【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第二章第3讲　函数的奇偶性及周期性学案 15页

第 3 讲　函数的奇偶性及周期性 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)， 那么函数 f(x)是偶函数 关于 y 轴对称 奇函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)， 那么函数 f(x)是奇函数 关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何 值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小 正数就叫做 f(x)的最小正周期． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，则 f(－x)＋f(x)＝0.(　　) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　) (3)如果函数 f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则 F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(　　) (5)若 T 是函数的一个周期，则 nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　) (6)函数 f(x)在定义域上满足 f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，则 f(x)是周期为 2a 的周期函数．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√　(6)√ 定义域为 R 的四个函数 y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x 中，奇函数的个数是(　　) A．4　　　　　　　　 B．3 C．2 D．1 解析：选 C．由奇函数的定义可知，y＝x3，y＝2sin x 为奇函数． 已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么 a＋b 的值是(　　) A．－1 3 B．1 3 C．1 2 D．－1 2 解析：选 B．因为 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1，2a]上的偶函数， 所以 a－1＋2a＝0， 所以 a＝1 3. 又 f(－x)＝f(x)， 所以 b＝0， 所以 a＋b＝1 3. (教材习题改编)已知函数 f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a0)； ii.若 f(x＋a)＝ 1 f(x)，则 T＝2a(a>0)； iii.若 f(x＋a)＝－ 1 f(x)，则 T＝2a(a>0)． (2)函数周期性的应用 根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性可将未知区 间上的函数值、解析式、图象转化到已知区间上，在解决具体问题时，要注意结论：若 T 是函数的周期，则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期．　 [通关练习] 已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，f(x)＝x3－x，则函数 y＝ f(x)的图象在区间[0，6]上与 x 轴的交点的个数为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：选 B．当 0≤x<2 时，令 f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以 y＝f(x)的图象与 x 轴交 点的横坐标分别为 x1＝0，x2＝1. 当 2≤x<4 时，0≤x－2<2，又 f(x)的最小正周期为 2，所以 f(x－2)＝f(x)， 所以 f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)， 所以当 2≤x<4 时，y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标分别为 x3＝2，x4＝3. 同理可得，当 4≤x<6 时，y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标分别为 x5＝4，x6＝5. 当 x7＝6 时，也符合要求． 综上可知，共有 7 个交点． 函数性质的综合应用(高频考点) 函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命 题，常以选择题或填空题的形式考查，为中高档题．主要命题角度有： (1)函数的奇偶性与单调性相结合； (2)函数的奇偶性与周期性相结合； (3)函数的奇偶性、周期性、单调性的综合问题． [典例引领] 角度一　函数的奇偶性与单调性相结合 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数 a 满足 f(2|a－1|)＞f(－ 2)，则 a 的取值范围是(　　) A．(－∞，1 2)　　　 B．(－∞，1 2)∪(3 2，＋∞) C．(1 2，3 2) D．(3 2，＋∞) 【解析】　由 f(x)是偶函数得 f(－ 2)＝f( 2)，再由偶函数在对称区间上单调性相反， 得 f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以由 2|a－1|＜ 2，得|a－1|＜1 2，即1 2＜a＜3 2. 【答案】　C 角度二　函数的奇偶性与周期性相结合 (2017·高考山东卷)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋4)＝f(x－2)．若当 x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则 f(919)＝________． 【解析】　因为 f(x＋4)＝f(x－2)，所以 f(x)的周期为 6，因为 919＝153×6＋1， 所以 f(919)＝f(1)．又 f(x)为偶函数，所以 f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6. 【答案】　6 角度三　函数的奇偶性、周期性、单调性的综合问题 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数， 则(　　) A．f(－25)0 的 x 的集合为________． 解析：由奇函数 y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且 f(1 2 )＝0，得函数 y＝f(x)在(－∞，0) 上递增，且 f(－1 2 )＝0， 所以 f(x)>0 时，x>1 2或－1 20 的 x 的集合为{x|－1 2 < x < 0或x > 1 2}. 答案：{x|－1 2 < x < 0或x > 1 2} 7．已知 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且 f(x)－g(x)＝ (1 2 )x ，则 f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是________． 