【数学】2018届一轮复习北师大版第五章数列第三节等比数列教案 9页

第三节　等比数列 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎1.理解等比数列的概念；‎ ‎2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；‎ ‎3.了解等比数列与指数函数的关系。‎ ‎2016，全国卷Ⅲ，17,12分(等比数列的证明、通项公式)‎ ‎2016，全国卷Ⅰ，15,5分(等比数列有关最值问题)‎ ‎2015，全国卷Ⅱ，4,5分(等比数列的计算)‎ ‎2015，全国卷Ⅱ，17,12分(等比数列的判定、基本运算与性质)‎ 主要以选择题、填空题的形式考查等比数列的基本运算与简单性质。解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．等比数列的有关概念 ‎(1)定义：‎ ‎①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数。‎ ‎②符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)。‎ ‎(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab。‎ ‎2．等比数列的有关公式 ‎(1)通项公式：an＝a1qn－1。‎ ‎(2)前n项和公式：Sn＝q≠1。‎ ‎3．等比数列的性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)。‎ ‎(2)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq。‎ 特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a。‎ ‎(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m仍成等比数列，即(S‎2m－Sm)2＝Sm(S‎3m－S‎2m)(m∈N*，公比q≠－1)。‎ ‎(4)数列{an}是等比数列，则数列{pan}(p≠0，p是常数)也是等比数列。‎ ‎(5)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an ‎＋3k，…为等比数列，公比为qk。‎ ‎　　微点提醒 ‎1．等比数列的概念的理解 ‎(1)等比数列中各项及公比都不能为零。‎ ‎(2)由an＋1＝qan(q≠0)，并不能断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0。‎ ‎(3)等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号相同。‎ ‎2．等比数列{an}的单调性 ‎(1)满足或时，{an}是递增数列。‎ ‎(2)满足或时，{an}是递减数列。‎ ‎(3)当时，{an}为常数列。‎ ‎(4)当q<0时，{an}为摆动数列。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1．(必修5P68B组T1(1)改编)等比数列{an}各项均为正数，且a‎5a6＋a‎4a7＝18，则log‎3a1＋log‎3a2＋…＋log‎3a10＝(　　)‎ A．12 B．10‎ C．8 D．2＋log35‎ ‎【解析】　∵a‎4a7＝a‎5a6，∴a‎5a6＝9，又log‎3a1＋log‎3a2＋…＋log‎3a10＝log3(a‎1a2…a10)＝log3(a‎5a6)5＝log395＝10。故选B。‎ ‎【答案】　B ‎2．(必修5P62B组T2改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________。‎ ‎【解析】　S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，则(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，由＝知S6＝S3，则S＝S3·(S9－S6)，所以S9＝S3，所以＝。‎ ‎【答案】　 二、双基查验 ‎1．等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于(　　)‎ A．4　　　　 B．‎8　‎　　　‎ C．16　　 　 D．32‎ ‎【解析】　a2·a6＝a＝16。故选C。‎ ‎【答案】　C ‎2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝(　　)‎ A．64 B．81‎ C．128 D．243‎ ‎【解析】　q＝＝2，‎ 故a1＋a1q＝3⇒a1＝1，a7＝1×27－1＝64。故选A。‎ ‎【答案】　A ‎3．(2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入。若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)‎ ‎(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)‎ A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年 ‎【解析】　根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130× 1.12n－1。由130×1.12n－1>200，两边同时取对数，得n－1>，又≈＝3.8，则n>4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元。故选B。‎ ‎【答案】　B ‎4．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________。‎ ‎【解析】　∵S3＋3S2＝0，‎ ‎∴a1＋a2＋a3＋3(a1＋a2)＝0，‎ ‎∴a1(4＋4q＋q2)＝0。‎ ‎∵a1≠0，∴q＝－2。‎ ‎【答案】　－2‎ ‎5．若等比数列{an}的各项均为正数，且a‎10a11＋a‎9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________。‎ ‎【解析】　解法一：各项均为正数的等比数列{an}中a‎10a11＝a‎9a12＝…＝a‎1a20，‎ 则a‎1a20＝e5，‎ lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a‎1a20)10＝lne50＝50。‎ 解法二：各项均为正数的等比数列{an}中a‎10a11＝a‎9a12＝…＝a‎1a20，‎ 则a‎1a20＝e5，‎ 设lna1＋lna2＋…＋lna20＝S，‎ 则lna20＋lna19＋…＋lna1＝S，‎ ‎2S＝20ln(a‎1a20)＝100，S＝50。‎ ‎【答案】　50‎ 微考点　大课堂 考点一 ‎ 等比数列的基本运算 ‎【典例1】　{an}为等比数列，求下列各值。‎ ‎(1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n；‎ ‎(2)已知a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q；‎ ‎(3)已知q＝－，S8＝15(1－)，求a1。‎ ‎【解析】　(1)解法一：‎ ‎∵ ‎∴q＝。‎ 又∵a3＋a6＝a3(1＋q3)＝36，∴a3＝32。‎ ‎∵an＝a3·qn－3＝32·n－3＝28－n＝＝2－1，‎ ‎∴8－n＝－1，即n＝9。‎ 解法二：∵a4＋a7＝a1·q3(1＋q3)＝18且a3＋a6＝a1·q2·(1＋q3)＝36，‎ ‎∴q＝，a1＝128。‎ 又∵an＝a1·qn－1＝27·n－1＝28－n＝＝2－1，‎ ‎∴8－n＝－1，即n＝9。‎ ‎(2)∵a2·a8＝a3·a7＝36且a3＋a7＝15，‎ ‎∴a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3。‎ ‎∵q4＝4或q4＝，∴q＝±或q＝±。‎ ‎(3)∵S8＝＝＝15(1－)，‎ ‎∴a1＝－(1－)·(1＋)＝1。