【数学】2020届一轮复习北师大版柯西不等式与排序不等式学案 9页

第三讲 柯西不等式与排序不等式 考情分析 从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，但也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两端是“齐次式”形式的不等式问题．‎ 真题体验 ‎ ‎1．(2017·江苏高考)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8.‎ 证明：由柯西不等式可得：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．‎ 因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，‎ 所以(ac＋bd)2≤64，‎ 因此ac＋bd≤8.‎ ‎2．(2015·陕西高考)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．‎ ‎(1)求实数a，b的值；‎ ‎(2)求＋的最大值．‎ 解：(1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，‎ 则解得 ‎(2)＋＝·＋ ‎≤ ‎＝2＝4，‎ 当且仅当＝，即t＝1时等号成立，‎ 故(＋)max＝4.‎ 利用柯西不等式证明有关不等式问题 柯西不等式的一般形式为(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(ai，bi∈R，i＝1，2，…，n)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解．‎ ‎[例1]　已知a，b为正实数，a＋b＝1，x1，x2为正实数．‎ ‎(1)求＋＋的最小值；‎ ‎(2)求证：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.‎ ‎[解]　(1)∵a，b为正实数，a＋b＝1，x1，x2为正实数，‎ ‎∴＋＋≥3＝3≥‎ ‎3＝6，当且仅当＝＝，a＝b，‎ 即a＝b＝，且x1＝x2＝1时，＋＋有最小值6.‎ ‎(2)证明：∵a，b∈R＋，a＋b＝1，x1，x2为正实数，‎ ‎∴(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)‎ ‎＝[()2＋()2][()2＋()2]≥(＋)2＝x1x2(a＋b)2＝x1x2，‎ 当且仅当x1＝x2时取等号.‎ 利用排序不等式证明有关的不等式问题 排序不等式具有自己独特的体现：多个变量的排列与其大小顺序有关，特别是与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷．‎ ‎[例2]　在△ABC中，试证：≤＜.‎ ‎[证明]　不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C.‎ 由排序不等式，得aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，‎ aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，‎ aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.‎ 以上三式相加，得 ‎3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)．‎ 得≥，①‎ 又由0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b，有 ‎0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b)‎ ‎＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C)‎ ‎＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C)‎ ‎＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)．‎ 得＜.②‎ 由①②得原不等式成立.‎ 利用柯西不等式或排序不等式求最值问题 有关不等式问题往往要涉及到对式子或量的范围的限定．其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易．‎ ‎[例3]　已知5a2＋3b2＝，求a2＋2ab＋b2的最大值．‎ ‎[解]　∵[(a)2＋(b)2]‎ ‎≥2‎ ‎＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，当且仅当5a＝3b即a＝，b＝时取等号．‎ ‎∴a2＋2ab＋b2≤×(5a2＋3b2)＝×＝1.‎ ‎∴a2＋2ab＋b2的最大值为1.‎ ‎[例4]　已知a＋b＋c＝1.‎ ‎(1)求S＝2a2＋3b2＋c2的最小值及取得最小值时a，b，c的值；‎ ‎(2)若2a2＋3b2＋c2＝1，求c的取值范围．‎ ‎[解]　(1)根据柯西不等式，‎ 得1＝a＋b＋c＝·a＋·b＋1·c ‎≤(2a2＋3b2＋c2)＝ ·，‎ 即 ·≥1，∴S≥，当且仅当a＝，‎ b＝，c＝时等号成立，‎ ‎∴当a＝，b＝，c＝时，Smin＝.‎ ‎(2)由条件可得 根据柯西不等式，‎ 得(a＋b)2≤[(a)2＋(b)2]＝×(2a2＋3b2)，‎ ‎∴(1－c)2≤·(1－c2)，解得≤c≤1.‎ ‎∴c的取值范围为.‎ ‎ (时间：90分钟，总分120分)‎ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．设a，b∈R＋且a＋b＝16，则＋的最小值是(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选A　(a＋b)≥2＝4，∴＋≥.‎ 当且仅当·＝×，‎ 即a＝b＝8时取等号．‎ ‎2．已知x＋3y＋5z＝6，则x2＋y2＋z2的最小值为(　　)‎ A. B. C. D．6‎ 解析：选C　由柯西不等式，得x2＋y2＋z2＝(12＋32＋52)(x2＋y2＋z2)×≥(x＋3y＋5z)2×＝62×＝，当且仅当x＝＝时等号成立．‎ ‎3．已知a，b，c为正数且a＋b＋c＝3，则＋＋的最小值为(　　)‎ A．4 B．4 C．6 D．6 解析：选C　∵a，b，c为正数．‎ ‎∴ ＝ ≥a＋b.‎ 同理 ≥b＋c， ≥c＋a，‎ 相加得 (＋＋)≥2(b＋c＋a)＝6，‎ 即＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c＝时取等号．