高三数学复习专题-函数与基本初等函数-第2章第8节-基础达标 7页

第二章 第八节 一、选择题 1．已知函数 f(x)＝x3－2x2＋2 有唯一零点，则下列区间上必存在零点的是( ) A．(－2，－3 2) B．(－3 2 ，－1) C．(－1，－1 2) D．(1 2 ，0) [答案] C [解析] 由题意，可知 f(－1)·f(－1 2)<0，故 f(x)在(－1，－1 2)上必存在零点，故选 C． 2．函数 f(x)＝x3－3x＋2 的零点为( ) A．1,2 B．±1，－2 C．1，－2 D．±1,2 [答案] C [解析] 由 f(x)＝x3－3x＋2＝0 得 x3－x－(2x－2)＝0，∴(x－1)(x2＋x－2)＝0，∴(x－1)2(x ＋2)＝0，解得 x＝1 或 x＝－2，选 C． 3．函数 y＝f(x)在区间[－2,2]上的图像是连续的，且方程 f(x)＝0 在(－2,2)上仅有一个 实根 0，则 f(－1)·f(1)的值( ) A．大于 0 B．小于 0 C．等于 0 D．无法确定 [答案] D [解析] 由题意，知 f(x)在(－1,1)上有零点 0，该零点可能是变号零点，也可能是不变 号零点，∴f(－1)·f(1)符号不定，如 f(x)＝x2，f(x)＝x. 4．函数 f(x)＝ lnx＋2x－6，x>0， －xx＋1，x≤0 的零点的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 [答案] D [解析] 由题可知，当 x>0 时，y＝lnx 与 y＝－2x＋6 的图像有 1 个交点；当 x≤0 时， 函数 y＝－x(x＋1)的图像与 x 轴有 2 个交点，所以函数 f(x)有 3 个零点． 5．(2014·辽宁三校联考)已知函数 f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－ 1 x 的零点依次 为 a，b，c，则( ) A．a1 C．－10 得 a>1.故选 B． (理)若函数 f(x)＝x3－3x＋a 有 3 个不同的零点，则实数 a 的取值范围是( ) A．(－2,2) B．[－2,2] C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) [答案] A [解析] 本题考查了函数零点的判断方法及一元二次方程根与系数的关系．由于函数 f(x) 是连续的，故只需两个极值异号即可．f ′(x)＝3x2－3，令 3x2－3＝0，则 x＝±1，只需 f(－ 1)f(1)<0，即(a＋2)(a－2)<0，故 a∈(－2,2)． 二、填空题 7．已知函数 f(x)＝ 2x－1，x≤1， 1＋log2x，x>1， ，则函数 f(x)的零点为________． [答案] 0 [解析] 当 x≤1 时，由 f(x)＝2x－1＝0，解得 x＝0； 当 x>1 时，由 f(x)＝1＋log2x＝0，解得 x＝1 2 ， 又因为 x>1，所以此时方程无解． 综上函数 f(x)的零点只有 0. 8．(2014·北京西城区期末)设函数 f(x)＝ log2x，x>0 4x，x≤0 ，则 f[f(－1)]＝________；若函 数 g(x)＝f(x)－k 存在两个零点，则实数 k 的取值范围是________． [答案] －2 (0,1] [解析] f[f(－1)]＝f(4－1)＝f(1 4)＝log2 1 4 ＝－2.令 f(x)－k＝0，即 f(x)＝k，设 y＝f(x)，y＝k， 画出图像，如图所示，函数 g(x)＝f(x)－k 存在两个零点，即 y＝f(x)与 y＝k 的图像有两个交 点，由图像可得实数 k 的取值范围为(0,1]． 9．(文)已知方程 x2＋(a－1)x＋(a－2)＝0 的根一个比 1 大，另一个比 1 小，则 a 的取值 范围是________． [答案] (－∞，1) [解析] 函数 f(x)＝x2＋(a－1)x＋(a－2)的大致图像如图所示，于是有 f(1)<0，即 1＋(a －1)＋(a－2)<0，解得 a<1. (理)若函数 f(x)＝x2＋ax＋b 的两个零点是－2 和 3，则不等式 af(－2x)>0 的解集是 ________． [答案] x|－3 20，即－(4x2＋2x－6)>0， 解得－3 20，则应有 f(2)≤0， 又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴m≤－3 2. ②若 f(x)＝0 在区间[0,2]上有两解，则 Δ≥0 0≤－m－1 2 ≤2 f2≥0 ，∴ m－12－4≥0 －3≤m≤1 4＋m－1×2＋1≥0 ， ∴ m≥3 或 m≤－1 －3≤m≤1 m≥－3 2 ，∴－3 2 ≤m≤－1， 由①②可知 m≤－1. 