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  • 2021-06-16 发布

【数学】2019届一轮复习北师大版理科第四章第4节函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用学案

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第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用 最新考纲 1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出y=Asin(ωx+φ)的图像,了解参数A,ω,φ对函数图像变化的影响;2.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.‎ 知 识 梳 理 ‎1.“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的简图 ‎“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点,作图时的一般步骤为:‎ ‎(1)定点:如下表所示.‎ x ‎- ωx+φ ‎0‎ π ‎2π y=Asin(ωx+φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎-A ‎0‎ ‎(2)作图:在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次连接得到y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图像.‎ ‎(3)扩展:将所得图像,按周期向两侧扩展可得y=Asin(ωx+φ)在R上的图像.‎ ‎2.函数y=Asin(ωx+φ)中各量的物理意义 当函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示简谐振动时,几个相关的概念如下表:‎ 简谐振动 振幅 周期 频率 相位 初相 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),‎ x∈[0,+∞)‎ A T= f= ωx+φ φ ‎3.函数y=sin x的图像经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像的两种途径 ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.由y=sin ωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变换:向左平移个单位长度而非φ个单位长度.‎ ‎2.函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴由ωx+φ=kπ+,k∈Z确定;对称中心由ωx+φ=kπ,k∈Z确定其横坐标.‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)将函数y=3sin 2x的图像左移个单位长度后所得图像的解析式是y=3sin.(  )‎ ‎(2)利用图像变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.(  )‎ ‎(3)函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为.(  )‎ ‎(4)由图像求解析式时,振幅A的大小是由一个周期内图像中最高点的值与最低点的值确定的.(  )‎ 解析 (1)将函数y=3sin 2x的图像向左平移个单位长度后所得图像的解析式是y=3cos 2x.‎ ‎(2)“先平移,后伸缩”的平移单位长度为|φ|,而“先伸缩,后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等.‎ 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√‎ ‎2.(教材习题改编)y=2sin的振幅、频率和初相分别为(  )‎ A.2,4π, B.2,, C.2,,- D.2,4π,- 解析 由题意知A=2,f===,初相为-.‎ 答案 C ‎3.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y=2sin的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为(  )‎ A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin 解析 函数y=2sin的周期为π,将函数y=2sin的图像向右平移个周期即个单位,所得函数为y=2sin=2sin,故选D.‎ 答案 D ‎4.(2018·南昌模拟改编)y=cos(x+1)图像上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.‎ 解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2,横坐标之差恰为半个周期π,故它们之间的距离为.‎ 答案  ‎5.(2018·沈阳质检)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示,则f 的值为________.‎ 解析 由图像可知A=2,T=-=,∴T=π,‎ ‎∴ω=2.‎ ‎∵当x=时,函数f(x)取得最大值,‎ ‎∴2×+φ=+2kπ(k∈Z),∴φ=+2kπ(k∈Z),‎ ‎∵0<φ<π,∴φ=,∴f(x)=2sin,‎ 则f =2sin=2cos =.‎ 答案  考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及变换 ‎【例1】 某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ) 在某一个周期内的图像时,列表并填入了部分数据,如下表:‎ ωx+φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx+φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎-5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)将y=f(x)图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图像.