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- 2021-06-16 发布
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高二期中调研 数学试卷 第 1页共 6 页
南京市 2020-2021 学年度第一学期期中调研测试
高 二 数 学 2020.11
注意事项:
1.本试卷共 6 页,包括单项选择题(第 1 题~第 8 题)、多项选择题(第 9 题~第 12 题)、
填空题(第 13 题~第 16 题)、解答题(第 17 题~第 22 题)四部分.本试卷满分为 150
分,考试时间为 120 分钟.
2.答卷前,考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置.
3.作答选择题时,选出每小题的答案后,用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信
息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内,
在其他位置作答一律无效.
一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1.在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 x2=2y 的焦点为 F,准线为 l,则点 F 到直线 l
的距离为
A.1
2
B.1 C.2 D.4
2.已知向量 a=(-2,3,-1),b=(4,m,n),且 a∥b,其中 m,n∈R,则 m+n=
A.4 B.-4 C.2 D.-2
3.若 sinθ=2cos(π-θ),则 tan(θ+π
4
)的值为
A.3 B.1
3
C.-3 D.-1
3
4.在平面直角坐标系 xOy 中,若椭圆 C:x2
9
+y2
m
=1 与双曲线 T:x2-y2
m
=1 有相同的焦点,
则双曲线 T 的渐近线方程为
A.y=±1
4
x B.y=±1
2
x C.y=±4x D.y=±2x
5.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x+2y-4=0 与两坐标轴分别交于点 A,B,圆 C 经过 A,
B,且圆心在 y 轴上,则圆 C 的方程为
A.x2+y2+6y-16=0 B.x2+y2-6y-16=0
C.x2+y2+8y-9=0 D.x2+y2-8y-9=0
高二期中调研 数学试卷 第 2页共 6 页
6.如图,已知圆柱的底面半径为 2,与圆柱底面成 60°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆,
则该椭圆的焦距为
A.2 2 B.2 3 C.4 2 D.4 3
7.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BC1 与 B1C 相交于点 O,∠A1AB=∠A1AC=60°,
∠BAC=90°,A1A=3,AB=AC=2,则线段 AO 的长度为
A. 29
2
B. 29
C. 23
2
D. 23
8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C:x2
a2
-y2
b2
=1(a>0,b>0)的左焦点为 F,点 M,
N 在双曲线 C 上.若四边形 OFMN 为菱形,则双曲线 C 的离心率为
A. 3-1 B. 5-1 C. 3+1 D. 5+1
二、多项选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,
有多项符合题目要求,请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得 5 分,部分选
对得 3 分,不选或有错选的得 0 分.
9.已知两个不重合的平面α,β及直线 m,下列说法正确的是
A.若α⊥β,m⊥α,则 m∥β B.若α∥β,m⊥α,则 m⊥β
C.若 m∥α,m⊥β,则α⊥β D.若 m∥α,m∥β,则α∥β
10.在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分别为椭圆 x2
4
+y2
2
=1 的左、右焦点,点 A 在椭圆上.若
△AF1F2 为直角三角形,则 AF1 的长度可以为
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如图,直线 l1,l2 相交于点 O,点 P 是平面内的任意一点,若 x,y 分别表示点 P 到 l1,
l2 的距离,则称(x,y)为点 P 的“距离坐标”.下列说法正确的是
A.距离坐标为(0,0)的点有 1 个
B.距离坐标为(0,1)的点有 2 个
N
(第 11 题)
O M
P
l2
l1
(第 6 题)
C1
(第 7 题)
A
B
C
B1
O
高二期中调研 数学试卷 第 3页共 6 页
C.距离坐标为(1,2)的点有 4 个
D.距离坐标为(x,x)的点在一条直线上
12.20 世纪 50 年代,人们发现利用静态超高压和高温技术,通过石墨等碳质原料和某些金
属反应可以人工合成金刚石.人工合成金刚石的典型晶态为立方体(六面体)、八面体
和立方八面体以及它们的过渡形态.其中立方八面体(如图所示)有 24 条棱、12 个顶
点、14 个面(6 个正方形、8 个正三角形),它是将立方体“切”去 8 个“角”后得到
的几何体.已知一个立方八面体的棱长为 1,则
A.它的所有顶点均在同一个球面上,且该球的直径为 2
B.它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直
C.它的体积为5 2
3
D.它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等
三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l1:x+ay=0 和直线 l2:2x-(a-3)y-4=0,
a∈R.若 l1 与 l2 平行,则 l1 与 l2 之间的距离为 ▲________.
14.在空间直角坐标系中,若三点 A(1,-1,a),B(2,a,0),C(1,a,-2)满足
(AB→-2AC→)⊥BC→,则实数 a 的值为 ▲________.
