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- 2021-06-16 发布
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第七节 函数的图象
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求
真题举例
命题角度
1.在实际情境中,会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数;
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题。
2016,全国卷Ⅰ,7,5分(函数图象的识别)
2016,全国卷Ⅱ,12,5分(函数图象的应用)
2016,山东卷,15,5分(函数图象的应用)
2015,全国卷Ⅰ,12,5分(函数图象、单调性的综合应用)
1.由实际问题中的函数变化过程选图、根据解析式选图、解决函数的性质问题是高考的热点;
2.常与函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、零点)、方程、不等式等知识交汇考查。
微知识 小题练
自|主|排|查
1.利用描点法作函数图象
基本步骤是列表、描点、连线。
首先:(1)确定函数的定义域;
(2)化简函数解析式;
(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)。
其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线。
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换:
y=f(x)y=f(x-a);
y=f(x)y=f(x)+b。
(2)伸缩变换:
y=f(x) y=f(ωx);
y=f(x)
y=Af(x)。
(3)对称变换:
y=f(x)y=-f(x);
y=f(x)y=f(-x);
y=f(x)y=-f(-x)。
(4)翻折变换:
y=f(x)y=f(|x|);
y=f(x)y=|f(x)|。
微点提醒
1.在解决函数图象的变换问题时,要遵循“只能对函数关系式中的x,y变换”的原则。
2.注意含绝对值符号的函数图象的对称性,如y=f(|x|)与y=|f(x)|的图象一般是不同的。
3.记住几个重要结论
(1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称。
(2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)中心对称。
(3)若函数y=f(x)对定义域内任意自变量x满足:f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。
小|题|快|练
一 、走进教材
1.(必修1P112A组T4改编)甲、乙二人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步,乙先跑步到中点再改为骑自行车,最后两人同时到达B地。已知甲骑车比乙骑车的速度快,且两人骑车速度均大于跑步速度。现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示,则下列给出的四个函数图象中,甲、乙的图象应该是( )
A.甲是图①,乙是图② B.甲是图①,乙是图④
C.甲是图③,乙是图② D.甲是图③,乙是图④
【解析】 由题知速度v=反映在图象上为某段图象所在直线的斜率。由题知甲骑自行车速度最大,跑步速度最小,甲的与图①符合,乙的与图④符合。故选B。
【答案】 B
2.(必修1P113B组T2改编)如图,不规则图形ABCD中:AB和CD是线段,AD和BC是圆弧,直线l⊥AB于E,当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时,把四边形ABCD分成两部分,设AE=x,左侧部分面积为y,则y关于x的大致图象为( )
【解析】 因为左侧部分面积为y,随x的变化而变化,最初面积增加得快,后来均匀增加,最后缓慢增加,只有D选项符合。
【答案】 D
二、双基查验
1.(2016·大连模拟)函数y=log2|x|的图象大致是( )
【解析】 函数y=log2|x|为偶函数,作出x>0时y=log2x的图象,再根据图象关于y轴对称,作出y轴左侧的图象,应选C。
【答案】 C
2.函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【解析】 由函数解析式可知f(x)=f(-x),即函数为偶函数,排除C;由函数图象过(0,0)点,排除B,D。故选A。
【答案】 A
3.已知函数y=f(x+1)的图象过点(3,2),则函数y=f(x)的图象关于x轴对称的图象过定点( )
A.(1,-2) B.(2,-2)
C.(3,-2) D.(4,-2)
【解析】 由已知有f(4)=2,故函数y=f(x)的图象一定过点(4,2),函数y=f(x)的图象关于x轴对称的图象过定点(4,-2)。故选D。
【答案】 D
4.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)=( )
A.ex+1 B.ex-1
C.e-x+1 D.e-x-1
【解析】 依题意,与曲线y=ex关于y轴对称的曲线是y=e-x,于是f(x)相当于y=e-x的图象向左平移1个单位得到的,∴f(x)=e-(x+1)=e-x-1。故选D。
【答案】 D
5.若将函数y=f(x)的图象向左平移2个单位,再沿y轴对折,得到y=lg(x+1)的图象,则f(x)=________。
【解析】 把y=lg(x+1)的图象沿y轴对折得到y=lg(-x+1)的图象,再将图象向右平移2个单位得y=lg[-(x-2)+1]=lg(3-x)的图象,∴f(x)=lg(3-x)。
【答案】 lg(3-x)
微考点 大课堂
考点一
作函数的图象……母题发散
【典例1】 作出下列函数的图象:
(1)y=|lgx|;
(2)y=;
(3)y=x2-2|x|-1。
【解析】 (1)y=|lg x|=作出图象如图①。
(2)因y=1+,先作出y=的图象,将其图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位,即得y=的图象,如图②。
(3)y=图象如图③。
【答案】 见解析
【母题变式】 将本典例(3)改为y=|x2-2x-1|,其图象怎样画出?
