河北省石家庄市二中学2021届高三数学上学期期中考试试卷（Word版附答案） 14页

2020—2021 学年度第一学期高三年级期中考试 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序 号填涂在答题卡上） 1、已知集合  2| 4 5 0A x x x    ，  | 1 0B x x   ，则 A B  （ ） A． ,1 B． ( 1,1) C． 1,5 D． 0,5 2、若函数 siny x 的图象与直线 y x  一个交点的坐标为 0 0,x y ，则 2 2 0 0 31 cos 2x x        ( ) A． 1 B．1 C．  D．无法确定 3、沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成， 开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该 沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为 12cm，体积 为 372 cm 的细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙 堆的高度为（ ） A．3cm B．8cm C．6cm D．9cm 4、已知向量  5,a m ，  2, 2b   ，若 a b b    ，则实数 m  （ ） A．-1 B．1 C．2 D．-2 5、已知 m，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是( ) A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 m⊂α，n⊂α，且 m∥β，n∥β，则α∥β C．若α⊥β，m⊂α，则 m⊥β D．若α⊥β，m⊥β，m  α，则 m∥α 6、函数    sinf x A wx   的部分图像如图中实线所示，图中圆C 与  f x 的图像交于 M ， N 两点，且 M 在 y 轴上，则下列说法中正确的是（ ） A．函数  f x 的最小正周期是 2 B．函数  f x 的图像关于点 4 ,03      成中心对称 C．函数  f x 在 2 ,3 6       上单调递增 D．函数  f x 的图像向右平移 5 12  个单位长度后关于原点成中心对称 7、将正整数 12 分解成两个正整数的乘积有1 12 ， 2 6 ，3 4 三种，其中3 4 是这三种 分解中两数差的绝对值最小的，我们称3 4 为 12 的最佳分解.当 p q ( p q 且 p､ N*q ) 是正整数 n 的最佳分解时，我们定义函数  f n q p  ，例如  12 4 3 1f    ，则数列   3nf 的前 2020 项和为（ ） A． 10103 1 B． 10103 C． 10113 1 D． 10113 8、若函数     e ,0 1, 1 , 0 x xf x af x x       是增函数，则实数 a 的取值范围是（ ） A． 10, e      B． 1 ,1e     C． 10, e      D． 0,1 二、多项选择题（每小题 5 分，共 20 分。下列每小题所给选项至少有一项符合题意，请将正确答案的 序号填涂在答题卡上） 9、已知等比数列 na 中，满足 1 1a  ， 2q = ， nS 是 na 的前 n 项和，则下列说法正确 的是（ ） A．数列 2na 是等比数列 B．数列 1 na       是递增数列 C．数列 2log na 是等差数列 D．数列 na 中， 10S ， 20S ， 30S 仍成等比数 列 10、 x  R ， x 表示不超过 x 的最大整数.十八世纪，  y x 被“数学王子”高斯采用， 因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（ ） A．  1,0x   ，  1x   B． x  R ，   1x x  C． ,x y  R ，     x y x y   D．函数   y x x x  R 的值域为 0,1 11、如图，在边长为 4 的正三角形 ABC 中，E 为边 AB 的中点，过 E 作 ED AC 于 D. 把 ADE 沿 DE 翻折至 1A DE△ 的位置，连结 1AC .翻折过程中，其中正确的结论是（ ） A． 1DE AC ； B．存在某个位置，使 1A E BE ； C．若 12CF FA  ，则 BF 的长是定值； D．若 12CF FA  ，则四面体C EFB 的体积最大值为 4 3 9 12、已知定义在 (1, ) 上的函数 ln 3 2( ) 1 x x xf x x    ，定义函数 ( ), ( )( ) , ( ) f x f x mg x m f x m    （其中 m 为实数），若对于任意的 (1, )x  ，都有 ( ) ( )g x f x ，则整数 m可以为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 第Ⅱ卷（共90分） 三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分；第16题第一个空2分，第二个空3分） 13、已知函数   3 1, 0 log , 0 x xf x x x      ，则   8f f   ____________． 