一、选择题 1．在下列区间中，函数 f(x)＝ex＋4x－3 的零点所在的区间为( ) A．(－1 4 ，0) B．(0，1 4) C．(1 4 ，1 2) D．(1 2 ，3 4) [答案] C [解析] ∵f(x)＝ex＋4x－3，∴f′(x)＝ex＋4>0. ∴f(x)在其定义域上是严格单调递增函数． ∵f(－1 4)＝e－1 4 －4<0，f(0)＝e0＋4×0－3＝－2<0， f(1 4)＝e1 4 －2<0，f(1 2)＝e1 2 －1>0， ∴f(1 4)·f(1 2)<0. 2．已知 f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a0，g(x)是增函数， 当 x∈(ln2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)是减函数， ∴g(x)max＝g(ln2)＝2ln2－2， ∴a 的取值范围是(－∞，2ln2－2]． 三、解答题 5．(2014·岳阳模拟)已知函数 f(x)＝4x＋m·2x＋1 有且仅有一个零点，求 m 的取值范围， 并求出该零点． [分析] 由题意可知，方程 4x＋m·2x＋1＝0 仅有一个实根，再利用换元法求解． [解析] ∵f(x)＝4x＋m·2x＋1 有且仅有一个零点， 即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0 仅有一个实根， 设 2x＝t(t>0)，则 t2＋mt＋1＝0. 当Δ＝0 时，即 m2－4＝0， ∴m＝－2 时，t＝1；m＝2 时，t＝－1(不合题意，舍去)， ∴2x＝1，x＝0 符合题意． 当Δ>0 时，即 m>2 或 m<－2 时， t2＋mt＋1＝0 有两正或两负根， 即 f(x)有两个零点或没有零点． ∴这种情况不符合题意． 综上可知：m＝－2 时，f(x)有唯一零点，该零点为 x＝0. [点评] 方程的思想是与函数思想密切相关的，函数问题可以转化为方程问题来解决， 方程问题也可以转化为函数问题来解决，本题就是函数的零点的问题转化为方程根的问题． 6．(文)对于函数 f(x)，若存在 x0∈R，使 f(x0)＝x0 成立，则称 x0 为 f(x)的不动点．已知 函数 f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)． (1)当 a＝1，b＝－2 时，求函数 f(x)的不动点； (2)若对任意实数 b，函数 f(x)恒有两个相异的不动点，求 a 的取值范围． [解析] (1)f(x)＝x2－x－3，因为 x0 为不动点， 因此有 f(x0)＝x20－x0－3＝x0，所以 x0＝－1 或 x0＝3. 所以 3 和－1 为 f(x)的不动点． (2)因为 f(x)恒有两个不动点， f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)＝x， ax2＋bx＋(b－1)＝0， 由题设知 b2－4a(b－1)>0 恒成立， 即对于任意 b∈R，b2－4ab＋4a>0 恒成立， 所以有(－4a)2－4(4a)<0⇒a2－a<0.所以 00， ∴若存在实数 a 满足条件，则只需 f(－1)·f(3)≤0 即可． f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1) ＝4(1－a)(5a＋1)≤0. 所以 a≤－1 5 或 a≥1.检验：①当 f(－1)＝0 时，a＝1. 所以 f(x)＝x2＋x.令 f(x)＝0， 即 x2＋x＝0，得 x＝0 或 x＝－1. 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故 a≠1. ②当 f(3)＝0 时，a＝－1 5 ， 此时 f(x)＝x2－13 5 x－6 5 ， 令 f(x)＝0，即 x2－13 5 x－6 5 ＝0， 解之得 x＝－2 5 或 x＝3. 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故 a≠－1 5. 综上所述，a<－1 5 或 a>1.