若y=g(x)图像的一个对称中心为,求θ的最小值.‎ 解 (1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-.数据补全如下表:‎ ωx+φ ‎0‎ π ‎2π x π Asin(ωx+φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎-5‎ ‎0‎ 且函数解析式为f(x)=5sin.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=5sin,‎ 得g(x)=5sin.‎ 因为函数y=sin x图像的对称中心为(kπ,0),k∈Z.‎ 令2x+2θ-=kπ,k∈Z,解得x=+-θ,k∈Z.‎ 由于函数y=g(x)的图像关于点成中心对称,所以令+-θ=,k∈Z,解得θ=-,k∈Z.‎ 由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值.‎ 规律方法 作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像常用如下两种方法:‎ ‎(1)五点法作图,用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,,π,π,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图像;‎ ‎(2)图像的变换法,由函数y=sin x的图像通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像有两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.‎ ‎【训练1】 (2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是(  )‎ A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2‎ B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2‎ C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2‎ D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线C2‎ 解析 易知C1:y=cos x=sin,把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=sin的图像,再把所得函数的图像向左平移个单位长度,可得函数y=sin=sin的图像,即曲线C2,因此D项正确.‎ 答案 D 考点二 求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式 ‎【例2】 (1)(一题多解)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示,则函数f(x)的解析式为________.‎ ‎(2)(2018·西安质检)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2,且过点,则函数f(x)=________.‎ 解析 (1)由题图可知A=,‎ 法一 =-=,‎ 所以T=π,故ω=2,‎ 因此f(x)=sin(2x+φ),‎ 又对应五点法作图中的第三个点,‎ 因此2×+φ=π,所以φ=,故f(x)=sin.‎ 法二 以为第二个“零点”,为最小值点,‎ 列方程组解得 故f(x)=sin.‎ ‎(2)依题意得=2,则=2,即ω=,所以f(x)=sin,由于该函数图像过点,因此sin(π+φ)=-,即sin φ=,而-≤φ≤,故φ=,所以f(x)=sin.‎ 答案 (1)f(x)=sin (2)sin 规律方法 已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图像求其解析式时,A比较容易看图得出,困难的是求待定系数ω和φ,常用如下两种方法:‎ ‎(1)五点法,由ω=即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图像上升(或下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ;‎ ‎(2)代入法,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图形解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.‎ ‎【训练2】 (2018·茂名一模)如图所示,函数f(x)=Asin(2x+φ)的图像过点(0,),则f(x)的图像的一个对称中心是(  )‎ A. B. C. D. 解析 由题中函数图像可知:A=2,‎ 由于函数图像过点(0,),‎ 所以2sin φ=,即sin φ =,‎ 由于|φ|<,所以φ=,‎ 则有f(x)=2sin.‎ 由2x+=kπ,k∈Z可解得x=-,k∈Z,‎ 故f(x)的图像的对称中心是,k∈Z,则f(x)的图像的一个对称中心是,故选B.‎ 答案 B 考点三 三角函数模型及其应用 ‎【例3】 如图,某大风车的半径为2 m,每12 s旋转一周,它的最低点O离地面0.5 m.风车圆周上一点A从最低点O开始,运动t(s)后与地面的距离为h(m).‎ ‎(1)求函数h=f(t)的关系式;‎ ‎(2)画出函数h=f(t)(0≤t≤12)的大致图像.‎ 解 (1)如图,以O为原点,过点O的圆的切线为x轴,建立直角坐标系.‎ 设点A的坐标为(x,y),则h=y+0.5.‎ 设∠OO1A=θ,则cos θ=,‎ y=-2cos θ+2.‎ 又θ=×t,即θ=t,‎ 所以y=-2cost+2,‎ h=f(t)=-2cost+2.5(t≥0).