【数学】2019届一轮复习北师大版平面向量应用举例学案文 19页

‎§5.4　平面向量应用举例 最新考纲 考情考向分析 ‎1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．‎ ‎2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.‎ 主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题.‎ ‎1．向量在平面几何中的应用 ‎(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：‎ 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0‎ 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量 长度问题 数量积的定义 ‎|a|＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量 ‎(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：‎ 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．‎ ‎2．向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．‎ ‎3．向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．‎ 知识拓展 ‎1．若G是△ABC的重心，则＋＋＝0.‎ ‎2．若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若∥，则A，B，C三点共线．(　√　)‎ ‎(2)在△ABC中，若·<0，则△ABC为钝角三角形．(　×　)‎ ‎(3)若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是菱形．(　√　)‎ ‎(4)设定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是x＋2y－4＝0.(　√　)‎ ‎(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：＝＋t(＋)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 答案　B 解析　＝(2，－2)，＝(－4，－8)，＝(－6，－6)，‎ ‎∴||＝＝2，||＝＝4，‎ ‎||＝＝6，‎ ‎∴||2＋||2＝||2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形．‎ ‎3．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC为________三角形．‎ 答案　等腰 解析　∵－＝＝－，‎ ＋－2＝(－)＋(－)＝＋，‎ 由已知(－)·(＋－2)＝0，‎ 得(－)·(＋)＝0，‎ 即(－)⊥(＋)．‎ ‎∴△ABC为等腰三角形．‎ 题组三　易错自纠 ‎4．在△ABC中，已知＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，则实数k的值为________________．‎ 答案　－或或 解析　①若A＝90°，则有·＝0，即2＋3k＝0，‎ 解得k＝－；‎ ‎②若B＝90°，则有·＝0，‎ 因为＝－＝(－1，k－3)，‎ 所以－2＋3(k－3)＝0，解得k＝；‎ ‎③若C＝90°，则有·＝0，即－1＋k(k－3)＝0，‎ 解得k＝.‎ 综上所述，k＝－或或.‎ ‎5．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为________．‎ 答案　5‎ 解析　依题意得·＝1×(－4)＋2×2＝0，‎ 所以⊥，所以四边形ABCD的面积为 ||·||＝××＝5.‎ ‎6．抛物线M的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，准线与曲线E：x2＋y2－6x＋4y－3＝0只有一个公共点，设A是抛物线M上一点，若·＝－4，则点A的坐标是_________．‎ 答案　(1,2)或(1，－2)‎ 解析　设抛物线M的方程为y2＝2px(p>0)，则其准线方程为x＝－.‎ 曲线E的方程可化为(x－3)2＋(y＋2)2＝16，‎ 则有3＋＝4，解得p＝2，所以抛物线M的方程为y2＝4x，F(1,0)．设A，则＝，＝，所以·＝－y＝－4，解得y0＝±2.所以点A的坐标为(1,2)或(1，－2)．‎ 题型一　向量在平面几何中的应用 典例 (1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB＝________.‎ 答案　 解析　在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，‎ 则＝，∴＝＝－，‎ 又∵＝＋，‎ ‎∴·＝(＋)· ‎＝2－·＋·－2‎ ‎＝||2＋||||cos 60°－||2‎ ‎＝1＋×||－||2＝1.‎ ‎∴||＝0，又||≠0，∴||＝.‎ ‎(2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)‎ A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 答案　C 解析　由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．