【解析】 y=图象如下图。
【答案】 见解析
反思归纳 1.常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y=x+(m>0)的函数是图象变换的基础;
2.掌握平移变换、伸缩变换、对称变换规律,可以帮助我们简化作图过程。
【拓展变式】 作出下列函数的图象。
(1)y=|x-2|·(x+1);
(2)y=。
【解析】 (1)当x≥2,即x-2≥0时,
y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=2-;
当x<2,即x-2<0时,
y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2
=-2+。
∴y=
这是分段函数,每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)。
(2)y==1-,该函数图象可由函数y=-向左平移3个单位,再向上平移1个单位得到,如下图所示。
【答案】 见解析
考点二
函数图象的识别
【典例2】 (2016·全国卷Ⅰ)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为( )
【解析】 当x∈(0,2]时,y=f(x)=2x2-ex,
f′(x)=4x-ex。f′(x)在(0,2)上只有一个零点x0,且当00。故f(x)在(0,2]上先减后增,又f(2)-1=7-e2<0,所以f(2)<1。故选D。
【答案】 D
反思归纳 函数图象的识别可从以下方面入手:
1.根据函数的定义域判断图象的左右位置,根据函数的值域判断图象的上下位置;
2.根据函数的单调性,判断图象的变化趋势;
3.根据函数的奇偶性,判断图象的对称性;
4.根据函数的周期性,判断图象的循环往复。
5.取特殊值代入,进行检验。
【变式训练】 如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为( )
【解析】 由题图可知:当x=时,OP⊥OA,此时f(x)=0,排除A、D;当x∈时,OM=cosx,设点M到直线OP的距离为d,则=sinx,即d=OMsinx=sinxcosx,∴当x∈时,f(x)=sinxcosx=sin2x≤,排除B。故选C。
【答案】 C
考点三
函数图象的对称问题
【典例3】 (1)设函数y=f(x)的定义域为实数集R,则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于( )
A.直线y=0对称 B.直线x=0对称
C.直线y=1对称 D.直线x=1对称
(2)已知f(x)=ln(1-x),函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(1,0)对称,则g(x)的解析式为________。
【解析】 (1)方法一:设t=x-1,则y=f(t)与y=f(-t),关于t=0对称,即关于x=1对称。故选D。
方法二:y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象分别由y=f(x)与y=f(-x)的图象同时向右平移一个单位而得,又y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称。
∴y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于直线x=1对称。故选D。
(2)设P(x,y)为函数y=g(x)上任意一点,则点P(x,y)关于点(1,0)的对称点Q(2-x,-y)在函数y=f(x)图象上,即-y=f(2-x)=ln(x-1)。
∴y=-ln(x-1),∴g(x)=-ln(x-1)。
【答案】 (1)D (2)g(x)=-ln(x-1)
反思归纳 1.求一曲线关于一点或一直线对称曲线方程。一般运用相关点求轨迹的方法。
2.下列结论需记住:
(1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称;
(2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称;
(3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称;
(4)y=f(x)与y=f(2m-x)的图象关于直线x=m对称。
【变式训练】 (1)已知函数f(2x+1)是奇函数,则函数y=f(2x)的图象关于下列哪个点成中心对称。( )
A.(1,0) B.(-1,0)
C. D.
(2)求证:若函数f(x)满足对任意x,都有f(a-x)=f(a+x),则函数f(x)的图象关于直线x=a对称。
【解析】 (1)f(2x+1)是奇函数,所以图象关于原点成中心对称,而f(2x)的图象是由f(2x+1)的图象向右平移个单位得到的,故关于点成中心对称。故选C。
(2)证明:设P(x0,y0)为函数y=f(x)图象上任意一点。则P(x0,y0)关于直线x=a的对称点为Q(2a-x0,y0)。
∵f(2a-x0)=f[a+(a-x0)]=f[a-(a-x0)]=f(x0)=y0,
∴点Q(2a-x0,y0)也在函数y=f(x)的图象上。
∴函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。
【答案】 (1)C (2)见解析
考点四
函数图象的应用…………多维探究
角度一:利用图象研究函数性质
【典例4】 已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( )
A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)
B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1)
C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)
D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)
【解析】 将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值得f(x)=
画出函数f(x)的图象,如图,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减。故选C。
【答案】 C
角度二:利用图象研究函数的零点
【典例5】 (2016·山东高考)已知函数f(x)=其中m>0。若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是________。
【解析】 f(x)=当x>m时,f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,其顶点为(m,4m-m2);当x≤m时,函数f(x)的图象与直线x=m的交点为Q(m,m)。①当即03时,函数f(x)的图象如图②所示,则存在实数b满足4m-m20)的图象因酷似汉字的“囧”字,而被称为“囧函数”。则方程=x2-1的实数根的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
【解析】 (1)由题图可知,f(0)=f(3)=f(6)=0,所以函数y=在x=0,x=3,x=6时无定义,故排除A、C、D,选B。
(2)方程=x2-1的根个数转化为函数y=与y=x2-1的图象交点个数,作出这两个函数的图象如图所示,图象的交点一共有3个。故选C。
【答案】 (1)B (2)C
微考场 新提升
1.函数y=的图象大致是( )
解析 当x<0时,函数的图象是抛物线;当x≥0时,只需把y=2x的图象在y轴右侧的部分向下平移1个单位即可,故大致图象为B。故选B。
答案 B
2.(2017·岳阳一中月考)函数f(x)=loga|x|+1(00时,f(x)=loga|x|+1(00。
答案 (0,+∞)
5.已知f(x)=则函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点个数是________。
解析 方程2f2(x)-3f(x)+1=0的解为f(x)=或1。作出y=f(x)的图象,由图象知零点的个数为2+3=5。
答案 5