14、若直线 l ： 2( 0, 0)x y a ba b     经过点(2,4)，则 a b的最小值是_______． 15．已知在锐角 ABC 中， 3A  ， 2CA CB   ,则CA CB  的取值范围 是 . 16.我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童 ABCD EFGH 有外接球，且 2 6AB  ， 2 2AD  ， 15EH  ， 5EF  ，平面 ABCD 与平面 EFGH 间的距离为1，则该刍童外接球的体积为_____. 四、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分;第 17 题 10 分，第 18-22 题 12 分，解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤.） 17、已知等差数列{ }na 的公差为 ( )d d  0 ，前 n 项和为 nS ，且满足_____.（从 ① 10 105( 1);S a  ② 1 2 6, ,a a a 成等比数列；③ 5 35S  ，这三个条件中任选两个补充到题干 中的横线位置，并根据你的选择解决问题） （1）求 na ； （2）若 1 2n nb  ，求数列 n na b 的前 n 项和 nT . 18、在 ABC 中，角 、 、A B C 所对的边分别为 a b c、 、 ， 2 sin cos sin 2 sinb C A a A c B  ； （1）证明： ABC 为等腰三角形； （2）若 D 为 BC 边上的点， 2BD DC ，且 2ADB ACD   ， 3a  ，求b 的值． 19、如图，三棱锥 A BCD 中，侧面 ABD△ 是边长为 2 的正三角形， 2 2AC CD  ， 平面 ABD  平面 BCD，把平面 ACD 沿 CD 旋转至平面 PCD的位置，记点 A旋转后对应 的点为 P （不在平面 BCD内）， M 、 N 分别是 BD 、 CD 的中点. （1）求证：CD MN ； （2）求三棱锥 C APD 的体积的最大值. 20、为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用，将癌细胞注入一只小白 鼠体内进行实验，经检测，癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表.已知这种癌细胞在小白 鼠体内的个数超过 810 时小白鼠将会死亡，注射这种抗癌药物可杀死其体内癌细胞的98%. 天数t 1 2 3 4 5 6 7 … 癌细胞个数 N 1 2 4 8 16 32 64 … （1）要使小白鼠在实验中不死亡，第一次最迟应在第几天注射该种药物？(精确到 1 天) （2）若在第 10 天，第 20 天，第 30 天，……给小白鼠注射这种药物，问第 38 天小白鼠是 否仍然存活？请说明理由.（注： 301.02lg  ） 21、在四棱锥 P ABCD 中， / /AB CD ， 2 2 2 4AB CD BC AD    ， 60DAB   ， AE BE ， PAD 为正三角形，且平面 PAD  平面 ABCD . （1）求二面角 P EC D  的余弦值； （2）线段 PC 上是否存在一点 M ，使异面直线 DM 和 PE 所成角的余弦值为 6 8 ？若存 在，指出点 M 的位置；若不存在，请说明理由. 22、已知函数   2 2 14ln 3x af x x x     ，   4lng x x ． （1）求证：   21 1f x ax       ； （2）用  max ,p q 表示 p ，q中的最大值，记       max ,h x f x g x ，讨论函数  h x 零点的个数． 21、已知三棱锥 A BCD 中， ABC 与 BCD 均为等腰直角三角形，且 90BAC   ， 6BC CD  ， E 为 AD 上一点，且 CE  平面 ABD . （1）求证： AB CD ； （2）过 E 作一平面分别交 AC ， BC ， BD 于 F ，G ，H ，若四边形 EFGH 为平行四 边形，求多面体 ABEFGH 的表面积. 22、已知函数   2 2 14ln 3x af x x x     ，   4lng x x ． （1）求证：   21 1f x ax       ； （2）用  max ,p q 表示 p ，q中的最大值，记       max ,h x f x g x ，讨论函数  h x 零点的个数． 选择题 1-4 C B C B 6-8 DBAC 多选题 9. AC 10. CD 11. ACD 12.AB 填空题 13、 2 14、3 2 2 15、（0，,12） 16、36 . 