‎ 引申探究 本例(2)中，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________．‎ 答案　内心 解析　由条件，得－＝λ，即＝λ，而和分别表示平行于，的单位向量，故＋平分∠BAC，即平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的内心．‎ 思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 ‎(1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．‎ ‎(2)基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．‎ 跟踪训练 (1)在△ABC中，已知向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC为(　　)‎ A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形 答案　A 解析　，分别为平行于，的单位向量，由平行四边形法则可知＋为∠BAC的平分线．因为·＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC.‎ 又·＝·cos∠BAC＝，所以cos∠BAC＝，又0<∠BAC<π，故∠BAC＝，所以△ABC为等边三角形．‎ ‎(2)(2017·长沙长郡中学临考冲刺训练)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 答案　A 解析　取HF的中点O，‎ 则·＝·＝2－2‎ ‎＝1－2＝，‎ ·＝·＝2－2‎ ‎＝1－2＝，‎ 因此·＋·＝，故选A.‎ 题型二　向量在解析几何中的应用 典例 (1)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A，B，C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．‎ 答案　2x＋y－3＝0‎ 解析　∵＝－＝(4－k，－7)，‎ ＝－＝(6，k－5)，且∥，‎ ‎∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，‎ 解得k＝－2或k＝11.‎ 由k<0可知k＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.‎ ‎(2)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．‎ 答案　6‎ 解析　由题意，得F(－1,0)，设P(x0，y0)，‎ 则有＋＝1，解得y＝3，‎ 因为＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，‎ 所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝＋x0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x0＝－2，因为－2≤x0≤2，故当x0＝2时，·取得最大值＋2＋3＝6.‎ 思维升华 向量在解析几何中的“两个”作用 ‎(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．‎ ‎(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．‎ 跟踪训练 (1)(2017·衡阳联考)已知对任意平面向量＝(x，y)，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量＝(xcos θ－ysin θ，xsin θ＋ycos θ)叫作把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P.设平面内曲线C上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线x2－y2＝2，则原来曲线C的方程是(　　)‎ A．xy＝－1 B．xy＝1‎ C．y2－x2＝2 D．y2－x2＝1‎ 答案　A 解析　设平面内曲线C上的点P(x，y)，则其绕原点沿逆时针方向旋转后得到点P′，‎ ‎∵点P′在曲线x2－y2＝2上，‎ ‎∴2－2＝2，‎ 整理得xy＝－1.故选A.‎ ‎(2)(2017·安徽省安师大附中、马鞍山二中测试)已知点A在椭圆＋＝1上，点P满足＝(λ－1)·(λ∈R)(O是坐标原点)，且·＝72，则线段OP在x轴上的射影的最大值为________．‎ 答案　15‎ 解析　因为＝(λ－1)，所以＝λ，‎ 即O，A，P三点共线，因为·＝72，‎ 所以·＝λ||2＝72，‎ 设A(x，y)，OA与x轴正方向的夹角为θ，线段OP在x轴上的射影为|||cos θ|＝|λ||x|＝＝＝≤＝15，‎ 当且仅当|x|＝时取等号．‎ 题型三　向量的其他应用 命题点1　向量在不等式中的应用 典例 已知O是坐标原点，点A(－1,2)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是(　　)‎ A．[－1,0] B．[0,1]‎ C．[1,3] D．[1,4]‎ 答案　D 解析　作出点M(x，y)满足的平面区域，如图阴影部分所示，设z＝·，因为A(－1,2)，M(‎ x，y)，所以z＝·＝－x＋2y，即y＝x＋z.平移直线y＝x，由图像可知，当直线y＝x＋z经过点C(0,2)时，截距最大，此时z最大，最大值为4，当直线y＝x＋z经过点B时，截距最小，此时z最小，最小值为1，故1≤z≤4，即1≤·≤4.