‎ ‎【答案】　(1)9　(2)±或±　(3)1‎ 反思归纳　等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式，并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比的取值情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算。‎ ‎【变式训练】　(1)(2016·武汉调研)若等比数列{an}的各项均为正数，a1＋‎2a2＝3，a＝‎4a2a6，则a4＝(　　)‎ A.　　　　　　　 B. C. D. ‎(2)(2016·海口调研)设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2－‎8a5＝0，则的值为(　　)‎ A. B. C．2 D．17‎ ‎【解析】　(1)由题意，得 解得 所以a4＝a1q3＝×3＝。故选C。‎ ‎(2)∵a2－‎8a5＝0，∴＝q3＝，∴q＝。‎ ‎∴＝＋1‎ ‎＝＋1＝。故选B。‎ ‎【答案】　(1)C　(2)B 考点二 ‎ 等比数列的判定与证明…………母题发散 ‎【典例2】　(1)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)‎ A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 ‎(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列。‎ ‎【解析】　(1)由等比数列的性质得，a3·a9＝a≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，故选D。‎ ‎(2)证明：∵an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，‎ ‎∴＝＝＝＝2。‎ ‎∵S2＝a1＋a2＝‎4a1＋2，∴a2＝5。∴b1＝a2－‎2a1＝3。‎ ‎∴数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列。‎ ‎【答案】　(1)D　(2)见解析 ‎【母题变式】　1.在本典例(2)的条件下，求{an}的通项公式。‎ ‎【解析】　由(2)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，‎ 所以－＝，‎ 故是首项为，公差为的等差数列。‎ 所以＝＋(n－1)·＝，‎ 所以an＝(3n－1)·2n－2。‎ ‎【答案】　an＝(3n－1)·2n－2‎ ‎2．在本典例(2)中，若cn＝，证明：{cn}为等比数列。‎ ‎【证明】　由[变式1]知，an＝(3n－1)·2n－2，‎ ‎∴cn＝2n－2。‎ ‎∴＝＝2。‎ 又c1＝＝，‎ ‎∴数列{cn}是首项为，公比为2的等比数列。‎ 反思归纳　(1)证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可。‎ ‎(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证。‎ ‎【拓展变式】　(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0。‎ ‎(1)证明：{an}是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎(2)若S5＝，求λ。‎ ‎【解析】　(1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0。‎ 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，‎ 即an＋1(λ－1)＝λan。由a1≠0，λ≠0且λ≠1得an≠0，‎ 所以＝。‎ 因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是 an＝n－1。‎ ‎(2)由(1)得Sn＝1－n。由S5＝得1－5＝，即5＝。‎ 解得λ＝－1。‎ ‎【答案】　(1){an}是首项为，公比为的等比数列，an＝n－1　(2)λ＝－1‎ 考点三 ‎ 等比数列的性质应用 ‎【典例3】　(1)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a‎3a11＝16，则log‎2a10等于(　　)‎ A．4　　　 B．‎5　‎　　‎ C．6　　　 D．7‎ ‎(2)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于(　　)‎ A．80 B．30 ‎ C．26 D．16‎ ‎【解析】　(1)∵a3·a11＝16，∴a＝16。‎ 又∵等比数列{an}的各项都是正数，∴a7＝4。‎ 又∵a10＝a7q3＝4×23＝25，∴log‎2a10＝5。故选B。‎ ‎(2)设S2n＝a，S4n＝b，由等比数列的性质知：‎ ‎2(14－a)＝(a－2)2，解得a＝6或a＝－4(舍去)，‎ 同理(6－2)(b－14)＝(14－6)2，所以b＝S4n＝30。故选B。‎ ‎【答案】　(1)B　(2)B 反思归纳　等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形。根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口。‎ ‎【变式训练】　(1)已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则＝(　　)‎ A. B.或 C. D．以上都不对 ‎(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3，S12－S8＝12，则S8＝__________。‎ ‎【解析】　(1)设a，b，c，d是方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根，不妨设a0，所以q＝<0，所以q＝－。故选C。‎ 答案　C ‎2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人最后一天走的路程为(　　)‎ A．24里 B．12里 C．6里 D．3里 解析　记每天走的路程里数为{an}，易知{an}是公比q＝的等比数列，S6＝378。又S6＝＝378，所以a1＝192，所以a6＝192×＝6，故选C。‎ 答案　C ‎3．已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a‎2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________。‎ 解析　⇒a1＝1，q＝2，‎ 所以Sn＝＝2n－1。‎ 答案　2n－1‎ ‎4．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a‎1a2…an的最大值为________。‎ 解析　设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5得a1＝8，q＝，则a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝，所以a‎1a2…an≤a‎1a2a3a4＝64。‎ 答案　64‎ ‎5．(2016·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn。‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求{bn}的前n项和。‎ 解析　(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2。‎ 所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1。‎ ‎(2)由(1)知anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，因此数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列。记{bn}的前n项和为Sn，则 Sn＝＝－。‎ 答案　(1)an＝3n－1　(2)Sn＝－