【数学】2018届一轮复习北师大版等比数列教案 11页

第十八讲 等比数列 项目 内容 课题 等比数列（共 3 课时）‎ 修改与创新 教学目标 ‎1．通过实例，理解等比数列的概念；‎ ‎2．探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式；‎ ‎3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等比数列与指数函数的关系。‎ 命题走向 等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具。‎ 预测2017年高考对本讲的考察为：‎ ‎（1）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的1~2道客观题目； ]‎ ‎（2）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点；‎ ‎（3）解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。‎ 教学准备 多媒体课件 教学过程 ‎[ ]‎ ‎1．等比数列的有关概念 ‎(1)定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(q≠0，n∈N*)．‎ ‎(2)等比中项 如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔G2＝ab．‎ ‎“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．‎ ‎2．等比数列的有关公式 ‎(1)通项公式：an＝a1qn－1．‎ ‎(2)前n项和公式：Sn＝ ‎3．等比数列的性质 已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*)‎ ‎(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a；‎ ‎ (2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；‎ ‎(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．‎ ‎1．辨明三个易误点 ‎(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0，但q可为正数，也可为负数．‎ ‎(2)由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.‎ ‎(3)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．‎ ‎2．等比数列的三种判定方法 ‎(1)定义：＝q(q是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．‎ ‎(2)通项公式：an＝cqn－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．‎ ‎(3)等比中项法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．‎ ‎3．求解等比数列的基本量常用的思想方法 ‎(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：a1，q，n，an，Sn，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键．‎ ‎(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝；在判断等比数列单调性时，也必须对a1与q分类讨论．‎ ‎1．(2014·高考重庆卷)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)‎ A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 解析：选D.设等比数列的公比为q，因为＝＝q3，即a＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．故选D.‎ ‎2．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)‎ A．21　　　　　　　　　　　 B．42‎ C．63 D．84‎ 解析：选B.因为a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，所以3＋3q2＋3q4＝21.‎ 所以1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．‎ 所以a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.‎ ‎3．(必修5 P58练习T2改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝(　　)‎ A．31 B．32‎ C．63 D．64‎ 解析：选C.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故选C.‎ ‎4．(必修5 P54习题2.4A组T8(1)改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．‎ 解析：设该数列的公比为q，由题意知，‎ ‎243＝9×q3，得q3＝27，所以q＝3.‎ 所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81.‎ 答案：27，81‎ ‎5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．‎ 解析：因为a1＝2，an＋1＝2an，‎ 所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．‎ 又因为Sn＝126，所以＝126，所以n＝6.‎ 答案：6‎ 考点一　等比数列的基本运算(高频考点)‎ 等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，属中、低档题．‎ 高考对等比数列的基本运算的考查常有以下三个命题角度：‎ ‎(1)求首项a1、公比q或项数n；‎ ‎(2)求通项或特定项；‎ ‎(3)求前n项和．‎ ‎　(1)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________．‎ ‎(2)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．‎ ‎[解析]　(1)因为3S1，2S2，S3成等差数列，所以4S2＝3S1＋S3，即4(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3.化简，得＝3，即等比数列{an}的公比q＝3，故an＝1×3n－1＝3n－1.‎ ‎(2)设等比数列的公比为q，则有解得或 又{an}为递增数列，所以所以Sn＝＝2n－1.‎ ‎[答案]　(1)3n－1　(2)2n－1‎ ‎ ‎ 等比数列基本运算的解题技巧 ‎(1)求等比数列的基本量问题，其核心思想是解方程(组)，一般步骤是：①由已知条件列出以首项和公比为未知数的方程(组)；②求出首项和公比；③求出项数或前n项和等其余量. ‎ ‎(2)设元的技巧，可减少运算量，如三个数成等比数列，可设为，a，aq(公比为q ‎)；四个数成等比数列且q>0时，设为，，aq，aq3.‎ ‎　1.(1)(2016·郑州第二次质量预测)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3－a6＝0，则＝________．