‎ 命题点2　向量在解三角形中的应用 典例 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若20a＋15b＋12c＝0，则△ABC最小角的正弦值等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　∵20a＋15b＋12c＝0，‎ ‎∴20a(－)＋15b＋12c＝0，‎ ‎∴(20a－15b)＋(12c－20a)＝0，‎ ‎∵与不共线，‎ ‎∴　解得 ‎∴△ABC最小角为角A，‎ ‎∴cos A＝＝＝，‎ ‎∴sin A＝，故选C.‎ 思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．‎ 跟踪训练 (1)函数y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图像如图所示，M，N 分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且·＝0，则函数f(x)的最小正周期是______．‎ 答案　3‎ 解析　由图像可知，M，N，‎ 所以·＝·(xN，－1)＝xN－1＝0，‎ 解得xN＝2，‎ 所以函数f(x)的最小正周期是2×＝3.‎ ‎(2)已知x，y满足若＝(x,1)，＝(2，y)，且·的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是________．‎ 答案　 解析　因为＝(x,1)，＝(2，y)，所以·＝2x＋y，令z＝2x＋y，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，‎ 观察图像可知，当目标函数z＝2x＋y过点C(1,1)时，zmax＝2×1＋1＝3，目标函数z＝2x＋y过点F(a，a)时，zmin＝2a＋a＝3a，所以3＝8×3a，解得a＝.‎ 三审图形抓特点 典例 已知A，B，C，D是函数y＝sin(ωx＋φ) 一个周期内的图像上的四个点，如图所示，A，B为y轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个 对称中心，B与D关于点E对称，由在x轴上的射影为，则ω，φ的值为(　　)‎ A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝ C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝ ―→―→ ―→ 解析　由E为该函数图像的一个对称中心，作点C的对称点M，作MF⊥x轴，垂足为F，如图．B与D关于点E对称，由在x轴上的射影为，知OF＝.‎ 又A，所以AF＝＝＝，所以ω＝2.同时函数y＝sin(ωx＋φ)图像可以看作是由y＝sin ωx的图像向左平移得到，故可知＝＝，即φ＝.‎ 答案　A ‎1．(2018·株州模拟)在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是(　　)‎ A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案　C 解析　由(＋)·＝||2，‎ 得·(＋－)＝0，‎ 即·(＋＋)＝0,2·＝0，‎ ‎∴⊥，∴A＝90°.‎ 又根据已知条件不能得到||＝||，‎ 故△ABC一定是直角三角形．‎ ‎2．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 答案　D 解析　∵＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，‎ ‎∴·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，‎ ‎∴y2＝x＋6，即点P的轨迹是抛物线．‎ ‎3．已知向量m＝(1，cos θ)，n＝(sin θ，－2)，且m⊥n，则sin 2θ＋6cos2θ的值为(　　)‎ A. B．2‎ C．2 D．－2‎ 答案　B 解析　由题意可得m·n＝sin θ－2cos θ＝0，‎ 则tan θ＝2，所以sin 2θ＋6cos2θ＝ ‎＝＝2.故选B.‎ ‎4．(2017·长春质量监测)在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且＝＋，则等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　如图，由已知得点D在△ABC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处，从而有S△ABD＝S△ABC，S△ACD＝S△ABC，S△BCD＝S△ABC＝S△ABC，‎ 所以＝.‎ ‎5．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，则·的最大值、最小值分别为(　　)‎ A．9,7 B．8,7‎ C．9,8 D．17,8‎ 答案　B 解析　由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，设E(x，y)(－3≤x≤3)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－x2＝＋7，所以当x＝0时，·有最小值7，当x＝±3时，·有最大值8，故选B.‎ ‎6．(2018·四川凉山州一诊)若直线ax－y＝0(a≠0)与函数f(x)＝的图像交于不同的两点A，B，且点C(6,0)，若点D(m，n)满足＋＝，则m＋n等于(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 答案　B 解析　因为f(－x)＝＝＝－f(x)，且直线ax－y＝0过坐标原点，所以直线与函数f(x)＝的图像的两个交点A，B关于原点对称，‎ 即xA＋xB＝0，yA＋yB＝0，又＝(xA－m，yA－n)，＝(xB－m，yB－n)，＝(m－6，n)，由＋＝，得xA－m＋xB－m＝m－6，yA－n＋yB－n＝n，解得m＝2，n＝0，所以m＋n＝2，故选B.