15.词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著《九章算术·商功》,是古代人对一
些特殊锥体的称呼.在《九章算术·商功》中,把四个面都是直角三角形的四面体称为
“鳖臑”.现有如图所示的“鳖臑”四面体 PABC,其中 PA⊥平面 ABC,PA=AC=1,
BC= 2,则四面体 PABC 的外接球的表面积为 ▲________.
16.早在一千多年之前,我国已经把溢流孔技术用于造桥,以减轻桥身重量和水流对桥身的
冲击.现设桥拱上有如图所示的 4 个溢流孔,桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分,
且四个溢流孔轮廓线相同.建立如图所示的平面直角坐标系 xOy,根据图上尺寸,溢流
孔 ABC 所在抛物线的方程为 ▲________,溢流孔与桥拱交点 A 的横坐标...为 ▲________.
(第 12 题)
A B
C
P
(第 15 题) 第 16 题
高二期中调研 数学试卷 第 4页共 6 页
四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要
的文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 10 分)
在 ①sin(A-B)=sinB+sinC;②2acosC=2b+c;③△ABC 的面积 S= 3
4
(a2-b2-c2)
三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答该问题.
已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,__________,D 是边 BC 上的一点,
∠BAD=π
2
,且 b=4,c=2,求线段 AD 的长.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(本小题满分 12 分)
在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 F:(x-2)2+y2=1,动圆 M 与直线 l:x=-1 相切
且与圆 F 外切.
(1)记圆心 M 的轨迹为曲线 C,求曲线 C 的方程;
(2)已知 A(-2,0),曲线 C 上一点 P 满足 PA= 2PF,求∠PAF 的大小.
高二期中调研 数学试卷 第 5页共 6 页
19.(本小题满分 12 分)
如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 为 AC 中点.
(1)求证:B1A∥平面 C1BD;
(2)若 AA1=AB=3,BC=4,且 AB⊥BC,求三棱锥 B-B1C1D 的体积.
20.(本小题满分 12 分)
在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O:x2+y2=1,点 A,B 是直线 x-y+m=0(m∈R)
与圆 O 的两个公共点,点 C 在圆 O 上.
(1)若△ABC 为正三角形,求直线 AB 的方程;
(2)若直线 x-y- 3=0 上存在点 P 满足AP→·BP→=0,求实数 m 的取值范围.
D
B
B1
A1
(第 19 题)
C1
A C
高二期中调研 数学试卷 第 6页共 6 页
21.(本小题满分 12 分)
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAB⊥平面 ABCD,PA⊥AB,PA=AD=4,
BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=2,→PE=λ→PC (0≤λ<1).
(1)若λ=1
2
,求直线 DE 与平面 ABE 所成角的正弦值;
(2)设二面角 B-AE-C 的大小为θ,若|cosθ|=2 34
17
,求λ的值.
22.(本小题满分 12 分)
在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:x2
a2
+y2
b2
=1(a>b>0) 的左顶点与上顶点的距离
为 2 3,且经过点(2, 2).
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)直线 l 与椭圆 C 相交于 P,Q 两点,M 是 PQ 的中点.若椭圆上存在点 N 满足
ON→=3MO→,求证:△PQN 的面积 S 为定值.
(第 21 题)
P
A
B C
D
E
x
A
O
y
P
M
Q
.
(第 22 题图)
高二期中调研 数学试卷 第 7页共 6 页
南京市 2020-2021 学年度第一学期期中调研测试
高二数学参考答案 2020.11
一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
1.B 2.B 3.D 4.D 5.A 6.D 7.A 8.C
二、多项选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
9.BC 10.ABC 11.ABC 12.ACD
三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 2 14.-9
2
15.4π 16.y=- 5
36
(x-14)2,140
13
四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.
17.(本小题满分 10 分)
解:选①.
由条件① sin(A-B)=sinB+sinC,
在△ABC 中,A+B+C=π,所以 sin(A-B)=sinB+sin(A+B),
即 sinAcosB-cosAsinB=sinB+sinAcosB+cosAsinB, ……………… 2 分
从而 sinB=-2cosAsinB.
因为 B 为三角形内角,所以 sinB≠0,所以 cosA=-1
2
.
因为 A 为三角形内角,所以 A=2π
3
. ……………… 4 分
在△ABC 中,因为 b=4,c=2,
故由正弦定理 b
sinB
= c
sinC
得 4sinC=2sinB,即 2sinC=sinB,
所以 sinB=2sinC=2sin(π
3
-B)= 3cosB-sinB,即 2sinB= 3cosB.