‎ ‎4．设a，b，c均大于0，a2＋b2＋c2＝3，则ab＋bc＋ca的最大值为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．3 D. 解析：选C　设a≥b≥c＞0，由排序不等式得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，所以ab＋bc＋ca≤3，故选C.‎ ‎5．已知a，b，c为正数，则(a＋b＋c)的最小值为(　　)‎ A．1 B. C．3 D．4‎ 解析：选D　(a＋b＋c) ‎＝[()2＋()2] ‎≥2＝22＝4.‎ 当且仅当a＋b＝c时取等号．‎ ‎6．已知(x－1)2＋(y－2)2＝4，则3x＋4y的最大值为(　　)‎ A．21 B．11‎ C．18 D．28‎ 解析：选A　根据柯西不等式得[(x－1)2＋(y－2)2][32＋42]≥[3(x－1)＋4(y－2)]2＝(3x＋4y－11)2，‎ ‎∴(3x＋4y－11)2≤100.‎ 可得3x＋4y≤21，当且仅当＝＝时取等号．‎ ‎7．设a，b，c为正数，a＋b＋4c＝1，则＋＋2的最大值是(　　)‎ A. B. C．2 D. 解析：选B　∵1＝a＋b＋4c＝()2＋()2＋(2)2‎ ‎＝[()2＋()2＋(2)2]·(12＋12＋12)‎ ‎≥(＋＋2)2·，‎ ‎∴(＋＋2)2≤3，当且仅当a＝b＝4c时等式成立，故＋＋2的最大值为.‎ ‎8．函数f(x)＝＋cos x，则f(x)的最大值是(　　)‎ A. B. C．1 D．2‎ 解析：选A　因为f(x)＝＋cos x，‎ 所以f(x)＝ ＋cos x ‎≤ ‎＝，当且仅当cos x＝时取等号．‎ ‎9．若5x1＋6x2－7x3＋4x4＝1，则3x＋2x＋5x＋x的最小值是(　　)‎ A. B. C．3 D. 解析：选B　∵[3x＋2x＋5(－x3)2＋x]≥(5x1＋6x2－7x3＋4x4)2＝1，‎ 即3x＋2x＋5x＋x≥.‎ ‎10．已知a，b，c∈R＋，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是(　　)‎ A．大于零 B．大于等于零 C．小于零 D．小于等于零 解析：选B　设a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3，‎ 根据排序不等式，‎ 得a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a.‎ 又ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，‎ 所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.‎ 所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，‎ 即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中横线上)‎ ‎11．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为________．‎ 解析：∵(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]≥‎ 2＝18，‎ ‎∴＋＋≥2，当且仅当a＝b＝c＝3时等号成立．‎ ‎∴＋＋的最小值为2.‎ 答案：2‎ ‎12．已知A，B，C是三角形三个内角的弧度数，则＋＋的最小值是________．‎ 解析：(A＋B＋C)≥(1＋1＋1)2＝9，而A＋B＋C＝π，故＋＋≥，当且仅当A＝B＝C＝时，等号成立．‎ 答案： ‎13．设有两组实数：a1，a2，a3，…，an与b1，b2，b3，…，bn，且它们满足：a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn，若c1，c2，c3，…，cn是b1，b2，b3，…，bn的任意一个排列，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥a1c1＋a2c2＋…＋ancn≥a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1，反序和与顺序和相等的条件是________．‎ 解析：反序和与顺序和相等，则两组数至少有一组相等．‎ 答案：a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn ‎14．设a，b，c为正数，且a＋2b＋3c＝13，求＋＋的最大值为________．‎ 解析：∵(a＋2b＋3c)≥2＝(＋＋)2，‎ ‎∴(＋＋)2≤.‎ ‎∴＋＋≤.‎ 当且仅当＝＝时取等号．‎ 又a＋2b＋3c＝13，‎ ‎∴a＝9，b＝，c＝时，‎ ＋＋有最大值.‎ 答案： 三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15．(本小题满分12分)已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，求实数a的取值范围．‎ 解：由柯西不等式，得：‎ ‎(2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2，‎ 即2b2＋3c2＋6b2≥(b＋c＋d)2.‎ 由条件可得5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2.‎ 所以实数a的取值范围为[1,2]．‎ ‎16．(本小题满分12分)求函数y＝＋的最大值．‎ 解：由1－sin x≥0,4sin x－1≥0，‎ 得≤sin x≤1，‎ 则y2＝2‎ ‎≤(1＋4) ‎＝，即y≤，‎ 当且仅当4(1－sin x)＝sin x－，即sin x＝时等号成立，所以函数y＝＋的最大值为.‎ ‎17．(本小题满分12分)设a1，a2，…，an是1,2，…，n的一个排列，求证：＋＋…＋≤＋＋…＋.‎ 证明：设b1，b2，…，bn－1是a1，a2，…，an－1的一个排列，‎ 且b1>…>且b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n.‎ 利用排序不等式，有＋＋…＋≥＋＋…＋≥＋＋…＋.‎ ‎∴原不等式成立．‎ ‎18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝|x－2|－3.‎ ‎(1)若f(x)<0，求x的取值范围；‎ ‎(2)在(1)的条件下，求g(x)＝3＋4的最大值．‎ 解：(1)因为f(x)<0⇔|x－2|<3⇔－3