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- 2021-06-16 发布
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第三讲 分类讨论思想
思想方法诠释
分类讨论思想:是当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结论,最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零,各个击破,再集零为整”的数学思想.
要点一 由概念、性质、运算引起的分类讨论
[解析] (1)f(1)=e1-1=e0=1,要使f(1)+f(a)=2,则需f(a)=1.
当a≥0时,由f(a)=ea-1=1得a-1=0,即a=1;
当-13时,
由≥tan,得≥tan60°,
解得m≥9.
综上,m的取值范围是(0,1]∪[9,+∞).
(2)函数f(x)=-2+的图象的对称轴为x=,应分<-1,-1≤≤1,>1,即a<-2,-2≤a≤2和a>2三种情形讨论.
①当a<-2时,由图(1)可知f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=-1-a=-(a+1),由-(a+1)=4,得a=
-5,满足题意.
②当-2≤a≤2时,由图(2)可知f(x)在[-1,1]上的最大值为f=,由=4,得a=±4(舍去).
③当a>2时,由图(3)可知f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=a-1,由a-1=4,得a=5,满足题意.
综上可知,a=5或-5.
[答案] (1)A (2)5或-5
几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论
(1)二次函数对称轴的变化;
(2)函数问题中区间的变化;
(3)函数图象形状的变化;
(4)直线由斜率引起的位置变化;
(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化;
(6)立体几何中点、线、面的位置变化等.
[对点训练]
3.(2017·江南十校联考)已知变量x,y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域,则实数k=( )
A.- B. C.0 D.-或0
[解析] 不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示,由图可知,若要使不等式组表示的平面区域是直角三角形,只有当直线y=kx+1与直线x=0或y=2x垂直时才满足.
结合图形可知斜率k的值为0或-,故选D.
[答案] D
4.(2017·宁波统考)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,△ABC的面积为,则a的值为________.
[解析] 由三角形面积公式,得×3×1·sinA=.
故sinA=.
因为sin2A+cos2A=1,
所以cosA=±=± =±.
①当cosA=时,由余弦定理,得
a2=b2+c2-2bccosA=32+12-2×1×3×=8.
所以a=2.
②当cosA=-时,由余弦定理,得
a2=b2+c2-2bccosA=32+12-2×1×3×=12,所以a=2.
综上a=2或2.
[答案] 2或2
要点三 由参数变化引起的分类讨论
[解] (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).
(ⅰ)若a≤0,则f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)单调递减.
(ⅱ)若a>0,则由f′(x)=0得x=-lna.
当x∈(-∞,-lna)时, f′(x)<0;当x∈(-lna,+∞)时,f′(x)>0.
所以f(x)在(-∞,-lna)单调递减,在(-lna,+∞)单调递增.
(2)(ⅰ)若a≤0,由(1)知,f(x)至多有一个零点.
(ⅱ)若a>0,由(1)知,当x=-lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(-lna)=1-+lna.
①当a=1时,由于f(-lna)=0,故f(x)只有一个零点;
②当a∈(1,+∞)时,由于1-+lna>0,即f(-lna)>0,故f(x)没有零点;
③当a∈(0,1)时,1-+lna<0,即f(-lna)<0.
又f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0,故f(x)在(-∞,-lna)有一个零点.
设正整数n0满足n0>ln,则f(n0)=en0(aen0+a-2)-n0>en0-n0>2n0-n0>0.
由于ln>-lna,因此f(x)在(-lna,+∞)有一个零点.
综上,a的取值范围为(0,1).
由参数变化引起分类讨论的关注点
若遇到题目中含有参数的问题,常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论,本例(1)中f ′(x)=0会得出aex=1,因ex>0,故应分a≤0,a>0讨论.(2)中当a>0时,函数f(x)的零点与f(x)的最小值相关,故讨论的依据是f(x)的最小值的正负情况.此种题目为含参型,应全面分析参数变化引起结论的变化情况,参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想,分类要做到分类标准明确,不重不漏.
[对点训练]
5.(2017·广东江门一模)设函数f(x)=ex-ax,a是常数.
(1)若a=1,且曲线y=f(x)的切线l经过坐标原点(0,0),求该切线的方程;
(2)讨论f(x)的零点的个数.
[解] (1)a=1时, f(x)=ex-x,
f′(x)=ex-1
设切点坐标是(m,em-m),
则k=f′(m)=em-1,
故切线方程是:y-(em-m)=(em-1)(x-m).
由0-(em-m)=(em-1)(0-m),
得m=1,
所求切线为:y=(e-1)x.
(2)f′(x)=ex-a,①当a>0时,由f′(x)=0得x=lna.
若xlna,则f′(x)>0.
函数f(x)在区间(-∞,lna)上单调递减,在区间(lna,+∞)上单调递增,f(x)的最小值为f(lna)=a(1-lna).
(ⅰ)00,f(x)无零点.
(ⅱ)a=e时,f(lna)=a(1-lna)=0,
f(x)只有一个零点.
(ⅲ)a>e时,f(lna)=a(1-lna)<0,根据f(0)=1>0与函数的单调性,
f(x)在区间(-∞,lna)和(lna,+∞)各有一个零点,f(x)共有两个零点.
②a=0时,f(x)=ex,f(x)无零点.
③a<0时,由f(x)=0得,ex=ax,
因为曲线y=ex与y=ax只有一个交点,所以f(x)只有一个零点.
综上所述,0≤ae时,f(x)有两个零点.
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1.分类讨论的原则
(1)不重不漏.
(2)标准要统一,层次要分明.
(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟,决不无原则地讨论.
2.分类讨论的思维流程
明确讨论的对象和动机―→确定分类的标准―→逐类进行讨论―→归纳综合结论―→检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集,并集是否为全集).
分类讨论思想的本质是“化整为零,积零为整”.