【数学】2019届一轮复习苏教版第2章函数概念与基本初等函数I第13讲学案 16页

第 13 讲　函数模型及其应用 考试要求　1.指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征(A 级要求)；2.函数模 型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的广泛应用(B 级要求). 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数 y＝2x 的函数值比 y＝x2 的函数值大.(　　) (2)“指数爆炸”是指数型函数 y＝abx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增长速度越来越快 的形象比喻.(　　) (3)幂函数增长比直线增长更快.(　　) (4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当 x∈(4，＋∞)时，恒有 h(x)＜f(x)＜g(x).(　　) 解析　(1)当 x＝－1 时，y＝2x＝1 2，y＝x2＝1，故(1)错. (2)“指数爆炸”是针对 b>1，a>0 的指数函数，故(2)错.(3)y＝x 1 2 在(1，＋∞)上 比 y＝x 的增长速度慢，错误. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(教材改编)某汽车油箱中存油 22 千克，油从管道中匀速流出，200 分钟流尽， 油箱中剩油量 y(千克)与流出时间 x(分钟)之间的函数关系式为________. 解析　流速为 22 200＝ 11 100，x 分钟可流 11 100x，则 y＝22－ 11 100x(0≤x≤200). 答案　y＝22－ 11 100x(0≤x≤200) 3.(教材改编)某商人将彩电先按原价提高 40 ，然后“八折优惠”，结果是每台彩 电比原价多赚 270 元，那么每台彩电原价是________元. 解析　设每台原价是 a 元，则 a(1＋40 )·80 ＝a＋270，解得 a＝2 250. 答案　2 250 4.(2017·南京、盐城模拟)用长度为 24 的材料围一矩形场地，并用该材料在中间 加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________. 解析　设隔墙的长为 x(0＜x＜6)，矩形面积为 y，则 y＝x×24－4x 2 ＝2x(6－x)＝ －2(x－3)2＋18，∴当 x＝3 时，面积 y 最大. 答案　3 5.(必修 1P100 练习 3 改编)某商品在近 30 天内每件的销售价格 P(单位：元)与销 售时间 t(单位：天)的函数关系为 P＝{t＋20，0 < t < 25， －t＋100，25 ≤ t ≤ 30，t∈N，且该商 品的日销售量 Q(单位：件)与销售时间 t(单位：天)的函数关系为 Q＝－t＋ 40(0y2，即“如意卡”便宜； 当 x>966 2 3时，y10)时， 销售量 q(x)(单位：百台)与 x 的关系满足：若 x 不超过 20，则 q(x)＝1 260 x＋1 ；若 x 大于或等于 180，则销售量为零；当 20≤x≤180 时，q(x)＝a－b x(a，b 为实 常数). (1)求函数 q(x)的表达式； (2)当 x 为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值. 解　(1)当 20≤x≤180 时，由{a－b· 20＝60， a－b· 180＝0，得{a＝90， b＝3 5. 故 q(x)＝{1 260 x＋1 ，0 < x ≤ 20， 90－3 5 x，20 < x < 180， 0，x ≥ 180. (2)设总利润 f(x)＝x·q(x)， 由(1)得 f(x)＝{126 000x x＋1 ，0 < x ≤ 20， 9 000x－300 5·x x，20 < x < 180， 0，x ≥ 180， 当 00，f(x)单调递增， 当 80 lg 1 4 lg 0.9. 又 lg 1 4 lg 0.9＝ －2lg 2 2lg 3－1 ＝ －0.602 0 0.954 2－1 ＝－0.602 0 －0.045 8 ≈13.14， 且 x∈N*，所以 xmin＝14. 答：至少通过 14 块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的1 4以下. 命题角度 3　构造分段函数模型 【例 3－3】 (2018·盐城质检)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交 通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度 v(单位：千米/小时)是车流密度 x(单位： 辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速 度为 0 千米/小时；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时， 研究表明：当 20≤x≤200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时，求函数 v(x)的表达式； (2)当车流密度 x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单 位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值.