解析：在 f(x)－g(x)＝(1 2 )x 中，用－x 替换 x，得 f(－x)－g(－x)＝2x， 由于 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数， 所以 f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)， 因此得－f(x)－g(x)＝2x. 联立方程组解得 f(x)＝2－x－2x 2 ，g(x)＝－2－x＋2x 2 ， 于是 f(1)＝－3 4，g(0)＝－1， g(－1)＝－5 4， 故 f(1)>g(0)>g(－1)． 答案：f(1)>g(0)>g(－1) 8．已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1 时，f(－x)＝－f(x)； 当 x>1 2时，f(x＋1 2 )＝f(x－1 2 ).则 f(6)＝________. 解析：当 x>0 时，x＋1 2>1 2，所以 f(x＋1 2＋1 2)＝f(x＋1 2－1 2)，即 f(x＋1)＝f(x)，所以 f(6)＝f(5) ＝f(4)＝…＝f(1)＝－f(－1)＝2. 答案：2 9．设 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且 f(x)是奇函数，当 x>0 时，f(x)＝ x 1－3x. (1)求当 x<0 时，f(x)的解析式； (2)解不等式 f(x)<－x 8. 解：(1)因为 f(x)是奇函数， 所以当 x<0 时，f(x)＝－f(－x)，－x>0， 又因为当 x>0 时，f(x)＝ x 1－3x， 所以当 x<0 时，f(x)＝－f(－x)＝－ －x 1－3－x＝ x 1－3－x. (2)f(x)<－x 8，当 x>0 时，即 x 1－3x<－x 8， 所以 1 1－3x<－1 8，所以 1 3x－1>1 8，所以 3x－1<8， 解得 x<2，所以 x∈(0，2)． 当 x<0 时，即 x 1－3－x<－x 8， 所以 1 1－3－x>－1 8， 所以 3－x>32，所以 x<－2， 所以解集是(－∞，－2)∪(0，2)． 10．已知函数 f(x)＝{－x2＋2x，x＞0， 0，x＝0， x2＋mx，x＜0 是奇函数． (1)求实数 m 的值； (2)若函数 f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数 a 的取值范围． 解：(1)设 x＜0，则－x＞0， 所以 f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又 f(x)为奇函数， 所以 f(－x)＝－f(x)， 于是 x＜0 时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以 m＝2. (2)由(1)知 f(x)在[－1，1]上是增函数，要使 f(x)在[－1，a－2]上单调递增． 结合 f(x)的图象知{a－2＞－1， a－2 ≤ 1， 所以 1＜a≤3，故实数 a 的取值范围是(1，3]． 1．(2018·成都第二次诊断检测)已知函数 f(x)的定义域为 R，当 x∈[－2，2]时，f(x)单调 递减，且函数 f(x＋2)为偶函数．则下列结论正确的是(　　) A．f(π)0 在 [－1，3]上的解集为(　　) A．(1，3) B．(－1，1) C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1) 解析：选 C．f(x)的图象如图． 当 x∈[－1，0)时，由 xf(x)>0，得 x∈(－1，0)； 当 x∈[0，1)时，由 xf(x)>0，得 x∈∅； 当 x∈[1，3]时，由 xf(x)>0，得 x∈(1，3)． 故 x∈(－1，0)∪(1，3)． 4．已知函数 f(x)＝asin x＋b3 x＋4，若 f(lg 3)＝3，则 f(lg 1 3 )＝________. 解析：由 f(lg 3)＝asin(lg 3)＋b3 lg 3＋4＝3 得 asin(lg 3)＋b3 lg 3＝－1，而 f(lg 1 3 )＝ f(－lg 3)＝－asin(lg 3)－b3 lg 3＋4＝－[asin(lg 3)＋b3 lg 3]＋4＝1＋4＝5. 答案：5 5．设 f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当 0≤x≤1 时，f(x)＝x. (1)求 f(π)的值； (2)当－4≤x≤4 时，求 f(x)的图象与 x 轴所围成的图形的面积． 解：(1)由 f(x＋2)＝－f(x)，得 f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数． 所以 f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4) ＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x＋2)＝－f(x)， 得 f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))， 即 f(1＋x)＝f(1－x)． 从而可知函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1 对称． 又当 0≤x≤1 时，f(x)＝x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所 示． 设当－4≤x≤4 时，f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S，则 S＝4S △ OAB ＝4× (1 2 × 2 × 1)＝4. 6．函数 f(x)的定义域为 D＝{x|x≠0}，且满足对于任意 x1，x2∈D，有 f(x1·x2)＝f(x1)＋ f(x2)． (1)求 f(1)的值． (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论． (3)如果 f(4)＝1，f(x－1)＜2，且 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求 x 的取值范围． 解：(1)因为对于任意 x1，x2∈D， 有 f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)， 所以令 x1＝x2＝1，得 f(1)＝2f(1)，所以 f(1)＝0. (2)f(x)为偶函数．证明如下： 令 x1＝x2＝－1，有 f(1)＝f(－1)＋f(－1)， 所以 f(－1)＝1 2f(1)＝0. 令 x1＝－1，x2＝x 有 f(－x)＝f(－1)＋f(x)， 所以 f(－x)＝f(x)，所以 f(x)为偶函数． (3)依题设有 f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，所以 f(x－1)＜2，等价于 f(|x －1|)＜f(16)．又 f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 所以 0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17 且 x≠1. 所以 x 的取值范围是{x|－15＜x＜17 且 x≠1}．