【数学】2018届一轮复习北师大版双曲线 9页

第七节 双曲线 [考纲传真] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决 实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单的 几何性质.3.理解数形结合的思想.4.了解双曲线的简单应用． 1．双曲线的定义 (1)平面内到两定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|) 的点的集合叫作双曲线，定点 F1，F2 叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离 叫作双曲线的焦距． (2)集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c， 其中 a，c 为常数且 a>0，c>0. ①当 2a<|F1F2|时，M 点的轨迹是双曲线； ②当 2a＝|F1F2|时，M 点的轨迹是两条射线； ③当 2a>|F1F2|时，M 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双 曲线．( ) (2)方程x2 m －y2 n ＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线．( ) (3)双曲线方程x2 m2 －y2 n2 ＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2 m2 －y2 n2 ＝0，即x m±y n ＝0.( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．(教材改编)已知双曲线x2 a2 －y2 3 ＝1(a>0)的离心率为 2，则 a＝( ) A．2 B． 6 2 C. 5 2 D．1 D [依题意，e＝c a ＝ a2＋3 a ＝2， ∴ a2＋3＝2a，则 a2＝1，a＝1.] 3．(2017·福州质检)若双曲线 E：x2 9 －y2 16 ＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线 E 上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( ) 【导学号：66482406】 A．11 B．9 C．5 D．3 B [由题意知 a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2|| ＝2a＝6，∴|PF2|＝9.] 4．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程 x2 m2＋n － y2 3m2－n ＝1 表示双曲线，且该双曲线两 焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是( ) A．(－1,3) B．(－1， 3) C．(0,3) D．(0， 3) A [∵原方程表示双曲线，且两焦点间的距离为 4. ∴ m2＋n＋3m2－n＝4， m2＋n3m2－n>0， 则 m2＝1， －m20，b>0)的一条渐近线为 2x ＋y＝0，一个焦点为( 5，0)，则双曲线的方程为__________． x2－y2 4 ＝1 [由于 2x＋y＝0 是x2 a2 －y2 b2 ＝1 的一条渐近线， ∴b a ＝2，即 b＝2a，① 又∵双曲线的一个焦点为( 5，0)，则 c＝ 5， 由 a2＋b2＝c2，得 a2＋b2＝5，② 联立①②得 a2＝1，b2＝4. ∴所求双曲线的方程为 x2－y2 4 ＝1.] 双曲线的定义及应用 (2017·哈尔滨质检)已知双曲线 x2－y2 24 ＝1 的两个焦点为 F1， F2，P 为双曲线右支上一点．若|PF1|＝4 3|PF2|，则△F1PF2 的面积为( ) A．48 B．24 C．12 D．6 B [由双曲线的定义可得 |PF1|－|PF2|＝1 3|PF2|＝2a＝2， 解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10， 由勾股定理可知三角形 PF1F2 为直角三角形，因此 S△PF1F2＝1 2|PF1|×|PF2| ＝24.] [规律方法] 1.应用双曲线的定义需注意的问题： 在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两 定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距 离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义 的转化应用． 2．在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF1|－|PF2||＝2a 平方，建立|PF1|·|PF2|间的联系． [变式训练 1] 已知双曲线 C 的离心率为 2，焦点为 F1，F2，点 A 在 C 上．若 |F1A|＝2|F2A|，则 cos∠AF2F1＝( ) A.1 4 B．1 3 C. 2 4 D． 2 3 A [由 e＝c a ＝2 得 c＝2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|－|F2A|＝2a. 又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a， |F2A|＝2a， ∴cos∠AF2F1＝4a2＋2a2－4a2 2×4a×2a ＝1 4.] 双曲线的标准方程 (1)(2017·广州模拟)已知双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1 的离心率 e＝5 4 ，且其右 焦点为 F2(5,0)，则双曲线 C 的方程为( ) 【导学号：66482407】 A.x2 4 －y2 3 ＝1 B．x2 9 －y2 16 ＝1 C.x2 16 －y2 9 ＝1 D．x2 3 －y2 4 ＝1 (2)(2016·天津高考)已知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的焦距为 2 5，且双曲线 的一条渐近线与直线 2x＋y＝0 垂直，则双曲线的方程为( ) A.x2 4 －y2＝1 B．x2－y2 4 ＝1 C.3x2 20 －3y2 5 ＝1 D．3x2 5 －3y2 20 ＝1 (1)C (2)A [(1)由焦点 F2(5,0)知 c＝5. 又 e＝c a ＝5 4 ，得 a＝4，b2＝c2－a2＝9. ∴双曲线 C 的标准方程为x2 16 －y2 9 ＝1. (2)由焦距为 2 5得 c＝ 5.