由 sinB≠0 知 cosB≠0,因此 tanB=sinB
cosB
= 3
2
. ……………… 8 分
因为∠BAD=π
2
,所以 AD=AB·tanB= 3. ……………… 10 分
选②.
由条件②2acosC=2b+c,结合余弦定理得 2a×b2+a2-c2
2ab
=2b+c,
即 a2=b2+c2+bc, ……………… 2 分
所以 cosA=b2+c2-a2
2bc
=-1
2
,
高二期中调研 数学试卷 第 8页共 6 页
因为 A 为三角形内角,所以 A=2π
3
. ……………… 4 分
在△ABC 中,因为 b=4,c=2,
故由正弦定理 b
sinB
= c
sinC
得 4sinC=2sinB,即 2sinC=sinB,
所以 sinB=2sinC=2sin(π
3
-B)= 3cosB-sinB,即 2sinB= 3cosB.
由 sinB≠0 知 cosB≠0,因此 tanB=sinB
cosB
= 3
2
. ……………… 8 分
因为∠BAD=π
2
,所以 AD=AB·tanB= 3. ……………… 10 分
选③.
由条件③,△ABC 的面积 S= 3
4
(a2-b2-c2),
得 1
2bcsinA= 3
4
(-2bccosA),即 sinA=- 3cosA, ……………… 2 分
因为 A 为三角形内角,所以 sinA≠0,从而 cosA≠0,
所以 tanA=sinA
cosA
=- 3,所以 A=2π
3
. ……………… 4 分
在△ABC 中,因为 b=4,c=2,
故由正弦定理 b
sinB
= c
sinC
得 4sinC=2sinB,即 2sinC=sinB,
所以 sinB=2sinC=2sin(π
3
-B)= 3cosB-sinB,即 2sinB= 3cosB.
由 sinB≠0 知 cosB≠0,因此 tanB=sinB
cosB
= 3
2
. ……………… 8 分
因为∠BAD=π
2
,所以 AD=AB·tanB= 3. ……………… 10 分
另解:A=2π
3
(略) ……………… 4 分
在△ABC 中,因为 b=4,c=2,
由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA=42+22-2×4×2×cos2π
3
=28,
所以 a=2 7. ……………… 6 分
由正弦定理得 a
sinA
= b
sinB
,则 sinB=bsinA
a
=
4×sin2π
3
2 7
= 21
7
,
又 B 为锐角,所以 cosB= 1-sin2B=2 7
7
,则 tanB=sinB
cosB
= 3
2
.……… 8 分
在△ABD 中,因为∠BAD=π
2
,
高二期中调研 数学试卷 第 9页共 6 页
所以 AD=AB·tanB= 3. ……………… 10 分
18.(本小题满分 12 分)
解:(1)设 M(x,y),圆 M 的半径为 r.
由题意知,MF=r+1,M 到直线 l 的距离为 r.
方法一:点 M 到点 F(2,0)的距离等于 M 到定直线 x=-2 的距离,
根据抛物线的定义知,曲线 C 是以 F(2,0)为焦点,x=-2 为准线的抛物线.
故曲线 C 的方程为 y2=8x. ……………………6 分
方法二:因为 MF= (x-2)2+y2=r+1,|x+1|=r,x>-1,
所以 (x-2)2+y2=x+2,化简得 y2=8x,
故曲线 C 的方程为 y2=8x. ……………………6 分
(2)方法一:设 P(x0,y0),由 PA= 2PF,
得(x0+2)2+y02=2[(x0-2)2+y02], ……………………8 分
又 y02=8x0,解得 x0=2,故 P(2,±4), ……………………10 分
所以 kPA=±1,从而∠PAF=π
4
. …………………12 分
方法二:过点 P 向直线 x=-2 作垂线,垂足为 Q.
由抛物线定义知,PQ=PF,所以 PA= 2PQ, ……………………8 分
在△APQ 中,因为∠PQA=π
2
,
所以 sin∠QAP=PQ
PA
= 2
2
, ……………………10 分
从而∠QAP=π
4
,故∠PAF=π
4
. …………………12 分
19.(本小题满分 12 分)
(1)证明:连结 B1C 交 BC1 于点 O,连结 OD.
在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BC=B1C1,BC∥B1C1,
所以四边形 B1BCC1 为平行四边形,
所以 O 为 B1C 中点.
又因为 D 为 AC 中点,
所以 OD 为△CB1A 的中位线,
所以 B1A∥OD. …………………3 分
又因为 B1A平面 C1BD,OD 平面 C1BD,
所以 B1A∥平面 C1BD. …………………5 分
(2)解:方法一:三棱锥 B-B1C1D 的体积就是三棱锥 D-BB1C1 的体积. …7 分
B1
(第 19 题)
A1 C1
B
DA C
O
E
高二期中调研 数学试卷 第 10页共 6 页
过点 D 作 DE⊥BC,垂足为 E.