‎ ‎(2)函数h=-2cost+2.5(0≤t≤12)的大致图像如下.‎ 规律方法 三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题,二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立数学模型,再利用三角函数的有关知识解决问题.‎ ‎【训练3】 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acos(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28 ℃,12月份的月平均气温最低为18 ℃,则10月份的平均气温为________℃.‎ 解析 因为当x=6时,y=a+A=28;‎ 当x=12时,y=a-A=18,所以a=23,A=5,‎ 所以y=f(x)=23+5cos,‎ 所以当x=10时,f(10)=23+5cos ‎=23-5×=20.5.‎ 答案 20.5‎ 考点四 y=Asin(ωx+φ)图像与性质的综合应用 ‎【例4】 (2018·昆明诊断)已知函数f(x)=4cos ωx·sin+a(ω>0)图像上最高点的纵坐标为2,且图像上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求a和ω的值;‎ ‎(2)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间.‎ 解 (1)f(x)=4cos ωx· sin+a ‎=4cos ωx·+a ‎=2sin ωxcos ωx+2cos2ωx-1+1+a ‎=sin 2ωx+cos 2ωx+1+a ‎=2sin+1+a.‎ 当sin=1时,f(x)取得最大值2+1+a=3+a.‎ 又f(x)最高点的纵坐标为2,∴3+a=2,即a=-1.‎ 又f(x)图像上相邻两个最高点的距离为π,‎ ‎∴f(x)的最小正周期为T=π,‎ ‎∴2ω==2,ω=1.‎ ‎(2)由(1)得f(x)=2sin,‎ 由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,‎ 得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.‎ 令k=0,得≤x≤.‎ ‎∴函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间为.‎ 规律方法 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间和对称性的确定,基本思想是把ωx+φ看做一个整体.(1)在单调性应用方面,比较大小是一类常见的题目,依据是同一区间内函数的单调性.(2)对称性是三角函数图像的一个重要性质,因此要抓住其轴对称、中心对称的本质,同时还要会综合利用这些性质解决问题,解题时可利用数形结合思想.‎ ‎【训练4】 (2018·咸阳调研)已知x=是函数f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)(0<φ<π)图像的一条对称轴,将函数f(x)的图像向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图像,则函数g(x)在上的最小值为(  )‎ A.-2 B.-1 C.- D.- 解析 ∵x=是f(x)=2sin图像的一条对称轴,∴+φ=kπ+(k∈Z),即φ=kπ+(k∈Z).‎ ‎∵0<φ<π,∴φ=,则f(x)=2sin,‎ ‎∴g(x)=-2sin在上的最小值为g=-1.‎ 答案 B 基础巩固题组 ‎(建议用时:40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.(2018·华中师大高考联盟质检)要得到函数y=sin的图像,只需将函数y=sin 2x的图像(  )‎ A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 解析 由y=sin 2x的图像得到y=sin的图像只需向左平移个单位,故选A.‎ 答案 A ‎2.(2016·全国Ⅱ卷)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则(  )‎ A.y=2sin ‎ B.y=2sin C.y=2sin ‎ D.y=2sin 解析 由题图可知,A=2,T=2=π,‎ 所以ω=2,由五点作图法知2×+φ=,‎ 所以φ=-,所以函数的解析式为y=2sin.‎ 答案 A ‎3.(2018·合肥二模)函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期是π,则其图像向右平移个单位后对应函数的单调递减区间是(  )‎ A.(k∈Z) ‎ B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z) ‎ D.(k∈Z)‎ 解析 由函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期是π,得=π,解得ω=2,则f(x)=cos.‎ 将其图像向右平移个单位后,对应函数的解析式为y=cos=cos=sin 2x,‎ 由+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),‎ 解得所求单调递减区间为(k∈Z).‎ 答案 B ‎4.(2018·西安质检)将函数f(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移个单位长度后关于原点对称,则函数f(x)在上的最小值为(  )‎ A.- B.- C. D. 解析 依题设,平移后得y=sin的图像,又该图像关于原点对称,则+φ=kπ,k∈Z,由|φ|<,得φ=-,所以f(x)=sin.当x∈时,2x-‎ eq f(π,3)∈,所以当2x-=-时,f(x)取最小值-.‎ 答案 A ‎5. (2018·宜春调研)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其导函数f′(x)的图像如图所示,则f 的值为(  )‎ A.2 B. C.- D.- 解析 依题意得f′(x)=Aωcos(ωx+φ),结合函数y=f′(x)的图像,则T==4=π,ω=2.