因为双曲线的一条渐近线与直线 2x＋y＝0 垂直， 所以b a ＝1 2. 又 c2＝a2＋b2，解得 a＝2，b＝1， 所以双曲线的方程为x2 4 －y2＝1. [规律方法] 1.确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定 量”条件．“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定 a，b 的 值，常用待定系数法．若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为 Ax2＋By2＝ 1(AB<0)． 2．对于共焦点、共渐近线的双曲线方程，可灵活设出恰当的形式求解．若 已知渐近线方程为 mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为 m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)． [变式训练 2] (1)(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4， 3)，且渐近线方程为 y＝±1 2x，则该双曲线的标准方程为________________． (2)设椭圆 C1 的离心率为 5 13 ，焦点在 x 轴上且长轴长为 26，若曲线 C2 上的 点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2 的标准方程为 ______． (1)x2 4 －y2＝1 (2)x2 16 －y2 9 ＝1 [(1)∵双曲线的渐近线方程为 y＝±1 2x， ∴可设双曲线的方程为 x2－4y2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4， 3)， ∴λ＝16－4×( 3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x2 4 －y2＝1. (2)由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为 F1(－5,0)，F2(5,0)，设曲线 C2 上的一点 P， 则||PF1|－|PF2||＝8. 由双曲线的定义知：a＝4，b＝3. 故曲线 C2 的标准方程为x2 42 －y2 32 ＝1，即x2 16 －y2 9 ＝1.] 双曲线的简单几何性质 (1)(2016·全国卷Ⅱ)已知 F1，F2 是双曲线 E：x2 a2 －y2 b2 ＝1 的左、 右焦点，点 M 在 E 上，MF1 与 x 轴垂直，sin∠MF2F1＝1 3 ，则 E 的离心率为( ) A. 2 B．3 2 C. 3 D．2 (2)(2017·石家庄调研)设双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的右焦点是 F，左、右顶 点分别是 A1，A2，过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于 B，C 两点．若 A1B⊥A2C， 则该双曲线的渐近线为__________. 【导学号：66482408】 (1)A (2)x±y＝0 [(1)如图，因为 MF1⊥x 轴，所以|MF1|＝b2 a . 在 Rt△MF1F2 中，由 sin∠MF2F1＝1 3 得 tan∠MF2F1＝ 2 4 . 所以|MF1| 2c ＝ 2 4 ，即 b2 2ac ＝ 2 4 ，即c2－a2 2ac ＝ 2 4 ， 整理得 c2－ 2 2 ac－a2＝0， 两边同除以 a2 得 e2－ 2 2 e－1＝0. 解得 e＝ 2(负值舍去)． (2)由题设易知 A1(－a,0)，A2(a,0)，B c，b2 a ，C c，－b2 a . 因为 A1B⊥A2C， 所以 b2 a c＋a · －b2 a c－a ＝－1，整理得 a＝b. 因此该双曲线的渐近线为 y＝±b ax，即 x±y＝0.] [规律方法] 1.(1)求双曲线的渐近线，要注意双曲线焦点位置的影响；(2)求 离心率的关键是确定含 a，b，c 的齐次方程，但一定注意 e>1 这一条件． 2．双曲线中 c2＝a2＋b2，可得双曲线渐近线的斜率与离心率的关系b a ＝ e2－1 e＝c a .抓住双曲线中“六点”、“四线”、“两三角形”，研究 a，b，c， e 间相互关系及转化，简化解题过程． [变式训练 3] (2015·全国卷Ⅱ)已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为( ) A. 5 B．2 C. 3 D． 2 D [不妨取点 M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0， b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°， ∴M 点的坐标为(2a， 3a). ∵M 点在双曲线上，∴4a2 a2 －3a2 b2 ＝1，a＝b， ∴c＝ 2a，e＝c a ＝ 2.故选 D.] [思想与方法] 1．求双曲线标准方程的主要方法： (1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出 a2，b2，得双曲线方程． (2)待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注 意分类讨论或恰当设置简化讨论． ①若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为 Ax2＋By2＝ 1(AB<0)． ②当已知双曲线的渐近线方程 bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方 程为 b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)． ③与双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1 有相同的渐近线的双曲线方程可设为x2 a2 －y2 b2 ＝λ(λ≠0)． 2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程，只需将双曲线的标准方 程中“1”改为“0”即可． [易错与防范] 1．区分双曲线中 a，b，c 的关系与椭圆中 a，b，c 的关系，在椭圆中 a2＝ b2＋c2，在双曲线中 c2＝a2＋b2. 2．双曲线的离心率大于 1，椭圆的离心率 e∈(0,1)．求它们的离心率，不要 忽视这一前提条件，否则会产生增解或扩大取值范围． 3．直线与双曲线有一个公共点时，不一定相切，也可能直线与渐近线平行．