【数学】2019届一轮复习北师大版第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3节学案 13页

第3节 函数的奇偶性与周期性 最新考纲 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.‎ 知 识 梳 理 ‎1.函数的奇偶性 图像关于原点对称的函数叫作奇函数.‎ 图像关于y轴对称的函数叫作偶函数.‎ ‎2.周期性 ‎(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.‎ ‎(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期.‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.‎ ‎(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).‎ ‎2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.‎ ‎3.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x：‎ ‎(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).‎ ‎(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).‎ ‎(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.( )‎ ‎(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.( )‎ ‎(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈ ，n≠0)也是函数的周期.( )‎ ‎(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图像关于点(b，0)中心对称.( )‎ 解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不是偶函数，(1)错.‎ ‎(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，‎ ‎(2)错.‎ ‎(3)由周期函数的定义，(3)正确.‎ ‎(4)由于y＝f(x＋b)的图像关于(0，0)对称，根据图像平移变换，知y＝f(x)的图像关于(b，0)对称，正确.‎ 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√‎ ‎2.(教材例题改编)下列函数中为偶函数的是( )‎ A.y＝x2sin x B.y＝x2cos x C.y＝|ln x| D.y＝2－x 解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.‎ 答案 B ‎3.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )‎ A.－ B. C. D.－ 解析 依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴a＝，则a＋b＝.‎ 答案 B ‎4.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f ＝________.‎ 解析 ∵f(x)的周期为2，∴f ＝f ，‎ 又∵当－1≤x<0时，f(x)＝－4x2＋2，‎ ‎∴f ＝f ＝－4×＋2＝1.‎ 答案 1‎ ‎5.(2017·山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.‎ 解析 ∵f(x＋4)＝f(x－2)，‎ ‎∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即f(x＋6)＝f(x)，‎ ‎∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)，‎ 又f(x)在R上是偶函数，‎ ‎∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(919)＝6.‎ 答案 6‎ 考点一 函数的奇偶性 ‎【例1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.‎ 解析 f(x)为偶函数，则y＝ln(x＋)为奇函数，‎ 所以ln(x＋)＋ln(－x＋)＝0，‎ 则ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.‎ 答案 1‎ ‎(2)判断下列函数的奇偶性：‎ ‎①f(x)＝＋；‎ ‎②f(x)＝；‎ ‎③f(x)＝ 解 ①由得x2＝3，解得x＝±，‎ 即函数f(x)的定义域为{－，}，‎ 从而f(x)＝＋＝0.‎ 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，‎ ‎∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.‎ ‎②由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.‎ ‎∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.‎ 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，‎ ‎∴函数f(x)为奇函数.‎ ‎③显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.‎ ‎∵当x<0时，－x>0，‎ 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；‎ 当x>0时，－x<0，‎ 则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；‎ 综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.‎ 规律方法 1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：‎ ‎(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；‎ ‎(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系.‎ ‎2.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.‎ ‎【训练1】 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )‎ A.y＝x＋sin 2x B.y＝x2－cos x C.y＝2x＋ D.y＝x2＋sin x ‎(2)(2018·淄博诊断)已知奇函数f(x)＝则f(－2)的值等于________.‎ 解析 (1)对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，为偶函数；y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数.‎ ‎(2)因为函数f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，则30－a＝0，∴a＝1.∴当x≥0时，f(x)＝3x－1，则f(2)＝32－1＝8，‎ 因此f(－2)＝－f(2)＝－8.‎ 答案 (1)D (2)－8‎ 考点二 函数的周期性及其应用 ‎【例2】 (1)(2018·延安月考)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0时，f ＝f .则f(6)＝( )‎ A.－2 B.－1 C.0 D.2‎ 解析 当x>时，由f(x＋)＝f(x－)，‎ 得f(x)＝f(x＋1)，∴f(6)＝f(1)，‎ 又由题意知f(1)＝－f(－1)，且f(－1)＝(－1)3－1＝－2.‎ 因此f(6)＝－f(－1)＝2.‎ 答案 D 考点三 函数性质的综合运用(多维探究)‎ 命题角度1 函数单调性与奇偶性 ‎【例3－1】 (1)(一题多解)(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )‎ A.alog25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，‎ ‎∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，则c>a>b.