ - ‎‎1‎‎6‎AC=xAB+yAC,所以x=‎1‎‎2‎,y= - ‎1‎‎6‎.‎ ‎1.C　解法一　根据图形,由题意可得AE‎=AB+BE=AB+‎2‎‎3‎BC=AB+‎‎2‎‎3‎(BA‎+AD+‎DC)=‎1‎‎3‎AB‎+‎‎2‎‎3‎(AD‎+‎DC)=‎1‎‎3‎AB‎+‎‎2‎‎3‎(AD‎+‎‎1‎‎4‎AB)=‎1‎‎2‎AB‎+‎‎2‎‎3‎AD.‎ 因为AE=rAB+sAD,所以r=‎1‎‎2‎,s=‎2‎‎3‎,所以2r+3s=1+2=3.‎ 解法二　因为BE=2EC,所以AE‎ - ‎AB=2(AC‎ - ‎AE),‎ 整理,得AE‎=‎1‎‎3‎AB+‎2‎‎3‎AC=‎1‎‎3‎AB+‎‎2‎‎3‎(AD‎+‎DC)=‎1‎‎2‎AB‎+‎‎2‎‎3‎AD,以下同解法一. ‎ 解法三　如图D 6 - 1 - 1,延长AD,BC交于点P,‎ 图D 6 - 1 - 1‎ 则由DC‎=‎‎1‎‎4‎AB得DC∥AB,且AB=4DC.‎ 又BE=2EC,所以E为PB的中点,且AP‎=‎‎4‎‎3‎AD.‎ 所以AE‎=‎‎1‎‎2‎(AB‎+‎AP)=‎1‎‎2‎(AB‎+‎‎4‎‎3‎AD)=‎1‎‎2‎AB‎+‎‎2‎‎3‎AD.‎ 以下同解法一.‎ 解法四　如图D 6 - 1 - 2,建立平面直角坐标系xAy,‎ 图D 6 - 1 - 2‎ 依题意可设点B(4m,0),D(3m,3h),E(4m,2h),其中m>0,h>0.‎ 由AE=rAB+sAD,得(4m,2h)=r(4m,0)+s(3m,3h),‎ 所以‎4m=4mr+3ms,‎‎2h=3hs,‎解得r=‎1‎‎2‎,‎s=‎2‎‎3‎,‎ 所以2r+3s=1+2=3.‎ ‎【解后反思】　解法一侧重利用向量加法运算及其几何意义进行分析;解法二的切入点是根据向量等式BE=2EC,将向量AE用向量AB,AC线性表示;解法三巧作辅助线,利用向量等式DC‎=‎‎1‎‎4‎AB表示的几何意义进行分析;解法四通过建立平面直角坐标系,借助向量的坐标运算进行求解.‎ ‎2.(1)B　解法一　因为a与b共线,所以存在唯一实数μ,使得a=μb,即 - 3e1 - e2=μ(e1 - λe2).故μ= - 3, - λμ= - 1,解得λ= - ‎1‎‎3‎.故选B.‎ 解法二　因为向量e1,e2是平面内的一组基底,故由a与b共线可得,‎1‎‎ - 3‎‎=‎‎ - λ‎ - 1‎,解得λ= - ‎1‎‎3‎.故选B.‎ ‎【解后反思】　本题中的解法二实质就是类比两向量共线的坐标条件——对应坐标成比例.显然,a与b在e1,e2这组基底下的坐标可以分别表示为( - 3, - 1),(1, - λ),故两个向量共线的条件为‎1‎‎ - 3‎‎=‎‎ - λ‎ - 1‎.‎ ‎(2)A　解法一　连接AP,因为BP=2PC,所以BP‎=‎‎2‎‎3‎BC,‎ 则AP‎=AB+‎BP ‎=AB‎+‎‎2‎‎3‎(AC‎ - ‎AB)‎ ‎=‎‎1‎‎3‎AB‎+‎‎2‎‎3‎AC ‎=‎1‎‎3mAM‎+‎‎2‎‎3nAN.‎ 因为M,P,N三点共线,所以‎1‎‎3m‎+‎‎2‎‎3n=1,所以m=n‎3n - 2‎.‎ 由m>0,n>0,得3n - 2>0,‎ 所以m+2n=n‎3n - 2‎+2n ‎=‎‎6n‎2‎ - 3n‎3n - 2‎ ‎=‎‎2‎‎3‎‎(3n - 2‎)‎‎2‎+‎5‎‎3‎(3n - 2)+‎‎2‎‎3‎‎3n - 2‎ ‎=‎2‎‎3‎(3n - 2+‎1‎‎3n - 2‎)+‎‎5‎‎3‎ ‎≥‎2‎‎3‎×2+‎‎5‎‎3‎ ‎=3,‎ 当且仅当3n - 2=‎1‎‎3n - 2‎,即n=1时等号成立.‎ 当n=1时,m=n‎3n - 2‎=1.‎ 所以m+2n的最小值为3.故选A.‎ 解法二　由解法一可得‎1‎‎3m‎+‎‎2‎‎3n=1,‎ 所以m+2n=(m+2n)(‎1‎‎3m‎+‎‎2‎‎3n)‎ ‎=‎‎1‎‎3‎‎+‎4‎‎3‎+‎2n‎3m+‎‎2m‎3n ‎=‎5‎‎3‎‎+‎‎2‎‎3‎(nm‎+‎mn).‎ 因为m>0,n>0,所以由基本不等式可得‎5‎‎3‎‎+‎‎2‎‎3‎(nm‎+‎mn)≥‎5‎‎3‎‎+‎‎2‎‎3‎×2nm‎×‎mn‎=‎5‎‎3‎+‎‎4‎‎3‎=3,‎ 当且仅当nm‎=‎mn,即m=n时等号成立.‎ 又‎1‎‎3m‎+‎‎2‎‎3n=1,所以m=n=1.‎ 所以m+2n的最小值为3.故选A.‎ ‎3.2　以O为坐标原点,OA的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,如图D 6 - 1 - 3所示,‎ 图D 6 - 1 - 3‎ 则A(1,0),B( - ‎1‎‎2‎,‎3‎‎2‎).‎ 设∠AOC=α,α∈[0,‎2π‎3‎],则C(cos α,sin α).‎ 由OC=xOA+yOB,得cosα=x - ‎1‎‎2‎y,‎sinα=‎3‎‎2‎y,‎ 所以x=cos α+‎3‎‎3‎sin α,y=‎2‎‎3‎‎3‎sin α,‎ 所以x+y=cos α+‎3‎sin α=2sin(α+π‎6‎).‎ 又α∈[0,‎2π‎3‎],所以当α=π‎3‎时,x+y取得最大值2.‎