【数学】2018届一轮复习北师大版三角函数的化简求值学案 7页

专题9 三角函数的化简求值 三角函数的化简求值 ‎★★★‎ ‎○○○○‎ ‎1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β)‎ cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β C(α＋β)‎ cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β S(α－β)‎ sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β S(α＋β)‎ sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β T(α－β)‎ tan(α－β)＝；变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)‎ T(α＋β)‎ tan(α＋β)＝；变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)‎ ‎2.二倍角公式 S2α sin 2α＝2sin_αcos_α；变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2‎ C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ 变形：cos2α＝，sin2α＝ T2α tan 2α＝ ‎1.三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值．‎ ‎2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“‎1”‎的代换，弦切互化等．‎ ‎[例]　已知α∈(0，π)，化简：‎ ＝________.‎ ‎[解析]　原式＝‎ .‎ 因为α∈(0，π)，所以∈，‎ 所以cos>0，‎ 所以原式＝ ‎＝· ‎＝cos2－sin2＝cos α.‎ ‎[答案]　cos α ‎[例2]　求值：－sin 10°－tan 5°；‎ ‎ [解]　原式＝－sin 10°－ ‎＝－sin 10°· ‎＝－sin 10°· ‎＝－2cos 10°＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎2.求值：sin 50°(1＋tan 10°)．‎ ‎3.　(1)设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为(　　)‎ A. B. ‎ C. D.或 ‎(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．‎ ‎[解析]　(1)∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，‎ ‎∴cos α＝，sin β＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝>0.‎ 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈，‎ ‎∴α＋β＝.‎ ‎∵tan β＝－<0，∴<β<π，∴－π<2α－β<0，‎ ‎∴2α－β＝－.‎ ‎1.计算：＝(　　)‎ A.　　　　　　 B. C. D．－ 解析：选A　 ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎2. (1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是(　　)‎ A. B．1＋ C．2 D．2(tan 18°＋tan 27°)‎ 解析：选C　原式＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 18°tan 27°＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＝2，故选C.‎ ‎3.化简：＝________.‎ 解析： ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝tan α.‎ 答案：tan α ‎4.化简：＝________.‎ 解析：原式＝ ‎＝ ‎＝＝cos 2x.‎ 答案：cos 2x ‎5.已知α∈，且sin＋cos＝.‎ ‎(1)求cos α的值；‎ ‎(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．‎ 解：(1)已知sin＋cos＝，两边同时平方，得1＋2sincos＝，则sin α＝.‎ 又<α<π，所以cos α＝－＝－.‎ ‎________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________‎