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  • 2021-06-16 发布

高三数学复习专题-函数与基本初等函数-第2章第8节-基础达标

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第二章 第八节 一、选择题 1.已知函数 f(x)=x3-2x2+2 有唯一零点,则下列区间上必存在零点的是( ) A.(-2,-3 2) B.(-3 2 ,-1) C.(-1,-1 2) D.(1 2 ,0) [答案] C [解析] 由题意,可知 f(-1)·f(-1 2)<0,故 f(x)在(-1,-1 2)上必存在零点,故选 C. 2.函数 f(x)=x3-3x+2 的零点为( ) A.1,2 B.±1,-2 C.1,-2 D.±1,2 [答案] C [解析] 由 f(x)=x3-3x+2=0 得 x3-x-(2x-2)=0,∴(x-1)(x2+x-2)=0,∴(x-1)2(x +2)=0,解得 x=1 或 x=-2,选 C. 3.函数 y=f(x)在区间[-2,2]上的图像是连续的,且方程 f(x)=0 在(-2,2)上仅有一个 实根 0,则 f(-1)·f(1)的值( ) A.大于 0 B.小于 0 C.等于 0 D.无法确定 [答案] D [解析] 由题意,知 f(x)在(-1,1)上有零点 0,该零点可能是变号零点,也可能是不变 号零点,∴f(-1)·f(1)符号不定,如 f(x)=x2,f(x)=x. 4.函数 f(x)= lnx+2x-6,x>0, -xx+1,x≤0 的零点的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [答案] D [解析] 由题可知,当 x>0 时,y=lnx 与 y=-2x+6 的图像有 1 个交点;当 x≤0 时, 函数 y=-x(x+1)的图像与 x 轴有 2 个交点,所以函数 f(x)有 3 个零点. 5.(2014·辽宁三校联考)已知函数 f(x)=2x+x,g(x)=log3x+x,h(x)=x- 1 x 的零点依次 为 a,b,c,则( ) A.a1 C.-10 得 a>1.故选 B. (理)若函数 f(x)=x3-3x+a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-2,2) B.[-2,2] C.(-∞,-1) D.(1,+∞) [答案] A [解析] 本题考查了函数零点的判断方法及一元二次方程根与系数的关系.由于函数 f(x) 是连续的,故只需两个极值异号即可.f ′(x)=3x2-3,令 3x2-3=0,则 x=±1,只需 f(- 1)f(1)<0,即(a+2)(a-2)<0,故 a∈(-2,2). 二、填空题 7.已知函数 f(x)= 2x-1,x≤1, 1+log2x,x>1, ,则函数 f(x)的零点为________. [答案] 0 [解析] 当 x≤1 时,由 f(x)=2x-1=0,解得 x=0; 当 x>1 时,由 f(x)=1+log2x=0,解得 x=1 2 , 又因为 x>1,所以此时方程无解. 综上函数 f(x)的零点只有 0. 8.(2014·北京西城区期末)设函数 f(x)= log2x,x>0 4x,x≤0 ,则 f[f(-1)]=________;若函 数 g(x)=f(x)-k 存在两个零点,则实数 k 的取值范围是________. [答案] -2 (0,1] [解析] f[f(-1)]=f(4-1)=f(1 4)=log2 1 4 =-2.令 f(x)-k=0,即 f(x)=k,设 y=f(x),y=k, 画出图像,如图所示,函数 g(x)=f(x)-k 存在两个零点,即 y=f(x)与 y=k 的图像有两个交 点,由图像可得实数 k 的取值范围为(0,1]. 9.(文)已知方程 x2+(a-1)x+(a-2)=0 的根一个比 1 大,另一个比 1 小,则 a 的取值 范围是________. [答案] (-∞,1) [解析] 函数 f(x)=x2+(a-1)x+(a-2)的大致图像如图所示,于是有 f(1)<0,即 1+(a -1)+(a-2)<0,解得 a<1. (理)若函数 f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2 和 3,则不等式 af(-2x)>0 的解集是 ________. [答案] x|-3 20,即-(4x2+2x-6)>0, 解得-3 20,则应有 f(2)≤0, 又∵f(2)=22+(m-1)×2+1,∴m≤-3 2. ②若 f(x)=0 在区间[0,2]上有两解,则 Δ≥0 0≤-m-1 2 ≤2 f2≥0 ,∴ m-12-4≥0 -3≤m≤1 4+m-1×2+1≥0 , ∴ m≥3 或 m≤-1 -3≤m≤1 m≥-3 2 ,∴-3 2 ≤m≤-1, 由①②可知 m≤-1. 