在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,B1B⊥平面 ABC.
因为 DE平面 ABC,所以 B1B⊥DE.
又因为 DE⊥BC,且 B1B,BC平面 B1BCC1,B1B∩BC=B,
所以 DE⊥平面 B1BCC1,即 DE 为三棱锥 D-BB1C1 的高. ………9 分
在△ABC 中,AB=3,BC=4,且 AB⊥BC,
所以 AC= 32+42=5,sinC=3
5
,
在 Rt△DEC 中,DC=1
2
AC=5
2
,所以 DE=DC×sinC=3
2
.
又△BB1C1 的面积 S=1
2
×BB1×B1C1=1
2
×3×4=6,
所以三棱锥 D-BB1C1 的体积 V=1
3
×S×DE=3,
故三棱锥 B-B1C1D 的体积等于 3. ………12 分
方法二:三棱锥 B-B1C1D 的体积就是三棱锥 B1-BDC1 的体积. ………7 分
因为(1)中已证 B1A∥平面 C1BD,
所以 B1 到平面 BDC1 的距离等于 A 到平面 BDC1 的距离.
因此三棱锥 B1-BDC1 的体积等于三棱锥 A-BDC1 的体积,
即等于三棱锥 C1-ABD 的体积.
在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,C1C⊥平面 ABC,
所以 C1C 为三棱锥 C1-ABD 的高. ………10 分
因为 AB=3,BC=4,且 AB⊥BC,S△ABC=1
2
×AB×BC=6.
因为 D 是 AC 的中点,所以△ABD 的面积 S=1
2
S△ABC=3.
故三棱锥 C1-ABD 的体积 V=1
3
×S×C1C=3,
即三棱锥 B-B1C1D 的体积等于 3. ………12 分
20.(本小题满分 12 分)
解:(1)由△ABC 为正三角形,得∠AOB=2∠ACB=2π
3
,所以∠ABO=∠BAO=π
6
,
所以原点 O 到直线 AB 的距离 d=1×sinπ
6
=1
2
. ………3 分
由点到直线的距离公式得|m|
2
=1
2
,解得 m= 2
2
或- 2
2
.
所以直线 AB 的方程为 2x-2y+ 2=0 或 2x-2y- 2=0. ………5 分
(2)方法一:设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y).
高二期中调研 数学试卷 第 11页共 6 页
因为AP→·BP→=0,所以点 P 在以 AB 为直径的圆上.
记该圆圆心为(x0,y0),则 x=x0,
y=y0
是方程组 x+y=0,
x-y+m=0的解,解得
x0=-m
2
,
y0=m
2
.
故以 AB 为直径的圆的方程为(x+m
2
)2+(y-m
2
)2=1-m2
2
,其中- 2<m< 2. …9 分
又点 P 在直线 x-y- 3 =0 上,即直线与圆有公共点,
所以|m+ 3|
2
≤ 1-m2
2
,即 2m2+2 3m+1≤0.
解得- 3+1
2
≤m≤1- 3
2
.
综上,实数 m 的取值范围是[- 3+1
2
,1- 3
2
]. ………12 分
方法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2).
联立直线 AB 与圆 O 方程,得 x2+y2=1,
x-y+m=0,
消去 y 得 2x2+2mx+m2-1=0. ①
所以 x1,x2 是①的两个解,
判别式△=(2m)2-4×2×(m2-1)>0,即- 2<m< 2,
且 x1+x2=-m,x1x2=m2-1
2
. ………7 分
设点 P(x,y),则AP→=(x-x1,y-y1),BP→=(x-x2,y-y2).
由AP→·BP→=0,得(x-x1) (x-x2)+(y-y1) (y-y2)=0, ②
将 y=x- 3,y1=x1+m,y2=x2+m 代入②,
整理得 2x2-2(x1+x2+m+ 3)x+2x1x2+(m+ 3)(x1+x2)+(m+ 3)2=0.
又 x1+x2=-m,x1x2=m2-1
2
,所以 2x2-2 3x+m2+ 3m+2=0,
关于 x 的方程 2x2-2 3x+m2+ 3m+2=0 有实数解, ………10 分
因此(-2 3)2-4×2×(m2+ 3m+2)≥0,即 2m2+2 3m+1≤0,
解得- 3+1
2
≤m≤1- 3
2
.