‎ 又Aω=1,因此A=.‎ 因为0<φ<π,<+φ<,且f′=cos=-1,所以+φ=π,即φ=,f(x)=sin,‎ 所以f =sin=-×=-.‎ 答案 D 二、填空题 ‎6.(教材例题改编)如图,某地一天,从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π),则这段曲线的函数解析式为________.‎ 解析 从题图中可以看出,从6~14时是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期,‎ 又×=14-6,‎ 所以ω=.‎ 由图可得A=(30-10)=10,‎ b=(30+10)=20.‎ 又×10+φ=2π,解得φ=,‎ ‎∴y=10sin+20,x∈[6,14].‎ 答案 y=10sin+20,x∈[6,14]‎ ‎7.(2018·大连双基测试)函数f(x)=sin x+cos x的图像向右平移t(t>0)个单位长度后所得函数为偶函数,则t的最小值为________.‎ 解析 函数f(x)=sin x+cos x=sin,其图像向右平移t(t>0)个单位长度后所得函数y=sin为偶函数,则-t+=+kπ(k∈Z),即t=--kπ(k∈Z),又t>0,∴当k=-1时,tmin=.‎ 答案  ‎8.已知f(x)=sin(ω>0),f =f ,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则ω=______________________________________________________.‎ 解析 依题意,x==时,y有最小值,‎ ‎∴sin=-1,∴ω+=2kπ+ (k∈Z).‎ ‎∴ω=8k+ (k∈Z),因为f(x)在区间上有最小值,无最大值,‎ 所以-≤,即ω≤12,令k=0,‎ 得ω=.‎ 答案  三、解答题 ‎9.设函数f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f =.‎ ‎(1)求ω和φ的值;‎ ‎(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图像.‎ 解 (1)∵T==π,ω=2,‎ 又f =cos=,∴sin φ=-,‎ 又-<φ<0,∴φ=-.‎ ‎(2)由(1)得f(x)=cos,列表:‎ ‎2x- ‎- ‎0‎ π π π x ‎0‎ π π π π f(x)‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎-1‎ ‎0‎ 描点画出图像(如图).‎ ‎10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=对称,且图像上相邻最高点的距离为π.‎ ‎(1)求f 的值;‎ ‎(2)将函数y=f(x)的图像向右平移个单位后,得到y=g(x)的图像,求g(x)的单调递减区间.‎ 解 (1)因为f(x)的图像上相邻最高点的距离为π,‎ 所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.‎ 又f(x)的图像关于直线x=对称,‎ 所以2×+φ=kπ+(k∈Z),‎ 因为-≤φ<,所以k=0,‎ 所以φ=-=-,所以f(x)=sin,‎ 则f =sin=sin =.‎ ‎(2)将f(x)的图像向右平移个单位后,得到 f 的图像,‎ 所以g(x)=f =sin ‎=sin.‎ 当2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z),‎ 即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递减.‎ 因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).‎ 能力提升题组 ‎(建议用时:20分钟)‎ ‎11.(2018·延安调研)已知函数f(x)=sin x+λcos x(λ∈R)的图像关于直线x=-对称,把函数f(x)的图像上每个点的横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图像,则函数g(x)图像的一条对称轴方程为(  )‎ A.x= B.x= C.x= D.x= 解析 由f(0)=f ,可得λ=-1,所以f(x)=sin x-cos x=sin,横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图像,g(x)=·sin=sin,令x-=kπ+(k∈Z),得x=2kπ+,k∈Z.当k=0时,对称轴的方程为x=.‎ 答案 D ‎12.(2018·湖北七市联考)将函数f(x)=sin 2x的图像向左平移个单位,再向上平移2个单位,得到g(x)的图像,若g(x1)·g(x2)=9,且x1,x2∈[-2π,2π],则|x1-x2|的最大值为________.‎ 解析 由题意,得g(x)=f +2=sin+2,所以g(x)max=3.又g(x1)·g(x2)=9,所以g(x1)=g(x2)=3,即sin=1,所以2x+=+2kπ(k∈Z)⇒x=+kπ(k∈Z).又因为x1,x2∈[-2π,2π],所以x1,2=+π,,-π,-2π,从而|x1-x2|max=-=3π.‎ 答案 3π ‎13.某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24).‎ ‎(1)求实验室这一天的最大温差;‎ ‎(2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温?‎ 解 (1)因为f(t)=10-2 ‎=10-2sin,‎ 又0≤t<24,所以≤t+<,‎ 当t=2时,sin=1;‎ 当t=14时,sin=-1.‎ 于是f(t)在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.‎ 故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.‎ ‎(2)依题意,当f(t)>11时实验室需要降温,‎ 由(1)得f(t)=10-2sin,‎ 故有10-2sin>11,即sin<-.‎ 又0≤t<24,因此