【数学】2018届一轮复习北师大版第六章不等式推理与证明第一节不等关系与不等式教案 9页

第一节　不等关系与不等式 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景。‎ ‎2016，北京卷，5,5分(不等式的性质)‎ ‎2016，浙江卷，8,5分(不等式的综合应用)‎ ‎2014，天津卷，7,5分(不等式的性质)‎ ‎2014，山东卷，7,5分(不等式的性质)‎ 主要以客观题形式考查不等式性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．实数的大小顺序与运算性质的关系 ‎(1)a＞b⇔a－b＞0；‎ ‎(2)a＝b⇔a－b＝0；‎ ‎(3)a＜b⇔a－b＜0。‎ ‎2．不等式的性质 ‎(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(双向性)‎ ‎(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(单向性)‎ ‎(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；(双向性)‎ ‎(4)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(单向性)‎ ‎(5)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；‎ ‎(6)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(单向性)‎ ‎(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(单向性)‎ ‎(8)开方法则：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)；(单向性)‎ ‎(9)倒数性质：设ab＞0，则a＜b⇔＞；(双向性)‎ ‎(10)有关分数的性质：若a＞b＞0，m＞0，则 ‎①＜；＞(b－m＞0)‎ ‎②＞；＜(b－m＞0)。‎ 微点提醒 ‎1．在应用不等式性质时，不可强化或弱化成立的条件，如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；“可乘性”中的c的符号等都需注意。‎ ‎2．当判断两个式子大小时，对错误的关系式举反例即可，对正确的关系式，则需推理论证。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1．(必修5P74练习T3改编)下列四个结论，正确的是(　　)‎ ‎①a>b，cb－d；‎ ‎②a>b>0，cbd；‎ ‎③a>b>0⇒>；‎ ‎④a>b>0⇒>。‎ A．①②　　　 B．②③　　　‎ C．①④　　　 D．①③‎ ‎【解析】　利用不等式的同向可加性可知①正确；对②根据不等式的性质可知acb>0可知a2>b2>0，所以<，所以④不正确。故选D。‎ ‎【答案】　D ‎2．(必修5P‎75A组T2改编)________(填“>”“<”或“＝”)。‎ ‎【解析】　分母有理化有＝＋2，＝＋，显然＋2<＋，所以<。‎ ‎【答案】　<‎ 二、双基查验 ‎1．设a，b，c∈R，且a>b，则(　　)‎ A．ac>bc B.< C．a2>b2 D．a3>b3‎ ‎【解析】　对于A，当c≤0时不成立；对于B，a＝1，b＝－1时不成立；对于C，a＝0，b＝－2时不成立。故选D。‎ ‎【答案】　D ‎2．设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是(　　)‎ A．a－b>0 B．a3＋b3>0‎ C．a2－b2<0 D．a＋b<0‎ ‎【解析】　因为a＋|b|<0，即|b|<－a，故a<0且a0，故选项C不正确。故选D。‎ ‎【答案】　D ‎3．(2016·沈阳模拟)已知<<0，给出下面四个不等式：‎ ‎①|a|>|b|；②ab3。‎ 其中不正确的不等式的个数是(　　)‎ A．0 B．1 ‎ C．2 D．3‎ ‎【解析】　由<<0可得bb，②不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋bb3，④正确。故不正确的不等式的个数为2。故选C。‎ ‎【答案】　C ‎4．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题 ‎①若ab>0，bc－ad>0，则－>0；‎ ‎②若ab>0，－>0，则bc－ad>0；‎ ‎③若bc－ad>0，－>0，则ab>0。‎ 其中正确的命题是________。‎ ‎【解析】　∵ab>0，bc－ad>0，‎ ‎∴－＝>0，∴①正确；‎ ‎∵ab>0，又－>0，即>0，‎ ‎∴bc－ad>0，∴②正确；‎ ‎∵bc－ad>0，又－>0，即>0，‎ ‎∴ab>0，∴③正确。故①②③都正确。‎ ‎【答案】　①②③‎ ‎5．如果a∈R，且a2＋a<0，则a，a2，－a，－a2的大小关系是________。