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- 2021-06-16 发布
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第1讲 小题考法——等差数列与等比数列
一、主干知识要记牢
1.等差数列、等比数列
等差数列
等比数列
通项公式
an=a1+(n-1)d
an=a1qn-1(q≠0)
前n项
和公式
Sn==na1+d
(1)q≠1,Sn==;
(2)q=1,Sn=na1
2.判断等差数列的常用方法
(1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列.
(2)通项公式法:an=pn+q(p,q为常数,n∈N*)⇔{an}是等差数列.
(3)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列.
(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数,n∈N*)⇔{an}是等差数列.
3.判断等比数列的常用方法
(1)定义法:=q(q是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数列.
(2)通项公式法:an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数列.
(3)中项公式法:a=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)⇔{an}是等比数列.
二、二级结论要用好
1.等差数列的重要规律与推论
(1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d;p+q=m+n⇒ap+aq=am+an.
(2)ap=q,aq=p(p≠q)⇒ap+q=0;Sm+n=Sm+Sn+mnd.
(3)连续k项的和(如Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…)构成的数列是等差数列.
(4)若等差数列{an}的项数为偶数2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,=.
(5)若等差数列{an}的项数为奇数2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,=.
2.等比数列的重要规律与推论
(1)an=a1qn-1=amqn-m;p+q=m+n⇒ap·aq=am·an.
(2){an},{bn}成等比数列⇒{anbn}成等比数列.
(3)连续m项的和(如Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…)构成的数列是等比数列(注意:这连续m项的和必须非零才能成立).
(4)若等比数列有2n项,公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则=q.
(5)对于等比数列前n项和Sn,有:
①Sm+n=Sm+qmSn;②=(q≠±1).
三、易错易混要明了
已知数列的前n项和求an,易忽视n=1的情形,直接用Sn-Sn-1表示.事实上,当n=1时,a1=S1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1.
考点一 数列的递推公式
由an与Sn的关系求通项公式的注意事项
(1)应重视分类讨论思想的应用,分n=1和n≥2两种情况讨论,特别注意an=Sn-Sn-1成立的前提是n≥2.
(2)由Sn-Sn-1=an推得an,当n=1时,a1也适合,则需统一表示(“合写”).
(3)由Sn-Sn-1=an推得an,当n=1时,a1不适合,则数列的通项公式应分段表示(“分写”),即an=
1.(2018·潍坊二模)设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=-n2-n,则数列的前40项的和为( D )
A. B.-
C. D.-
解析 根据Sn=-n2-n,可知当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=-n2-n-[-(n-1)2-(n-1)]=-2n,
当n=1时,a1=S1=-2,上式成立,所以an=-2n,
所以=-=-,
所以其前n项和
Tn=-
=-=-,
所以其前40项和为T40=-,故选D.
2.(2018·齐齐哈尔二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a2=4,S4=30,n≥2时,an+1+an-1=2(an+1),则{an}的通项公式an=__n2__.
解析 由an+1+an-1=2(an+1)得an+1-an=an-an-1+2(n≥2).又a3+a1=2(a2+1)=10,
S4=a1+a2+a3+a4=14+a4=30,∴a4=16.
又a4+a2=2(a3+1),∴a3=9,∴a1=1,∴a2-a1=3,
∴数列{an+1-an}是首项为3,公差为2的等差数列,
∴an-an-1=3+2(n-2)=2n-1(n≥2),
∴当n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(2n-1)+(2n-3)+…+1=n2,
又a1=1满足上式,∴an=n2(n∈N*).
考点二 等差、等比数列的基本运算
等差(比)数列基本运算的解题思路
(1)设基本量:首项a1和公差d(公比q).
(2)列、解方程(组):把条件转化为关于a1和d(或q)的方程(组),然后求解,注意整体计算,以减少运算量.
1.(2018·南充三联)已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-5,则a1-a2-a3-a4=( D )
A.-14 B.-9
C.11 D.16
解析 等差数列{an}中,a1=1,a3=-5,所以公差d==-3.所以a1-a2-a3-a4=a1-(a1+d)-(a1+2d)-(a1+3d)=-2a1-6d=-2+18=16.
2.已知等比数列{an}满足a1=4,a2a6=a4-,则a2=( A )
A.2 B.1
C. D.
解析 因为a2a6=a4-,所以4q·4q5=4q3-.
∴2=0.∴4q3-=0.q3=,q=.
a2=4q=4×,选A.
3.(2018·河南一模)在等差数列{an}中,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n项和,则使Sn达到最大值的n是( B )
A.21 B.20
C.19 D.18
解析 因为a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,所以a3=35,a4=33,从而d=-2,a1=39,Sn=39n+n(n-1)(-2)=-n2+40n.所以当n=20时Sn取最大值,选B.
4.(2018·湖南联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金杖,长5尺,一头粗,一头细,在最粗的一端截下1尺,重4斤;在最细的一端截下1尺,重2斤;问依次每一尺各重多少斤?”设该金杖由粗到细是均匀变化的,其总重量为W,则W的值为( C )
A.4 B.12
C.15 D.18
解析 由于粗细是均匀变化的, 所以为等差数列,即a1=4,a5=2,所以总重量为S5=×5=15.故选C.
考点三 等差、等比数列的性质
等差、等比数列性质问题的求解策略
(1)解题关键:抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.
(2)运用函数性质:数列是一种特殊的函数,具有函数的一些性质,如单调性、周期性等,可利用函数的性质解题.
1.(2018·蚌埠模拟)设等差数列{an}的前10项和为20,且a5=1,则{an}的公差为( B )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 等差数列{an}的前10项和为20,所以S10==5(a1+a10)=5(a5+a6)=20.所以a6=4-a5=3.则{an}的公差为a6-a5=3-1=2. 故选B.
2.(2018·永州三模)记Sn为正项等比数列{an}的前n项和,若S4-2S2=2,则S6-S4的最小值为__8__.
解析 在等比数列{an}中,根据等比数列的性质,可得S2,S4-S2,S6-S4构成等比数列,所以(S4-S2)2=S2·(S6-S4),所以S6-S4=,因为S4-2S2=2,即S4-S2=S2+2,所以S6-S4===S2++4≥2+4=8,当且仅当S2=时,等号是成立的,所以S6-S4的最小值为8.
考点四 等差、等比数列的综合问题
等差、等比数列综合问题的求解策略
(1)对于等差数列与等比数列交汇的问题,要从两个数列的特征入手,理清它们的关系,常用“基本量法”求解,但有时灵活地运用等差中项、等比中项等性质,可使运算简便.
(2)数列的通项或前n项和可以看作关于n的函数,然后利用函数的性质求解数列的有关最值问题.
1.(2018·株洲二检)已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,Sn是{an}的前n项和,则S9等于( C )
A.-8 B.-6
C.0 D.10
解析 ∵a1,a3,a4成等比数列,∴a=a1a4,∴(a1+2×2)2=a1·(a1+3×2),化为2a1=-16.解得a1=-8.则S9=-8×9+×2=0,故选C.
2.(2018·武汉一模)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,a2+a5=4,则a8=__2__.
解析 因为S3,S9,S6成等差数列,所以公比q≠1,
又2=+,
整理得到2q6=1+q3,所以q3=-,
故a2=4,解得a2=8,故a8=8×=2.
3.(2018·雅安三诊)已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,满足:a1 000+a1 018=2π,b6b2 012=2,则tan =__-__.
解析 ∵数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,
∴a1 000+a1 018=2a1 009=2π,
即a1 009=π; b6·b2 012=b=2.
∴tan =tan =tan =-.