17、（1）①由  10 105 1S a  ，得  1 1 10 910 5 9 12a d a d    ，即 1 1a  ； ②由 1a ， 2a ， 6a 成等比数列，得 2 2 1 6a a a ， 2 2 2 1 1 1 12 5a a d d a a d    ，即 13d a ﹔ ③由 5 35S  ，得  1 5 3 5 5 352 a a a    ，即 3 1 2 7a a d   ； 选择①②、①③、②③条件组合，均得 1 3a  、 3d  ，即 3 2na n  ﹔ （2）由（I）得 3 2 2 1 n n nna b   ， 则 2 3 1 1 1 1[1 4 7 (3 2)] ( )2 2 2 2n nT n            1 1(1 )(1 3 2) 2 2 12 1 2 nn n     23 2 1 2 2n n n   ， 即 23 2 1 2 2n n n nT    18、 （1） 2 sin cos sin 2 sinb C A a A c B  ，由正弦定理得： 22 cos 2bc A a cb  ， 由余弦定理得： 2 2 2 22 22 b c abc a bcbc     ；化简得： 2 2 2b c bc  , 所以 2 0b c  即b c ， 故 ABC 为等腰三角形． （2）如图， 由已知得 2BD  ， 1DC  ， 2 ,ADB ACD ACD DAC       ACD DAC   ， 1AD CD   ， 又 cos cosADB ADC    ， 2 2 2 2 2 2 2 2 AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD        ，即 2 2 2 2 2 21 2 1 1 2 2 1 2 1 1 c b        ， 得 2 22 9b c  ，由（1）可知b c ，得 3b  ． 解法二：取 BC 的中点 E ，连接 AE ．由（1）知 ,AB AC AE BC   ， 由已知得 3 1, 1,2 2EC DC ED   ， 2 ,ADB ACD ACD DAC       ACD DAC   ， 2 2 2 1 31 2 2AE AD DE          ， 2 2 2 2 3 3 32 2b AC AE EC                  ． 19、（1）如图，连接 AM、 MC ，因为 AB AD ， M 是 BD 的中点，所以 AM BD ， 又平面 ABD  平面 BCD，平面 ABD  平面 BCD BD ， AM  平面 ABD ， 所以 AM  平面 BCD， MC  平面 BCD，所以 AM MC ．因为 ABD△ 为边长为 2 的正三角形，所以 3AM  ，又 2AC  ，所以由勾股定理可得 2 2 1MC AC AM   ， 又 1MC MD MB   ， MCB MBC   ， MCD MDC   ， 180MBC MDC BCD       ，则 2 180BCD   ， 90BCD   ， 所以 BCD 为直角三角形，且 BC CD ， 又 M 、 N 分别是 BD 、CD 的中点，所以 //MN BC ，所以 MN CD ； （2）如图，连接 AN 、 PN ，因为三棱锥 C APD 与三棱锥 P ACD 为同一个三棱锥，且 ACD△ 的面积为定值， 所以当三棱锥 P ACD 的体积最大时，则平面 PCD  平面 ACD ， AC AD ，则 PC PD ， NQ 为CD 的中点，则 PN CD ，平面 PCD  平面 ACD ，平面 PCD  平面 ACD CD ， PN  平面 PCD， PN  平面 ACD ， 此时点 P 到平面 ACD 的距离为 2 2 15 2PN AN AC CN    ， 在 ACD△ 中，因为 2AC AD  ， 1CD  ，所以 1 1 15 1512 2 2 4ACDS CD AN     △ ， 所以 P ACDV  的最大值为 1 1 15 15 5 3 3 4 2 8ACDS PN    △ ， 所以三棱锥 C APD 的体积的最大值为 5 8 ． 20、（1）根据表格可得癌细胞个数，成等比数列增长，首项为 1，公比为 2，其通项为 12t ta  ， 要使小白鼠在实验中不死亡，可建立不等式 1 82 10t  .∴ 8 2log 10 1 27.58t    ， 即第一 次最迟应在第 27 天注射该种药物. （2）设第 n 次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数为 na ，则  9 1 2 1 98%a   ，且  10 1 2 1 98%n na a   .∴  10 12 1 98% nn na   ∴  310 3 1 3 2 1 98%a    ，即第 3 次注射后 小白鼠体内的这种癌细胞个数为 32 3 2 100 .∴到第 38 天小白鼠体内这种癌细胞个数为 32 8 7 8 3 2 2 1.1 10 10100     ∴第 38 天小白鼠仍然存活. 