‎ ‎【答案】　a<－a2N C．M＝N D．不确定 ‎(2)已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，则与的大小关系为________。‎ ‎【解析】　(1)M－N＝a‎1a2－(a1＋a2－1)‎ ‎＝a‎1a2－a1－a2＋1‎ ‎＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，‎ 又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，‎ ‎∴a1－1<0，a2－1<0。‎ ‎∴(a1－1)(a2－1)>0，‎ 即M－N>0。‎ ‎∴M>N。故选B。‎ ‎(2)当q＝1时，＝3，＝5，所以<；‎ 当q>0且q≠1时，－＝－＝＝<0，所以有<。综上可知<。‎ ‎【答案】　(1)B　(2)< 反思归纳　比较大小的常用方法 ‎(1)作差法：‎ 一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论。其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式。当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差。‎ ‎(2)作商法：‎ 一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；‎ ‎④结论。‎ ‎(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系。‎ ‎【变式训练】　(1)已知a>－1且b>－1，则p＝＋与q＝＋的大小关系是(　　)‎ A．p>q B．pb；＝＝log6251 024>1，所以b>c。即ce时，函数f(x)单调递减。因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，即cb且c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)已知ay>0，则(　　)‎ A.－>0 B．sinx－siny>0‎ C.x－y<0 D．lnx＋lny>0‎ ‎【解析】　(1)因为c>d，所以c－d>0。又a>b，所以两边同时乘以(c－d)，得a(c－d)>b(c－d)，即ac＋bd>bc＋ad。若ac＋bd>bc＋ad，则a(c－d)>b(c－d)，也可能ab且c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的充分不必要条件。故选A。‎ ‎(2)因为a0，b的符号不定，对于b>a，两边同时乘以正数c，不等号方向不变。故选D。‎ ‎(3)解法一：因为x>y>0，选项A，取x＝1，y＝，则－＝1－2＝－1<0，排除A；选项B，取x＝π，y＝，则sinx－siny＝sinπ－sin＝－1<0，排除B；选项D，取x＝2，y＝，则lnx＋lny＝ln(xy)＝ln1＝0，排除D。故选C。‎ 解法二：因为函数y＝x在R上单调递减，且x>y>0，所以xb>‎0”‎是“a2>b‎2”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由a>b>0⇒a2>b2，充分性成立；由a2>b2⇒|a|>|b|D⇒/a>b>0，必要性不成立。∴“a>b>‎0”‎是“a2>b‎2”‎的充分不必要条件。故选A。‎ 答案　A ‎2．已知a，b为正数，a≠b，n为正整数，则anb＋abn－an＋1－bn＋1的正负情况为(　　)‎ A．恒为正 B．恒为负 C．与n的奇偶性有关 D．与a，b的大小有关 解析　anb＋abn－an＋1－bn＋1＝an(b－a)＋bn(a－b)＝－(a－b)(an－bn)，‎ 因为(a－b)与(an－bn)同号，所以anb＋abn－an＋1－bn＋1<0恒成立。故选B。‎ 答案　B ‎3．(2017·武汉模拟)若a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是(　　)‎ A．a＋＞b＋ B.＞ C．a－＞b－ D.＞ 解析　取a＝2，b＝1，排除B和D；另外，函数f(x)＝x－是(0，＋∞)上的增函数，但函数g(x)＝x＋在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以当a＞b＞0时，f(a)＞f(b)必定成立，但g(a)＞g(b)未必成立，这样，a－＞b－⇔a＋＞b＋。故选A。‎ 答案　A ‎4．已知a＋b>0，则＋与＋的大小关系是________。‎ 解析　＋－＝＋＝(a－b)·＝。‎ ‎∵a＋b>0，(a－b)2≥0，‎ ‎∴≥0。‎ ‎∴＋≥＋。‎ 答案　＋≥＋ ‎5．(2016·徐州模拟)若a＞b＞0，且＞，则实数m的取值范围是________。‎ 解析　由条件知，－＞0，‎ 即＞0，＞0，‎ 又∵a＞b＞0，∴b－a＜0，∴＜0。‎ 解得－b＜m＜0。‎ 答案　(－b,0)‎