【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第7章第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题学案 14页

第三节 二元一次不等式(组)与简单的 线性规划问题 [最新考纲] 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不 等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出 一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． ( 1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 Ax＋By＋C>0 直线 Ax＋By＋C＝0 某一 侧的所有点组成的平面区 域 不包括边界直线 Ax＋By＋C≥0 包括边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 2．线性规划中的相关概念 名称 意义 约束条件 由变量 x，y 组成的不等式(组) 线性约束条件 由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 关于 x，y 的函数解析式，如 z＝2x＋3y 等 线性目标函数 关于 x，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问 题 [常用结论] 二元一次不等式表示的区域 (1)若 B(Ax＋By＋C)>0 时，区域为直线 Ax＋By＋C＝0 的上方． (2)若 B(Ax＋By＋C)<0 时，区域为直线 Ax＋By＋C＝0 的下方． 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式 Ax＋By＋C>0 表示的平面区域一定在直线 Ax＋By＋C＝0 的上 方．( ) (2)线性目标函数的最优解可能不唯一．( ) (3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( ) (4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、教材改编 1．下列各点中，不在 x＋y－1≤0 表示的平面区域内的是( ) A．(0,0) B．(－1,1) C．(－1,3) D．(2，－3) C [∵－1＋3－1＞0，∴点(－1,3)不在 x＋y－1≤0 表示的平面区域内，故 选 C.] 2．不等式组 x－3y＋6＜0， x－y＋2≥0 表示的平面区域是( ) A B C D C [把点(0,0)代入不等式组可知，点(0,0)不在 x－3y＋6＜0 表示的平面区 域内，点(0,0)在 x－y＋2≥0 表示的平面区域内，故选 C.] 3．已知 x，y 满足约束条件 y≤x， x＋y≤1， y≥－1， 则 z＝2x＋y＋1 的最大值、最小值 分别是( ) A．3，－3 B．2，－4 C．4，－2 D．4，－4 C [不等式组所表示的平面区域如图所示． 其中 A(－1，－1)，B(2，－1)，C 1 2 ，1 2 ， 画直线 l0：y＝－2x，平移 l0 过 B 时，zmax＝4， 平移 l0 过点 A 时，zmin＝－2.] 4．投资生产 A 产品时，每生产 100 吨需要资金 200 万元，需场地 200 平方 米；投资生产 B 产品时，每生产 100 吨需要资金 300 万元，需场地 100 平方米．现 某单位可使用资金 1 400 万元，场地 900 平方米，则上述要求可用不等式组表示 为________．(用 x，y 分别表示生产 A，B 产品的吨数，x 和 y 的单位是百吨) 200x＋300y≤1 400， 200x＋100y≤900， x≥0， y≥0 [用表格列出各数据： A B 总数 产品吨数 x y 资金 200x 300y 1 400 场地 200x 100y 900 所以不难看出，x≥0，y≥0,200x＋300y≤1 400,200x＋100y≤900. ] 考点 1 二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)平面区域的确定：直线定界，特殊点定域． ①直线定界：当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为 虚线； ②特殊点定域：常用的特殊点为(0,0)，(1,0)，(0,1)． (2)平面区域的形状问题主要有两种题型 ①确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状； ②根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域， 但要注意对参数进行必要的讨论． 1.不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部 分表示)大致是( ) A B C D C [(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0，即 x－2y＋1≥0， x＋y－3≤0， 或 x－2y＋1≤0， x＋y－3≥0， 与选 项 C 符合．故选 C.] 2．若不等式组 x－y≥0， 2x＋y≤2， y≥0， x＋y≤a 表示的平面区域的形状是三角形，则 a 的取 值范围是( ) A．a≥4 3 B．00，且不等式组 y≤－x＋2， y≤kx－1， y≥0 所表示的平面区域如图所 示． ∵直线 y＝kx－1 与 x 轴的交点为 1 k ，0 ， 直线 y＝kx－1 与直线 y＝－x＋2 的交点为 3 k＋1 ，2k－1 k＋1 ， ∴三角形的面积为1 2 × 2－1 k ×2k－1 k＋1 ＝1 4 ， 解得 k＝1 或 k＝2 7 ，经检验，k＝2 7 不符合题意， ∴k＝1.] 4．若函数 y＝2x 图像上存在点(x，y)满足约束条件 x＋y－3≤0， x－2y－3≤0， x≥m， 则实数 m 的最大值为( ) A．1 2 B．1 C．3 2 D．2 B [在同一直角坐标系中作出函数 y＝2x 的图像及 x＋y－3≤0， x－2y－3≤0， x≥m， 所表 示的平面区域，如图中阴影部分所示． 