综上,实数 m 的取值范围是[- 3+1
2
,1- 3
2
]. ………12 分
21.(本小题满分 12 分)
解:因为平面 PAB⊥平面 ABCD,PA⊥AB,平面 PAB∩平面 ABCD=AB,PA平面 PAB,
所以 PA⊥平面 ABCD.
高二期中调研 数学试卷 第 12页共 6 页
因为 AD平面 ABCD,所以 PA⊥AD.
又 AB⊥AD,所以 PA,AB,AD 两两互相垂直.
以{AB→,AD→,AP→}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz.…………2 分
因为 PA=AD=4,AB=BC=2,
所以 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),
D(0,4,0),P(0,0,4).
(1)若λ=1
2
,即 E 为 PC 中点,则 E(1,1,2),
所以DE→=(1,-3,2),AB→=(2,0,0),AE→=(1,1,2).
设平面 ABE 的一个法向量为 m=(x1,y1,z1),
则
m·AB→=0,
m·AE→=0,
即 2x1=0,
x1+y1+2z1=0.
令 z1=1,得 y1=-2,
所以平面 ABE 的一个法向量为 m=(0,-2,1). …………………4 分
设直线 DE 与平面 ABE 所成角为α,
则 sinα=|cos<DE→,m>|=| 6+2
14× 5
|=4 70
35
. …………………6 分
(2)因为PE→=λPC→(0≤λ<1),则 E(2λ,2λ,4-4λ).
设平面 ABE 的一个法向量为 n=(x2,y2,z2),
则
n·AB→=0,
n·AE→=0,
即 2x2=0,
2λx2+2λy2+(4-4λ)z2=0.
令 y2=2,得 z2= λ
λ-1
,
所以平面 ABE 的一个法向量为 n=(0,2, λ
λ-1).
设平面 AEC 的一个法向量为 l=(x3,y3,z3),
则
l·AC→=0,
l·AP→=0,
即 2x3+2y3=0,
4z3=0.
令 x3=1,得 y3=-1,
所以平面 AEC 的一个向量为 l=(1,-1,0). ……………………9 分
(或证明 CD⊥平面 PAC,从而CD→为平面 PAC 的一个法向量)
因为二面角 B-AE-C 的大小为θ,且|cosθ|=2 34
17
,
得|cos<n,l>|=| -2
4+( λ
λ-1
)2× 2
|=2 34
17
,整理得 3λ2+2λ-1=0,
解得λ=1
3
,或λ=-1(舍).所以λ=1
3
. ……………12 分
y
z
P
A
B C
D
E
x
高二期中调研 数学试卷 第 13页共 6 页
22.(本小题满分 12 分)
解:(1)椭圆 C 的左顶点(-a,0),上顶点(0,b).
因为左顶点与上顶点的距离为 2 3,所以 a2+b2=2 3,化简得 a2+b2=12. ①
因为椭圆经过点(2, 2),所以 4
a2
+ 2
b2
=1,② …………2 分
由①②解得 a2=8,b2=4 或 a2=6,b2=6(舍去),
所以椭圆 C 的方程为x2
8
+y2
4
=1. …………4 分
(2)当 PQ 斜率不存在时,N 为(±2 2,0),PQ 方程为 x=±2 2
3
,易得 PQ=8 2
3
,
此时 S=1
2
×MN×PQ=1
2
×8 2
3
×8 2
3
=64
9
. …………5 分
当 PQ 斜率存在时,设 PQ 的方程为 y=kx+m (m≠0),
联立
y=kx+m,
x2
8
+y2
4
=1 得(1+2k2)x2+4kmx+2(m2-4)=0,
由△=(4km)2-8(1+2k2)(m2-4)>0,得 0<m2<8k2+4. (*)
设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=-4km
1+2k2
,x1x2=2(m2-4)
1+2k2
,
因此 PQ 的中点 M 为(-2km
1+2k2
, m
1+2k2
).
又因为ON→=3MO→,所以 N( 6km
1+2k2
, -3m
1+2k2
),
将点 M 代入椭圆方程,得 18k2m2
4(1+2k2)2
+ 9m2
4(1+2k2)2
=1,
化简得 2k2+1=9
4m2,符合(*)式. ……………9 分
记点 O 到直线 l 的距离为 d,
则 S=4S△OPQ=2PQ×d=2 1+k2|x1-x2|×d
=2 1+k2×2 2× 8k2+4-m2
1+2k2
× |m|
1+k2
=4 2|m|× 8k2+4-m2
1+2k2
,
将 2k2+1=9
4m2 代入,得 S=4 2|m|× 9m2-m2
9
4m2
=64
9
.
综上,△PQN 的面积 S 为定值64
9
. …………12 分