一、选择题 1.在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为( ) A.(-1 4 ,0) B.(0,1 4) C.(1 4 ,1 2) D.(1 2 ,3 4) [答案] C [解析] ∵f(x)=ex+4x-3,∴f′(x)=ex+4>0. ∴f(x)在其定义域上是严格单调递增函数. ∵f(-1 4)=e-1 4 -4<0,f(0)=e0+4×0-3=-2<0, f(1 4)=e1 4 -2<0,f(1 2)=e1 2 -1>0, ∴f(1 4)·f(1 2)<0. 2.已知 f(x)=1-(x-a)(x-b)(a0,g(x)是增函数, 当 x∈(ln2,+∞)时,g′(x)<0,g(x)是减函数, ∴g(x)max=g(ln2)=2ln2-2, ∴a 的取值范围是(-∞,2ln2-2]. 三、解答题 5.(2014·岳阳模拟)已知函数 f(x)=4x+m·2x+1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围, 并求出该零点. [分析] 由题意可知,方程 4x+m·2x+1=0 仅有一个实根,再利用换元法求解. [解析] ∵f(x)=4x+m·2x+1 有且仅有一个零点, 即方程(2x)2+m·2x+1=0 仅有一个实根, 设 2x=t(t>0),则 t2+mt+1=0. 当Δ=0 时,即 m2-4=0, ∴m=-2 时,t=1;m=2 时,t=-1(不合题意,舍去), ∴2x=1,x=0 符合题意. 当Δ>0 时,即 m>2 或 m<-2 时, t2+mt+1=0 有两正或两负根, 即 f(x)有两个零点或没有零点. ∴这种情况不符合题意. 综上可知:m=-2 时,f(x)有唯一零点,该零点为 x=0. [点评] 方程的思想是与函数思想密切相关的,函数问题可以转化为方程问题来解决, 方程问题也可以转化为函数问题来解决,本题就是函数的零点的问题转化为方程根的问题. 6.(文)对于函数 f(x),若存在 x0∈R,使 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为 f(x)的不动点.已知 函数 f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0). (1)当 a=1,b=-2 时,求函数 f(x)的不动点; (2)若对任意实数 b,函数 f(x)恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围. [解析] (1)f(x)=x2-x-3,因为 x0 为不动点, 因此有 f(x0)=x20-x0-3=x0,所以 x0=-1 或 x0=3. 所以 3 和-1 为 f(x)的不动点. (2)因为 f(x)恒有两个不动点, f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)=x, ax2+bx+(b-1)=0, 由题设知 b2-4a(b-1)>0 恒成立, 即对于任意 b∈R,b2-4ab+4a>0 恒成立, 所以有(-4a)2-4(4a)<0⇒a2-a<0.所以 00, ∴若存在实数 a 满足条件,则只需 f(-1)·f(3)≤0 即可. f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1) =4(1-a)(5a+1)≤0. 所以 a≤-1 5 或 a≥1.检验:①当 f(-1)=0 时,a=1. 所以 f(x)=x2+x.令 f(x)=0, 即 x2+x=0,得 x=0 或 x=-1. 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故 a≠1. ②当 f(3)=0 时,a=-1 5 , 此时 f(x)=x2-13 5 x-6 5 , 令 f(x)=0,即 x2-13 5 x-6 5 =0, 解之得 x=-2 5 或 x=3. 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故 a≠-1 5. 综上所述,a<-1 5 或 a>1.