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- 2021-06-16 发布
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
第二讲 函数图象与性质
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对于函数性质的考查往往综合多个性质,一般借助的载体为二次函数、指数函数、对数
函数或者由基本的初等函数复合而成,尤其在函数单调性、奇偶性和周期性等性质的综合问
题上应重点加强训练.
2.对于函数图象的考查比较灵活,涉及知识点较多,且每年均有创新,试题的考查突
出表现在三方面,一是在解决与性质相关的问题中使用函数图象,体现数形结合思想方法;
二是给出一个较复杂函数的解析式求其对应的图象;三是根据所给的图象来判断函数的内在
信息.
1.(2017·山东卷)设函数 y= 4-x2的定义域为 A,函数 y=ln(1-x)的定义域为 B,则
A∩B=( )
A.(1,2) B.(1,2]
C.(-2,1) D.[-2,1)
[解析] 由 4-x 2≥0 得-2≤x≤2,由 1-x>0 得 x<1,故 A∩B={x|-2≤x≤2}∩{x|x<1}=
{x|-2≤x<1},故选 D.
[答案] D
2.(2015·福建卷)下列函数为奇函数的是( )
A.y= x B.y=|sinx|
C.y=cosx D.y=ex-e-x
[解析] A 项中的函数为非奇非偶函数,B 项和 C 项中的函数是偶函数,D 项中的函数满
足奇函数的定义,故选 D.
[答案] D
3.(2017·全国卷Ⅰ)函数 f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若 f(1)=-1,则满
足-1≤f(x-2)≤1 的 x 的取值范围是( )
A.[-2,2] B.[-1,1]
C.[0,4] D.[1,3]
[解析] ∵f(x)为奇函数,
∴f(-1)=-f(1)=1.
于是-1≤f(x-2)≤1 等价于 f(1)≤f(x-2)≤f(-1).
又 f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,
∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3.故选 D.
[答案] D
4.(2016·全国卷Ⅰ)函数 y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为( )
[解析] f(2)=2×2 2-e2=8-e 2,因为 0<8-e2<1,所以 04x,y′<0,即 y=2x2-e|x|单调递减;当 x0ex,
y′>0,即 y=2x2-e|x|单调递增,故选 D.
[答案] D
5.(2016·四川卷)已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,当 0 0)图象→由相切时的k值求范围
[解析] 依题意,“伙伴点组”的点满足:都在 y=f(x)的图象上,且关于坐标原点对
称.
可作出函数 y=-ln(-x)(x<0)关于原点对称的函数 y=lnx(x>0)的图象,
使它与直线 y=kx-1(x>0)的交点个数为 2.
当直线 y=kx-1 与 y=lnx 的图象相切时,
设切点为(m,lnm),又 y=lnx 的导数为 y′=1
x,
则 km-1=lnm,k=1
m,解得 m=1,k=1,
可得函数 y=lnx(x>0)的图象过(0,-1)点的切线的斜率为 1,结合图象可知 k∈(0,1)时
两函数图象有两个交点.
[答案] B
识别函数图象应关注的 5 点
(1)根据函数的定义域判断图象的左右位置,根据函数的值域判断图象的上下位置.
(2)根据函数的单调性判断图象的变化趋势.
(3)根据函数的奇偶性判断图象的对称性.
(4)根据函数的周期性判断图象的循环往复.
(5)取特殊值代入进行检验.
[对点训练]
1.[角度 1](2017·贵州七校联考)已知函数 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的解析式可以是( )
A.f(x)=ln|x|
x B.f(x)=ex
x
C.f(x)=1
x2-1 D.f(x)=x-1
x
[解析] 由函数图象可知,函数 f(x)为奇函数,应排除 B、C.若函数为 f(x)=x-1
x,则 x→
+∞时,f(x)→+∞,排除 D,故选 A.
[答案] A
2.[角度 2](2017·福建漳州八校联考)已知函数 f(x)=Error!若函数 g(x)=f(x)-m 有三个
零点,则实数 m 的取值范围是________.
[解析] 令 g(x)=f(x)-m=0,得 f(x)=m,则函数 g(x)=f(x)-m 有三个零点等价于函数 f(x)
与 y=m 的图象有三个不同的交点,作出函数 f(x)的图象如图:
当 x≤0 时,f(x)=x2+x=
(
x+
1
2 )2-1
4≥-1
4,若函数 f(x)与 y=m 的图象有三个不同的交
点,则-1
40)
4.函数的对称性
(1)若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(a-x),即 f(x)=f(2a-x),则 f(x)的图象关于直线 x=a
对称.
(2)若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=-f(a-x),即 f(x)=-f(2a-x),则 f(x)的图象关于点(a,0)
对称.
(3)若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(b-x),则函数 f(x)的图象关于直线 x=a+b
2 对称.
角度 1:确认函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值
【例 2-1】 (2017·北京卷)已知函数 f(x)=3x-(
1
3 )x,则 f(x)( )
A.是奇函数,且在 R 上是增函数
B.是偶函数,且在 R 上是增函数
C.是奇函数,且在 R 上是减函数
D.是偶函数,且在 R 上是减函数
[解析] 易知函数 f(x)的定义域关于原点对称.
∵f(-x)=3-x-(
1
3 )-x=(
1
3 )x-3x=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
又∵y=3x 在 R 上是增函数,y=-(
1
3 )x 在 R 上是增函数,
∴f(x)=3x-(
1
3 )x 在 R 上是增函数.故选 A.
[答案] A 角度 2:综合应用函数的性质求值(取值范围)、比较大小等,常与不等式相结
合
[思维流程] f(x)是R上的偶函数
且在(-∞,0)上单调递增 ― ― →
对称性
f(x)在(0,+∞)
上单调递减 →脱去“f”→解关于a
的不等式
[解析] 解法一:因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,所
以 f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.又 f(2|a-1|)>f(- 2),f(- 2)=f( 2),故 0<2|a-1|< 2,则
|a-1|<1
2,所以1
2f(- 2),得-|2|a-1||>-|- 2|,
则|a-1|<1
2,解得1
21
2时,f(x+1
2 )=f(x-1
2 ).则 f(6)=( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
[解析] 由题意可知,当-1≤x≤1 时,f(x)为奇函数,且当 x>1
2时,f(x+1)=f(x),所以 f(6)
=f(5×1+1)=f(1).而 f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2,所以 f(6)=2.故选 D.
[答案] D
热点课题 2 函数图象辨析
[感悟体验]
1.(2017·长沙模拟)如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x
的始边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M.将点 M 到直线 OP
的距离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在[0,π]的图象大致为( )
[解析] 由题意知,f(x)=|cosx|·sinx,当 x∈ [0,π
2 ]时,f(x)=cosx·sinx= 1
2sin2x;当 x∈
(
π
2,π ]时,f(x)=-cosx·sinx=-1
2sin2x,故选 B.
[答案] B
2.(2017·南昌二模)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别是棱 A1B1,
CD 的中点,点 M 是 EF 上的
动点(不与 E,F 重合),FM=x,过点 M、直线 AB 的平面将正方体分成上下两部分,
记下面那部分的体积为 V(x),则函数 V(x)的大致图象是( )
[解析] 当 x∈(0, 2
2 ]时,V(x)增长的速度越来越快,即变化率越来越大;当 x∈[
2
2 , 2)时,V(x)增长的速度越来越慢,即变化率越来越小,故选 C.
[答案] C