(精确到 1 辆/小时) 解　(1)由题意可知当 0≤x<20 时，v(x)＝60；当 20≤x≤200 时，设 v(x)＝ax＋b， 显然 v(x)＝ax＋b 在[20，200]上是减函数，由已知得{200a＋b＝0， 20a＋b＝60，解得{a＝－1 3， b＝200 3 ， 故函数 v(x)的表达式为 v(x)＝{60，0 ≤ x < 20， 1 3（200－x），20 ≤ x ≤ 200. (2)依题意并由(1)可得 f(x)＝{60x，0 ≤ x < 20， 1 3x（200－x），20 ≤ x ≤ 200， 当 0≤x<20 时，f(x)为增函数，故当 x＝20 时，其最大值为 60×20＝1 200；当 20≤x≤200 时，f(x)＝1 3x(200－x)≤1 3[x＋（200－x） 2 ] 2 ＝10 000 3 ，当且仅当 x＝ 200－x，即 x＝100 时，等号成立，所以，当 x＝100 时，f(x)在区间[20，200]上 取得最大值10 000 3 . 综上，当 x＝100 时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值10 000 3 ≈3 333. 答：当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约 3 333 辆/小 时. 规律方法　解函数应用题的一般程序： 第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步：(建模)将文字语言转化成数 语言，用数 知识建立相应的数 模型； 第三步：(解模)求解数字模型，得到数 结论； 第四步：(还原)将用数 方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步：(反思)对于数 模型得到的数 结果，必须验证这个数 结果对实际问题 的合理性. 【训练 3】 (2018·南京调研)某市对城市路 进行改造，拟在原有 a 个标段(注：一 个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建 x 个标段和 n 个道路交叉口， 其中 n 与 x 满足 n＝ax＋5.已知新建一个标段的造价为 m 万元，新建一个道路交 叉口的造价是新建一个标段的造价的 k 倍. (1)写出新建道路交叉口的总造价 y(万元)与 x 的函数关系式； (2)(一题多解)设 P 是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比.若新建 的标段数是原有标段数的 20 ，且 k≥3.问：P 能否大于 1 20，说明理由. 解　(1)依题意得 y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N*. (2)法一　依题意 x＝0.2a， 所以 P＝mx y ＝ x k（ax＋5）＝ 0.2a k（0.2a2＋5）＝ a k（a2＋25） ≤ a 3（a2＋25）＝ 1 3(a＋25 a ) ≤ 1 3 × (2 a × 25 a ) ＝ 1 30< 1 20. P 不可能大于 1 20. 法二　依题意 x＝0.2a， 所以 P＝mx y ＝ x k（ax＋5）＝ 0.2a k（0.2a2＋5）＝ a k（a2＋25）. 假设 P> 1 20，则 ka2－20a＋25k<0. 因为 k≥3，所以 Δ＝100(4－k2)<0，不等式 ka2－20a＋25k<0 无解，假设不成立.P 不可能大于 1 20. 一、必做题 1.给出下列函数模型：①一次函数模型；②幂函数模型；③指数函数模型；④对 数函数模型.下表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，它最可能的函数模型 是________(填序号). x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 解析　根据已知数据可知，自变量每增加 1 函数值增加 2，因此函数值的增量是 均匀的，故为一次函数模型. 答案　① 2.某工厂 6 年来生产某种产品的情况是：前 3 年年产量的增长速度越来越快，后 3 年年产量保持不变，则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t(年)的函数关 系图象正确的是________(填序号). 解析　前 3 年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，∴前三年的斜率在 逐渐增大，∴图象呈现下凹的情形，只有①，③图象符合要求，而后 3 年年产量 保持不变，总产量增加，故①正确，③错误. 答案　① 3.(2018·盐城月考)某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月 用水不超过 10 m3 的，按每立方米 m 元收费；用水超过 10 m3 的，超过部分加倍 收费.某职工某月缴水费 16m 元，则该职工这个月实际用水为______m3. 解析　设该职工用水 x m3 时，缴纳的水费为 y 元， 由题意得 y＝{mx（0 < x ≤ 10）， 10m＋（x－10）·2m（x > 10）， 则 10m＋(x－10)·2m＝16m，解得 x＝13. 答案　13 4.(2018·南通模拟)某汽车销售公司在 A，B 两地销售同一种品牌的汽车，在 A 地 的销售利润(单位：万元)为 y1＝4.1x－0.1x2，在 B 地的销售利润(单位：万元)为 y2 ＝2x，其中 x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售 16 辆该种品牌的汽车， 则能获得的最大利润是________万元. 