【数学】2020届一轮复习北师大版证明不等式的基本方法学案 10页

第二讲 证明不等式的基本方法 考情分析 从近两年的高考试题来看，不等式的证明主要考查比较法与综合法，而比较法多用作差比较，综合法主要涉及基本不等式与不等式的性质，题目难度不大，属中档题．‎ 在证明不等式时，要依据命题提供的信息选择合适的方法与技巧进行证明．如果已知条件与待证结论之间的联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”“恒成立”等方式给出，可考虑用反证法．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、放缩法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．‎ 真题体验 ‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：‎ ‎(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；‎ ‎(2)a＋b≤2.‎ 证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6‎ ‎＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)‎ ‎＝4＋ab(a2－b2)2≥4.‎ ‎(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3‎ ‎＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b)‎ ‎＝2＋，‎ 所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.‎ ‎2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.‎ 解：(1)f(x)＝ 当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1；‎ 当－＜x＜时，f(x)＜2恒成立；‎ 当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1.‎ 所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．‎ ‎(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－ 1)(1－b2)＜0.因此|a＋b|＜|1＋ab|.‎ 比较法证明不等式 比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件．‎ 作差比较法证明的一般步骤是：①作差；②恒等变形；③判断结果的符号；④下结论．其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．‎ ‎[例1]　若x，y，z∈R，a>0，b>0，c>0，求证：‎ x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋zx)．‎ ‎[证明]　∵x2＋y2＋z2－2(xy＋yz＋zx)‎ ‎＝＋＋‎ ＝x－ y2＋‎ y－ z2＋z－ x2≥0.‎ ‎∴x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋zx).‎ 综合法证明不等式 综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立．‎ 综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论．证明时要注意：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握．‎ ‎[例2]　设a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1.‎ 求证：(1)2ab＋bc＋ca＋≤；‎ ‎(2)＋＋≥2.‎ ‎[证明]　(1)因为1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，‎ 当且仅当a＝b时等号成立，‎ 所以2ab＋bc＋ca＋＝(4ab＋2bc＋2ca＋c2)≤.‎ ‎(2)因为≥，≥，≥，‎ 当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．‎ 所以＋＋ ‎≥＋＋ ‎＝a＋b＋c ‎≥2a＋2b＋2c＝2，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立.‎ 分析法证明不等式 分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发， 逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．‎ 当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效．‎ 分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．‎ ‎[例3]　已知a>0，b>0，且a＋b＝1，求证： ＋ ≤2.‎ ‎[证明]　要证 ＋ ≤2，‎ 只需证2≤4，‎ 即证a＋b＋1＋2 ≤4.‎ 即证≤1.‎ 也就是要证ab＋(a＋b)＋≤1，‎ 即证ab≤.‎ ‎∵a>0，b>0，a＋b＝1.‎ ‎∴1＝a＋b≥2，∴ab≤，即上式成立．‎ 故 ＋ ≤2.‎ 反证法证明不等式 用直接法证明不等式困难的时候，可考虑用间接证法予以证明，反证法是间接证法的一种．‎ 假设欲证的命题是“若A则B”，我们可以通过否定来达到肯定B的目的，如果只有有限多种情况，就可用反证法．‎ 用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件、公理、定理或某些性质相矛盾的结论，从而肯定原命题成立．‎ ‎[例4]　已知a，b，c为实数，a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证：a>0，b>0，c>0.‎ ‎[证明]　假设a，b，c不全是正数，即其中至少有一个不是正数．不妨先设a≤0，下面分a＝0或a<0两种情况讨论．‎ ‎①如果a＝0，那么abc＝0，与已知矛盾，‎ 所以a＝0不可能．‎ ‎②如果a<0，那么由abc>0，可得bc<0.‎ 又因为a＋b＋c>0，所以b＋c>－a>0，‎ 于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc<0，‎ 这与已知中的ab＋bc＋ca>0相矛盾．‎ 因此，a<0也不可能．综上所述，a>0.‎ 同理可以证明b>0，c>0，所以原命题成立.‎ 放缩法证明不等式 放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式关系的传递性，作适当的放大或缩小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法．