高中数学人教a版必修四课时训练：2-4 平面向量的数量积 2-4-1 word版含答案 4页

§2.4 平面向量的数量积 2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 课时目标 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会 平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握向量数量积的运算律． 1．平面向量数量积 (1)定义：已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量______________叫做 a 与 b 的数量积(或内 积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是 a 与 b 的夹角． (2)规定：零向量与任一向量的数量积为____． (3)投影：设两个非零向量 a、b 的夹角为θ，则向量 a 在 b 方向的投影是____________，向 量 b 在 a 方向上的投影是______________． 2．数量积的几何意义 a·b 的几何意义是数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影________________的 乘积． 3．向量数量积的运算律 (1)a·b＝________(交换律)； (2)(λa)·b＝________＝________(结合律)； (3)(a＋b)·c＝______________________(分配律)． 一、选择题 1．|a|＝2，|b|＝4，向量 a 与向量 b 的夹角为 120°，则向量 a 在向量 b 方向上的投影等于( ) A．－3 B．－2 C．2 D．－1 2．已知 a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且 3a＋2b 与λa－b 垂直，则λ等于( ) A.3 2 B．－3 2 C．±3 2 D．1 3．已知向量 a，b 满足 a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于( ) A．0 B．2 2 C．4 D．8 4．在边长为 1 的等边△ABC 中，设BC→＝a，CA→＝b，AB→＝c，则 a·b＋b·c＋c·a 等于( ) A．－3 2 B．0 C.3 2 D．3 5．若非零向量 a，b 满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则 a 与 b 的夹角为( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 6．若向量 a 与 b 的夹角为 60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量 a 的模为( ) A．2 B．4 C．6 D．12 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．已知向量 a 与 b 的夹角为 120°，且|a|＝|b|＝4，那么 b·(2a＋b)的值为________． 8．给出下列结论： ①若 a≠0，a·b＝0，则 b＝0；②若 a·b＝b·c，则 a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)] ＝0. 其中正确结论的序号是________． 9．设非零向量 a、b、c 满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝________. 10．已知 a 是平面内的单位向量，若向量 b 满足 b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________． 三、解答题 11．已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b； (3)a 与 b 的夹角为 60°时，分别求 a 与 b 的数量积． 12．已知|a|＝|b|＝5，向量 a 与 b 的夹角为π 3 ，求|a＋b|，|a－b|. 能力提升 13．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b 的夹角为 120°，计算向量 2a－b 在向量 a＋b 方向上的投影． 14．设 n 和 m 是两个单位向量，其夹角是 60°，求向量 a＝2m＋n 与 b＝2n－3m 的夹角． 1．两向量 a 与 b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当 a≠0，b≠0,0°≤θ<90° 时)，也可以为负(当 a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为 0(当 a＝0 或 b＝0 或θ＝90°时)． 2．数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c 是一个与 c 共线的向量， 而(a·c)·b＝|a|·|c|cos〈a，c〉·b 是一个与 b 共线的向量，两者一般不同． 3．向量 b 在 a 上的射影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意 a 在 b 方向上的射影 与 b 在 a 方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分． §2.4 平面向量的数量积 2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 答案 知识梳理 1．(1)|a||b|cos θ (2)0 (3)|a|cos θ |b|cos θ 2．|b|cos θ 3.(1)b·a (2)λ(a·b) a·(λb) (3)a·c＋b·c 作业设计 1．D [a 在 b 方向上的投影是 |a|cos θ＝2×cos 120°＝－1.] 2．A [∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0. ∴λ＝3 2.] 3．B [|2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a－b|＝2 2.] 4．A [a·b＝BC→·CA→＝－CB→·CA→＝－|CB→||CA→|cos 60°＝－1 2.同理 b·c＝－1 2 ，c·a＝－1 2 ， ∴a·b＋b·c＋c·a＝－3 2.] 5．C [由(2a＋b)·b＝0，得 2a·b＋b2＝0， 设 a 与 b 的夹角为θ， ∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0. ∴cos θ＝－ |b|2 2|a||b| ＝－ |b|2 2|b|2 ＝－1 2 ，∴θ＝120°.] 6．C [∵a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2|a|， ∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b＝|a|2－2|a|－96＝－72. ∴|a|＝6.] 7．0 解析 b·(2a＋b)＝2a·b＋|b|2 ＝2×4×4×cos 120°＋42＝0. 8．④ 解析 因为两个非零向量 a、b 垂直时，a·b＝0，故①不正确； 当 a＝0，b⊥c 时，a·b＝b·c＝0，但不能得出 a＝c，故②不正确；向量(a·b)c 与 c 共线，a(b·c) 与 a 共线，故③不正确； ④正确，a·[b(a·c)－c(a·b)] ＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0. 9．120° 解析 ∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2. 又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2， 即 2|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|2. ∴cos〈a，b〉＝－1 2 ， ∴〈a，b〉＝120°. 10．[0,1] 解析 b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0， ∴|b|＝|a|cos θ＝cos θ (θ为 a 与 b 的夹角)，θ∈[0，π]， ∴0≤|b|≤1. 11．解 (1)当 a∥b 时，若 a 与 b 同向， 则 a 与 b 的夹角θ＝0°， ∴a·b＝|a||b|cos θ＝4×3×cos 0°＝12. 若 a 与 b 反向，则 a 与 b 的夹角为θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×3×(－1)＝－12. (2)当 a⊥b 时，向量 a 与 b 的夹角为 90°， ∴a·b＝|a||b|cos 90°＝4×3×0＝0. (3)当 a 与 b 的夹角为 60°时， ∴a·b＝|a||b|cos 60°＝4×3×1 2 ＝6. 12．解 a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×1 2 ＝25 2 . |a＋b|＝ a＋b2＝ |a|2＋2a·b＋|b|2＝ 25＋2×25 2 ＋25＝5 3. |a－b|＝ a－b2＝ |a|2－2a·b＋|b|2＝ 25－2×25 2 ＋25＝5. 13．解 (2a－b)·(a＋b)＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝ 1 2. |a＋b|＝ a＋b2＝ a2＋2a·b＋b2＝ 1＋2×1×1×cos 120°＋1＝1. ∴|2a－b|cos〈2a－b，a＋b〉＝|2a－b|·2a－b·a＋b |2a－b|·|a＋b| ＝2a－b·a＋b |a＋b| ＝1 2. ∴向量 2a－b 在向量 a＋b 方向上的投影为1 2. 14．解 ∵|n|＝|m|＝1 且 m 与 n 夹角是 60°， ∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×1 2 ＝1 2. |a|＝|2m＋n|＝ 2m＋n2＝ 4×1＋1＋4m·n＝ 4×1＋1＋4×1 2 ＝ 7， |b|＝|2n－3m|＝ 2n－3m2＝ 4×1＋9×1－12m·n＝ 4×1＋9×1－12×1 2 ＝ 7， a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝1 2 －6×1＋2×1＝－7 2. 设 a 与 b 的夹角为θ，则 cos θ＝ a·b |a||b| ＝ －7 2 7× 7 ＝－1 2. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π 3 ，故 a 与 b 的夹角为2π 3 .