由图可知，当 m≤1 时，函数 y＝2x 的图像上存在点(x，y)满足约束条件，故 m 的最大值为 1.] (1)平面区域内的点满足 “同侧同号、异侧异号”的规律，如 T1， T4. (2)计算平面区域的面积时，根据平面区域的形状，先求出有关的交点坐标、 线段长度，最后根据相关图形的面积公式进行计算，如果是不规则图形，则可通 过割补法计算面积． 考点 2 求目标函数的最值 求线性目标函数的最值 截距型：形如 z＝ax＋by. 求这类目标函数的最值常将函数 z＝ax＋by 转化为直线的斜截式，通过求直 线的截距z b 的最值间接求出 z 的最值．注意平面区域要画对，特别是图中涉及到直 线的斜率大小关系． (2018·全国卷Ⅰ)若 x，y 满足约束条件 x－2y－2≤0， x－y＋1≥0， y≤0， 则 z＝3x＋2y 的最大值为________． 6 [作出可行域为如图所示的△ABC 所表示的阴影区域，作出直线 3x＋2y＝ 0，并平移该直线，当直线过点 A(2,0)时，目标函数 z＝3x＋2y 取得最大值，且 zmax ＝3×2＋2×0＝6. ] [母题探究] 本例条件不变，试求 z＝3x－2y 的范围． [解] z＝3x－2y 变形为 y＝3 2x－1 2z，由本例可行域知直线 y＝3 2x－1 2z 过 A 点 时截距取得最小值，而 z 恰好取得最大值，即 z＝6. 过 C 点时截距取得最大值而 z 恰好取得最小值，即 z＝－6， ∴z＝3x－2y 的范围为[－6,6]． 充分理解目标函数的几何意义是求解本类问题的关键． (2019·北京高考)若 x，y 满足|x|≤1－y，且 y≥－1，则 3x＋y 的最大 值为( ) A．－7 B．1 C．5 D．7 C [由题意 x－y＋1≥0， x＋y－1≤0， y≥－1 ，作出可行域如图阴影部分所示. 设 z＝3x＋y，y＝z－3x，当直线 l0：y＝z－3x 经过点 C(2，－1)时，z 取最大 值 5.故选 C.] 求非线性目标函数的最值 非线性目标函数的常见代数式的几何意义主要有： (1)距离型： x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)间的距离， x－a2＋y－b2表示 点(x，y)与点(a，b)间的距离． (2) 斜率型：y x 表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，y－b x－a 表示点(x，y)与点(a， b)连线的斜率． (2019·广州模拟)若实数 x，y 满足 x－y＋1≤0， x≥0， y≤2. 则y x 的取值范围为 ________． [2，＋∞) [作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示． z＝y x 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此y x 的范围为直线 OB 的 斜率到直线 OA 的斜率(直线 OA 的斜率不存在，即 zmax 不存在) 由 x－y＋1＝0， y＝2， 得 B(1,2)，所以 kOB＝2 1 ＝2，即 zmin＝2， 所以 z 的取值范围是[2，＋∞)．] [母题探究] 1．本例条件不变，则目标函数 z＝x2＋y2 的取值范围为________． [1,5] [z＝x2＋y2 表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此 x2＋y2 的最小值为 OA2，最大值为 OB2. 易知 A(0,1)，所以 OA2＝1， OB2＝12＋22＝5，所以 z 的取值范围是[1,5]．] 2．本例条件不变，则目标函数 z＝y－1 x－1 的取值范围为______． (－∞，0] [z＝y－1 x－1 可以看作点 P(1,1)与平面内任一点(x，y)连线的斜率．易 知点 P(1,1)与 A(0,1)连线的斜率最大，为 0.无最小值．所以 z 的取值范围是(－∞， 0]．] 求非线性目标函数的最值时，注意目标函数的几何意 义及转化的等价性，如 x2＋y2 是距离的平方，易忽视平方而求错，y－1 x－1 是点(x，y) 与(1,1)连线的斜率，易误认为点(x，y)与(－1，－1)连线的斜率． (2019·海南五校模拟)已知实数 x，y 满足不等式组 x＋y≤2， x－y≥－2， y≥1， 则(x－3)2＋(y＋2)2 的最小值为________． 13 [画出不等式组 x＋y≤2， x－y≥－2， y≥1 表示的平面区域(图略)，易知(x－3)2＋(y ＋2)2 表示可行域内的点(x，y)与(3，－2)两点间距离的平方，通过数形结合可知， 当(x，y)为直线 x＋y＝2 与 y＝1 的交点(1,1)时，(x－3)2＋(y＋2)2 取得最小值，最 小值为 13.] 求参数值或取值范围 由目标函数的最值求参数的 2 种基本方法 一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目 标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离 含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的 位置，从而求出参数． (1)已知 z＝2x＋y，其中实数 x，y 满足 y≥x， x＋y≤2， x≥a， 且 z 的最大值 是最小值的 4 倍，则 a 的值是( ) A. 2 11 B.1 4 C.4 D.11 2 (2)(2019·湖南湘东六校联考)若变量 x，y 满足 3x－y－1≥0， 3x＋y－11≤0， y≥2， 且 z＝ax－ y 的最小值为－1，则实数 a 的值为________． (1)B (2)2 [(1)作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示： 由 z＝2x＋y 得 y＝－2x＋z， 由图可知当直线 y＝－2x＋z 经过点 A 时，直线的纵截距最大，z 取最大值． 由 x＋y＝2， y＝x， 解得 x＝1， y＝1， 即 A(1,1)， zmax＝2×1＋1＝3. 当直线 y＝－2x＋z 经过点 B 时，直线的纵截距最小，此时 z 最小． 由 x＝a， y＝x， 解得 x＝a， y＝a， 则点 B(a，a)． ∴zmin＝2×a＋a＝3a， ∵z 的最大值是最小值的 4 倍， ∴3＝4×3a，即 a＝1 4. (2)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，若 a≥3， 则直线 z＝ax－y 经过点 B(1,2)时，z 取得最小值，由 a－2＝－1，得 a＝1，与 a≥3 矛盾；若 0