‎ 放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当放缩，否则达不到目的．‎ ‎[例5]　已知n∈N＋，求证：＋＋…＋<.‎ ‎[证明]　因为<＝，‎ 所以＋＋…＋<＋＋…＋＝<.‎ ‎ (时间：90分钟，总分120分)‎ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．用分析法证明不等式的推论过程一定是(　　)‎ A．正向、逆向均可进行正确的推理 B．只能进行逆向推理 C．只能进行正向推理 D．有时能正向推理，有时能逆向推理 解析：选B　在用分析法证明不等式时，是从求证的不等式出发，逐步探索使结论成立的充分条件即可，故只需进行逆向推理即可．‎ ‎2．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x<0)，则a与b的大小关系是(　　)‎ A．ab C．a＝b D．a≤b 解析：选B　∵a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex(x<0)，故b<1，‎ ‎∴a>b.‎ ‎3．已知a，b，c，d为实数，ab＞0，－＜－，则下列不等式中成立的是(　　)‎ A．bc＜ad B．bc＞ad C.＞ D.＜ 解析：选B　将－＜－两边同乘以正数ab，得－bc＜－ad，所以bc＞ad.‎ ‎4．已知x1>0，x1≠1，且xn＋1＝(n∈N*)，试证“数列{xn}对任意正整数n都满足xnxn＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为(　　)‎ A．对任意的正整数n，都有xn＝xn＋1‎ B．存在正整数n，使xn>xn＋1‎ C．存在正整数n(n≥2)，使xn≥xn＋1且xn≤xn－1‎ D．存在正整数n(n≥2)，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0‎ 解析：选D　命题的结论是等价于“数列{xn}是递增数列或是递减数列”，其反设是“数列既不是递增数列，也不是递减数列”，由此可知选D.‎ ‎5．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)‎ A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 解析：选A　至少有一个实根的否定是没有实根，故做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．‎ ‎6．使不等式＋＞1＋成立的正整数a的最大值为(　　)‎ A．10 B．11‎ C．12 D．13‎ 解析：选C　用分析法可证a＝12时不等式成立，a＝13时不等式不成立．‎ ‎7．已知a，b，c，d∈R＋且S＝＋＋＋，则下列判断中正确的是(　　)‎ A．00，b>0，c>0，且a2＋b2＝c2，则an＋bn与cn的大小关系为(n≥3，n∈N＋)(　　)‎ A．an＋bn>cn B．an＋bnN>P>Q B．M>P>N>Q C．M>P>Q>N D．N>P>Q>M 解析：选D　∵α∈，∴0>sin α>cos α.‎ ‎∴|sin α|<|cos α|，‎ ‎∴P＝|sin α＋cos α|＝(|sin α|＋|cos α|)‎ ‎>(|sin α|＋|sin α|)＝|sin α|＝M.‎ P＝|sin α|＋|cos α|‎ ‎<(|cos α|＋|cos α|)＝|cos α|＝N.‎ ‎∴N>P>M.‎ ‎∵Q＝＝<＝P，Q＝>＝|sin α|＝M，‎ ‎∴N>P>Q>M.‎ 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)‎ ‎11．用反证法证明“在△ABC中，若∠A是直角，则∠B一定是锐角”时，应假设________________．‎ 解析：“∠B一定是锐角”的否定是“∠B不是锐角”．‎ 答案：∠B不是锐角 ‎12．如果a＋b>a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．‎ 解析：由知a≥0，知b≥0，而a＋b≠a＋b，知b≠a.此时a＋b－(a＋b)＝(－)2(＋)>0，不等式成立．故实数a，b应满足的条件是a≥0，b≥0，a≠b.‎ 答案：a≥0，b≥0，a≠b ‎13．已知a＋b>0，则＋与＋的大小关系是________．‎ 解析：＋－＝＋ ‎＝(a－b)＝.‎ ‎∵a＋b>0，(a－b)2≥0，‎ ‎∴≥0.‎ ‎∴＋≥＋.‎ 答案：＋≥＋ ‎14．设0f>f>f.‎ 答案：f>f>f>f 三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15．(本小题满分12分)设|a|＜1，|b|＜1，求证：|a＋b|＋|a－b|＜2.‎ 证明：当a＋b与a－b同号时，|a＋b|＋|a－b|＝|a＋b＋a－b|＝2|a|＜2；‎ 当a＋b与a－b异号时，|a＋b|＋|a－b|＝|a＋b－(a－b)|＝2|b|＜2.‎ ‎∴|a＋b|＋|a－b|＜2.‎ ‎16．(本小题满分12分)已知：在△ABC中，∠CAB>90°，D是BC的中点，求证：ADBC，因为BD＝DC＝BC，‎ 所以在△ABD中，AD>BD，从而∠B>∠BAD.‎ 同理∠C>∠CAD.‎ 所以∠B＋∠C>∠BAD＋∠CAD.‎ 即∠B＋∠C>∠A.因为∠B＋∠C＝180°－∠A，‎ 所以180°－∠A>∠A即∠A＜90°，与已知矛盾，‎ 故AD＞BC不成立．‎ 由(1)(2)知AD＜BC成立．‎ ‎17．(本小题满分12分)求证：1＋＋＋＋…＋<3.‎ 证明：由<＝ ‎(k是大于2的自然数)，得 ‎1＋＋＋＋…＋ ‎<1＋1＋＋＋＋…＋＝1＋ ‎＝3－<3.‎ ‎18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.‎ ‎(1)求f(x)的最小值m；‎ ‎(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥3.‎ 解：(1)当x<－1时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x∈(3，＋∞)；‎ 当－1≤x<2时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)；‎ 当x≥2时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x∈[6，＋∞)．‎ 综上，f(x)的最小值m＝3.‎ ‎(2)证明：a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝3，‎ 因为＋＋＋(a＋b＋c)‎ ‎＝＋＋ ‎≥2＝2(a＋b＋c)，‎ 当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号，‎ 所以＋＋≥a＋b＋c，即＋＋≥3.‎