解析　设公司在 A 地销售该品牌的汽车 x 辆，则在 B 地销售该品牌的汽车(16－x) 辆，所以可得利润 y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－21 2 ) 2 ＋0.1×212 4 ＋32.因为 x∈[0，16]且 x∈N，所以当 x＝10 或 11 时，总利润取得 最大值 43 万元. 答案　43 5.(2017·长春模拟)一个容器装有细沙 a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢 慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y＝ae－bt(cm3)，经过 8 min 后发现容器 内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之 一. 解析　当 t＝0 时，y＝a，当 t＝8 时，y＝ae－8b＝1 2a， ∴e－8b＝1 2，容器中的沙子只有开始时的八分之一时， 即 y＝ae－bt＝1 8a，e－bt＝1 8＝(e－8b)3＝e－24b， 则 t＝24，所以再经过 16 min. 答案　16 6.A，B 两只船分别从在东西方向上相距 145 km 的甲乙两地开出.A 从甲地自东向 西行驶.B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是 40 kmh，B 的速度是 16 kmh， 经过________h，AB 间的距离最短. 解析　设经过 x h，A，B 相距为 y km，则 y＝ （145－40x）2＋（16x）2＝ 1 856x2－11 600x＋1452(0≤x≤29 8 )，求得函数的最小值时 x 的值为25 8 . 答案　25 8 7.(2018·苏州模拟)某种病毒经 30 分钟繁殖为原来 2 倍，且知病毒的繁殖规律为 y ＝ekt(其中 k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则 k＝ ________；经过 5 小时，1 个病毒能繁殖为________个. 解析　当 t＝0.5 时，y＝2，∴2＝e 1 2k， ∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2， 当 t＝5 时，y＝e10ln 2＝210＝1 024. 答案　2ln 2　1 024 8.(2018·淮安模拟)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩 形花园(阴影部分)，则其边长 x 为________m. 解析　设内接矩形另一边长为 y， 则由相似三角形性质可得 x 40＝40－y 40 ， 解得 y＝40－x， 所以面积 S＝x(40－x)＝－x2＋40x ＝－(x－20)2＋400(015， 模拟函数 2：y＝14－23－x 也是单调递增函数，当 x＝12 时，y<15，所以应该选用 模拟函数 2：y＝14－23－x. 当 x＝6 时，y＝14－23－6＝13.875. 所以预测 6 月份的产量为 13.875 万件. 10.(2018·常州一中高三质检)某品牌茶壶的原售价为 80 元/个，今有甲、乙两家茶 具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只买一个茶壶，其价格为 78 元/ 个，如果一次购买两个茶壶，其价格为 76 元/个，……，一次购买的茶壶数每增 加一个，茶壶的价格减少 2 元/个，但茶壶的售价不得低于 44 元/个；乙店一律按 原价的 75 销售.现某茶社要购买这种茶壶 x 个，如果全部在甲店购买，则所需金 额为 y1 元；如果全部在乙店购买，则所需金额为 y2 元. (1)分别求出 y1、y2 与 x 之间的函数关系式； (2)该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？ 解　(1)对甲茶具店而言：每个售价为(80－2x)元，此时 0≤x≤18，x∈N，当 x>18 时，每个售价为 44 元，所以 y1 与 x 之间的函数关系式为 y1＝{x（80－2x），0 ≤ x ≤ 18，x ∈ N， 44x，x > 18，x ∈ N. 对乙茶具店而言：每个售价为 80×75 ＝60 元， 所以 y2＝60x，x∈N. (2)设甲茶具店比乙茶具店多花费 y 元， 则 y＝y1－y2＝{x（80－2x）－60x，0 ≤ x ≤ 18，x ∈ N， 44x－60x，x > 18，x ∈ N， 即 y＝{－2x2＋20x，0 ≤ x ≤ 18，x ∈ N， －16x，x > 18，x ∈ N， 当 x＝10 时，y＝y1－y2＝0，即 y1＝y2； 当 1≤x<10 时，y＝y1－y2＝－2x(x－10)>0， 即 y1>y2； 当 1018 时，y＝y1－y2＝－16x<0，即 y18. ①当 00，所以当 t＝5 v时，f(t)取最大值 ， 所以(v2－48 5 v＋36)×(5 v ) 2 ≤25，解得 v≥15 4 . ②当 58，所以 1 v－6< 5 v，(v－6)2>0，所以当 t＝13 v 时，f(t)取最大值， 所以(v－6)2(13 v － 1 v－6) 2 ＋9≤25，解得39 8 ≤v≤39 4 . ③当 13≤vt≤16，即13 v ≤t≤16 v 时， f(t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2， 因为 12－6t>0，16－vt>0，所以 f(t)在(13 v ， 16 v )上单调递减， 所以当 t＝13 v 时，f(t)取最大值， (12－6 × 13 v ) 2 ＋(16－v × 13 v ) 2 ≤25，解得39 8 ≤v≤39 4 . 因为 v>8，所以 8