‎ ‎7．在菱形ABCD中，若AC＝4，则·＝________.‎ 答案　－8‎ 解析　设∠CAB＝θ，AB＝BC＝a，‎ 由余弦定理得a2＝16＋a2－8acos θ，∴acos θ＝2，‎ ‎∴·＝4×a×cos(π－θ)＝－4acos θ＝－8.‎ ‎8．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是________．‎ 答案　 解析　由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，‎ 即4|b|2＋4×2|b|2cos θ＝0，∴cos θ＝－.‎ 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.‎ ‎9．已知O为△ABC内一点，且＋＋2＝0，则△AOC与△ABC的面积之比是________．‎ 答案　1∶2‎ 解析　如图所示，取AC的中点D，‎ ‎∴＋＝2，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴O为BD的中点，‎ ‎∴面积比为高之比．‎ 即＝＝.‎ ‎10．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为________．‎ 答案　－ 解析　∵圆心O是直径AB的中点，‎ ‎∴＋＝2，∴(＋)·＝2·，‎ ‎∵||＋||＝3≥2，‎ ‎∴||·||≤，‎ 即(＋)·＝2·＝－2||·||≥－，当且仅当||＝||＝时，等号成立，故最小值为－.‎ ‎11．已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足·＝0，＝－，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．‎ 解　设M(x，y)为所求轨迹上任一点，‎ 设A(a,0)，Q(0，b)(b＞0)，‎ 则＝(a,3)，＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)，‎ 由·＝0，得a(x－a)＋3y＝0.①‎ 由＝－，得 ‎(x－a，y)＝－(－x，b－y)＝，‎ ‎∴∴ ‎∵b＞0，∴y＞0，‎ 把a＝－代入到①中，得－＋3y＝0，‎ 整理得y＝x2(x≠0)．‎ ‎∴动点M的轨迹方程为y＝x2(x≠0)．‎ ‎12．(2018·酒泉质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．‎ 解　(1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C.‎ 根据正弦定理得 ‎(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，‎ 所以sin Acos B＝sin(C＋B)，‎ 即sin Acos B＝sin A，‎ 因为A∈(0，π)，所以sin A>0.‎ 所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎(2)因为|－|＝，所以||＝.‎ 即b＝，根据余弦定理及基本不等式，得 ‎6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，即ac≤3(2＋)，‎ 故△ABC的面积S＝acsin B≤，‎ 即△ABC的面积的最大值为.‎ ‎13．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ， λ∈(0，＋∞)，则(　　)‎ A．动点P的轨迹一定通过△ABC的重心 B．动点P的轨迹一定通过△ABC的内心 C．动点P的轨迹一定通过△ABC的外心 D．动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心 答案　D 解析　由条件，得＝λ，‎ 从而·＝λ ‎＝λ·＋λ·＝0，‎ 所以⊥，则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．‎ ‎14．(2018·北京市丰台区二模)已知O为△ABC的外心，且＝λ＋μ.‎ ‎(1)若∠C＝90°，则λ＋μ＝________；‎ ‎(2)若∠ABC＝60°，则λ＋μ的最大值为________．‎ 答案　(1)　(2) 解析　(1)若∠C＝90°，则O为AB边的中点，‎ ＝，即λ＝，μ＝0，故λ＋μ＝.‎ ‎(2)设△ABC的三边长分别为a，b，c，因为O为△ABC的外心，且＝λ＋μ，‎ 所以 即 化简得解得 则λ＋μ＝－≤－＝.‎ ‎15．(2018·台州一模)已知共面向量a，b，c满足|a|＝3，b＋c＝2a，且|b|＝|b－c|.若对每一个确定的向量b，记|b－ta|(t∈R)的最小值为dmin，则当b变化时，dmin的最大值为(　　)‎ A. B．2 C．4 D．6‎ 答案　B 解析　固定向量a＝(3,0)，则b，c向量分别在以(3,0)为圆心，r为半径的圆上的直径两端运动，其中，＝a，＝b，＝c，如图，易得点B的坐标 B(rcos θ＋3，rsin θ)，‎ 因为|b|＝|b－c|，‎ 所以OB＝BC，即(rcos θ＋3)2＋r2sin2θ＝4r2，‎ 整理为r2－2rcos θ－3＝0，可得cos θ＝，‎ 而|b－ta|(t∈R)的最小值为dmin，‎ 即dmin＝rsin θ＝＝≤2，‎ 所以dmin的最大值是2，故选B.‎ ‎16．(2018·宁德质检)已知在△ABC中，AB