21、设 O 是 AD 中点， PAD 为正三角形，则 PO AD ，平面 PAD  平面 ABCD ， PO 面 ABCD ，又∵ 2AD AE  ， 60DAB   ，所以 ADE 为正三角形，OE AD ， 建立如图所示空间直角坐标系O xyz ，则    0,0, 3 , 0, 3,0P E    2, 3,0 , 1,0,0C D  ， 于是 ( 2, 3, 3), (0, 3, 3)PC PE      ， (1,0, 3)DP  ， (1)设平面 PEC 的法向量为 1 ( , , )n x y z ，由 1 20, 0PC n PE n       得一个法向量为 1 (0,1,1)n  ur ，平面 EDC 的一个法向量为 2 (0,0,1)n  ，设二面角 P EC D  的平面角为  ，则 1 2 1 2| cos | cos , 22 n n      由图知为 锐角，所以，二面角 P EC D  的余弦值为 2 2 . (2) 设 (0 1)PM PC   „ „ ，则 ( 2 , 3 , 3 )PM      ， (1 2 , 3 , 3 3 ), (0, 3, 3)DM DP PM PE            ， 所以 2 | 6 3| 6cos , 8| | 6 10 10 4 DM PEDM PE DM PE                 ‖ 解得 1 3   或 2 3 ，所以存在点 M 为线段 PC 的三等分点. 22、（1）设   2 2 2 1 1 14ln 3 1 4 ln 1xx a a xxx x x                      ， 其定义域为 0,  ，     2 2 4 11 14 x x x xx        ． 当 0 1x  时，   0x  ；当 1x  时，   0x  ．故  x 在 0,1 上是减函数，在  1, 上是增函数，所以 1x  是  x 的极小值点，也是  x 的最小值点，即      min 1 0x x     ，故   21 1f x ax       成立． （2）函数  f x 的定义域为 0,  ，      3 2 3 2 2 1 14 2 2 x x x x xf x x      ， 当 0 1x  时，   0f x  ；当 1x  时，   0f x  ； 所以  f x 在 0,1 上是减函数，在 1, 上是增函数， 所以 1x  是  f x 的极小值点，也是  f x 的最小值点，即    min 1f x f a  ． （ⅰ）若 0a  ，        2 2 1 3 12 1 3 x xx xx x xf g      ． 当 0 1x  时，    f x g x ；当 1x  时，    f x g x ；当 1x  时，    f x g x ， 所以       ,0 1, , 1, f x xh x g x x      此时，  h x 只有一个零点 1x  ； （ⅱ）若 0a  ，        2 1 3 1x xf x g x ax      ， 当 0 1x  时，    f x g x ，则     0h x f x a   ； 当 1x  时，   0f x a  ，   0g x  ，则   0h x  ．此时  h x 没有零点； （ⅲ）若 0a  ，当 0 1x  时，根据（1）知，   21 1f x ax       ． 而 10 1 1a     ，所以  21 1 1 0 1 f a a a            ， 又    min 1 0f x f a   ，所以  f x 在 0,1 上只有一个零点 0x ， 从而一定存在  0 ,1c x ，使得    f c g c ，即 2 2 1 3 0c ac     ， 即 2 2 13 ca c   ．当 x c 时，     2 2 2 2 1 2 1 2 13 2 0x x c x c c xax x cg x f cx cx x                   ， 所以    g x f x ，从而       ,0 , , f x x ch x g x x c      从而  h x 在 0,c 上有一个零点 0x ，在  ,c  上有一个零点 1．此时，当 0a  时，  h x 有两个零点．综上，当 0a  时，  h x 有 一个零点；当 0a  时，  h x 没有零点；当 0a  时，  h x 有两个零点． 21、（1）由 90BAC   ，所以 AB AC ，由CE  平面 ABD ， AB Ì平面 ABD ，可得 CE AB ，又由 AC CE C ，且 AC  平面 ACD ，CE  平面 ACD ，所以 AB  平 面 ACD ，又因为CD 平面 ACD ,所以 AB CD . （2）在等腰直角 BCD 中， 6BC CD  ，所以 BC CD ，又因为 AB CD ，可得CD  平面 ABC ，所以CD AC .等腰 Rt ABC 中，由 6BC  ，可得 3 2AC  ， 又 Rt ACD 中， 6CD  ，CE AD ，所以 2 2 3 6AD AC CD   ， 而 2AC AE AD  ，可得 6AE  ，故 1 3AE AD ， 因为四边形 EFGH 为平行四边形，所以 / /EF GH ，可得 / /EF 平面 BCD， 又 EF  平面 ACD ，且平面 ACD 平面 BCD CD ，所以 / /EF CD ， 由 1 3AE AD ，可得 1 23EF CD  ，且有 1 3AF AC ， 由CD  平面 ABC ，可得CD FG ， 进而得到 EF FG ，所以四边形 EFGH 为矩形， 同理可得 / /FG AB ，且 2 2 23FG AB  ， 可得 1 1 2 22 22AEF ES F AF      △ ， 1 1 2 22 2 2BGH GF BS G     △ ， 2 22 42EFGH EF FS G    ， 5ABGFS  5 3AEHBS △ . 所以所求表面积为 7 5 3 5 2S    .