‎ 法二 (特殊化)取f(x)＝x，则g(x)＝x2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log25.1>20.8，‎ 从而可得c>a>b.‎ ‎(2)由f(x)＝ln(1＋|x|)－，知f(x)为R上的偶函数，于是f(x)＞f(2x－1)即为f(|x|)＞f(|2x－1|).‎ 当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，所以f(x)为[0，＋∞)上的增函数，则由f(|x|)＞f(|2x－1|)得|x|＞|2x－1|，两边平方得3x2－4x＋1＜0，解得＜x＜1.‎ 答案 (1)C (2) 命题角度2 函数的奇偶性与周期性 ‎【例3－2】 (1)(2017·石家庄一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为( )‎ A.(－1，4) B.(－2，0)‎ C.(－1，0) D.(－1，2)‎ ‎(2)(2018·合肥质检)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝则f ＋f ＝________.‎ 解析 (1)∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，‎ ‎∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，‎ ‎∵f(1)<1，f(5)＝，∴<1，即<0，‎ 解得－1f(3) B.f(2)>f(5)‎ C.f(3)>f(5) D.f(3)>f(6)‎ 解析 (1)因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，‎ 所以f ＝f 且f(－1)＝f(1)，‎ 故f ＝f ，‎ 从而＝－a＋1，即3a＋2b＝－2.①‎ 由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，即b＝－2a.②‎ 由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.‎ ‎(2)∵y＝f(x＋4)为偶函数，∴f(－x＋4)＝f(x＋4)，‎ 因此y＝f(x)的图像关于直线x＝4对称，‎ ‎∴f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5).‎ 又y＝f(x)在(4，＋∞)上为减函数，‎ ‎∴f(5)>f(6)，所以f(3)>f(6).‎ 答案 (1)－10 (2)D 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.(2018·九江调研)在函数y＝xcos x，y＝ex＋x2，y＝lg，y＝xsin x中，偶函数的个数是( )‎ A.3 B.2 C.1 D.0‎ 解析 y＝xcos x为奇函数，y＝ex＋x2为非奇非偶函数，y＝lg与y＝xsin x为偶函数.‎ 答案 B ‎2.(2018·商丘模拟)已知函数f(x)＝ln(e＋x)＋ln(e－x)，则f(x)是( )‎ A.奇函数，且在(0，e)上是增函数 B.奇函数，且在(0，e)上是减函数 C.偶函数，且在(0，e)上是增函数 D.偶函数，且在(0，e)上是减函数 解析 f(x)的定义域为(－e，e)，且f(x)＝ln(e2－x2).‎ 又t＝e2－x2是偶函数，且在(0，e)上是减函数，‎ ‎∴f(x)是偶函数，且在(0，e)上是减函数.‎ 答案 D ‎3.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2，0)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)等于( )‎ A.－2 B.2 C.－98 D.98‎ 解析 由f(x＋4)＝f(x)知，f(x)是周期为4的周期函数，‎ f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)，‎ 又f(x＋4)＝f(x)，∴f(3)＝f(－1)，‎ 由－1∈(－2，0)得f(－1)＝2，‎ ‎∴f(2 019)＝2.‎ 答案 B ‎4.(2018·河北“五个一”名校联盟质检)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则g[f(－8)]＝( )‎ A.－2 B.－1 C.1 D.2‎ 解析 由题意，得f(－8)＝－f(8)＝－log3(8＋1)＝－2，∴g[f(－8)]＝g(－2)＝‎ f(－2)＝－f(2)＝－log3(2＋1)＝－1.‎ 答案 B ‎5.(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a＝－f ，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为( )‎ A.alog24.1>log24＝2>20.8，‎ ‎∴f(log25)>f(log24.1)>f(20.8)，∴a>b>c.‎ 答案 C 二、填空题 ‎6.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.‎ 解析 ∵x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，且f(x)在R上为奇函数，‎ ‎∴f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.‎ 答案 12‎ ‎7.若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.‎ 解析 由于f(－x)＝f(x)，‎ ‎∴ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，‎ 化简得2ax＋3x＝0(x∈R)，则2a＋3＝0，‎ ‎∴a＝－.‎ 答案 － ‎8.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数.如果实数t满足f(ln t)＋f ≤2f(1)，那么t的取值范围是________.‎ 解析 由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，‎ 所以f(ln t)＝f ，‎ 由f(ln t)＋f ≤2f(1)，‎ 得f(ln t)≤f(1).‎ 又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，‎ 所以|ln t|≤1，即－1≤ln t≤1，故≤t≤e.‎ 答案 三、解答题 ‎9.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f ＝－f 成立.‎ ‎(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；‎ ‎(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值.‎ ‎(1)证明 由f ＝－f ，‎ 且f(－x)＝－f(x)，‎ 得f(x＋3)＝－f(－x)＝f(x)，‎ 因此函数y＝f(x)是以3为周期的函数.‎ ‎(2)解 由f(x)是定义在R上的奇函数，知f(0)＝0，‎ ‎∴f(3)＝f(0)＝0.‎ 又f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，‎ 故f(2)＋f(3)＝－2＋0＝－2.‎ ‎10.已知函数f(x)＝是奇函数.‎ ‎(1)求实数m的值；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.‎ 解 (1)设x<0，则－x>0，‎ 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.‎ 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x).‎ 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，‎ 所以m＝2.‎ ‎(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，‎ 结合f(x)的图像知所以10的a的取值范围是( )‎ A.(0，2) B.(1，) C.(1，2) D.(0，)‎ 解析 易知f(x)＝x3＋sin x，x∈(－1，1)是奇函数，‎ 又f′(x)＝3x2＋cos x>0，‎ ‎∴y＝f(x)在区间(－1，1)上是增函数，‎ 由f(a2－1)＋f(a－1)>0，得f(a2－1)>f(1－a).‎ ‎∴解得1