‎ ‎(2)(2016·江苏省扬州中学期中测试)设等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝4，Sk＝63，则k＝________．‎ 解析：(1)由题可知{an}为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3＝a1q2，a6＝a1q5，所以27a1q2＝a1q5，所以q＝3，由Sn＝，‎ 得S6＝，S3＝，‎ 所以＝·＝28.‎ ‎(2)设等比数列{an}的公比为q，由已知a1＝1，a3＝4，得q2＝＝4.又{an}的各项均为正数，‎ 所以q＝2.而Sk＝＝63，‎ 所以2k－1＝63，解得k＝6.‎ 答案：(1)28　(2)6‎ 考点二　等比数列的判定与证明 ‎　设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.‎ ‎(1)求a4的值；‎ ‎(2)证明：为等比数列．‎ ‎[解]　(1)当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即4＋5＝8＋1，‎ 解得a4＝.‎ ‎(2)证明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．‎ 因为 4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，‎ 所以4an＋2＋an＝4an＋1，‎ 所以＝＝ ‎＝＝，‎ 所以数列是以a2－a1＝1为首项，为公比的等比数列．‎ ‎　在本例条件下，求数列{an}的通项公式．‎ 解：由本例(2)知，an＋1－an＝，‎ 即－＝4.‎ 所以数列是以＝2为首项，4为公差的等差数列，‎ 所以＝2＋4(n－1)＝4n－2，‎ 即an＝(2n－1)·，‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝(2n－1)·.‎ 证明数列{an}是等比数列常用的方法 一是定义法，证明＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，证明a＝an－1·an＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法. ‎ ‎　2.已知数列{an}是等差数列，a3＝10，a6＝22，数列{bn}的前n项和是Tn，且Tn＋bn＝1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求证：数列{bn}是等比数列．‎ 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则由已知得解得a1＝2，d＝4.‎ 所以an＝2＋(n－1)×4＝4n－2.‎ ‎(2)证明：由Tn＝1－bn，①‎ 令n＝1，得T1＝b1＝1－b1.解得b1＝，‎ 当n≥2时，Tn－1＝1－bn－1，②‎ ‎①－②得bn＝bn－1－bn，所以bn＝bn－1，‎ 所以＝，又因为b1＝≠0，‎ 所以数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列．‎ 考点三　等比数列的性质 ‎　(1)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　　)‎ A．2　　　　　　　　　　　　 B．1 ‎ C. D． ‎(2)(2016·昆明三中、玉溪一中统考)已知等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则Tn＝＋＋…＋的结果可化为(　　)‎ A．1－ B．1－ C. D． ‎[解析]　(1)法一：因为a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，‎ 所以a＝4(a4－1)，‎ 所以a－4a4＋4＝0，‎ 所以a4＝2.又因为q3＝＝＝8，‎ 所以q＝2，所以a2＝a1q＝×2＝，故选C.‎ 法二：因为a3a5＝4(a4－1)，‎ 所以a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，‎ 将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，‎ 解得q＝2，‎ 所以a2＝a1q＝，故选C.‎ ‎(2)依题意，an＝2n－1，＝＝＝×，所以Tn＝＝，故选C.‎ ‎[答案]　(1)C　(2)C 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. ‎ ‎　3.(1)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　)‎ A.　 　　 B．－　 　　C.　 　　D. ‎(2)设Sn是等比数列{an}的前n项和，S4＝5S2，则的值为(　　)‎ A．－2或－1 B．1或2‎ C．±1或2 D．±2或－1‎ 解析：(1)选A.因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝.‎ ‎(2)选D.由S4＝5S2得a1＋a2＋a3＋a4＝5(a1＋a2)，即a3＋a4＝4(a1＋a2)，q2(a1＋a2)＝4(a1＋a2)，当a1＋a2＝0时，公比q＝－1；当a1＋a2≠0时，q＝±2，所以＝＝q，故选D. ‎ 方法思想——分类讨论思想在求数列前n项和中的应用 ‎　(2016·常州模拟)如果有穷数列a1，a2，a3，…，am(m为正整数)满足条件a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，即ai＝am－i＋1(i＝1，2，…，m)，我们称其为“对称数列”．例如，数列1，2，3，4，3，2，1与数列a，b，c，c，b，a都是“对称数列”．‎ ‎(1)设{bn}是8项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b1＝1，b5＝13.依次写出{bn}的每一项；‎ ‎(2)设{cn}是2m＋1项的“对称数列”，其中cm＋1，cm＋2，…，c2m＋1是首项为a，公比为q 的等比数列，求{cn}的各项和Sn.‎ ‎[解]　(1)设数列b1，b2，b3，b4的公差为d，b4＝b1＋3d＝1＋3d.‎ 又因为b4＝b5＝13，解得d＝4，‎ 所以数列{bn}为1，5，9，13，13，9，5，1.‎ ‎(2)Sn＝c1＋c2＋…＋c2m＋1＝2(cm＋1＋cm＋2＋…＋c2m＋1)－cm＋1＝2a(1＋q＋q2＋…＋qm)－a＝2a·－a(q≠1)．‎ 而当q＝1时，Sn＝(2m＋1)a.‎ 所以Sn＝ ‎　(1)本题是新定义型数列问题，在求等比数列{cn}的前n项和时用到了分类讨论思想．‎ ‎(2)分类讨论思想在数列中应用较多，常见的分类讨论有：‎ ‎①已知Sn与an的关系，要分n＝1，n≥2两种情况；‎ ‎②项数的奇、偶数讨论；‎ ‎③等比数列的单调性的判断与a1，q的取值的讨论．‎ ‎　(2014·高考山东卷)在等差数列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝a，记Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn，求Tn.‎ 解：(1)由题意知(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，‎ 即(a1＋2)2＝a1(a1＋6)，‎ 解得a1＝2，‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝2n.‎ ‎(2)由题意知bn＝a＝n(n＋1)，‎ 所以Tn＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn·(n＋1)．‎ 因为bn＋1－bn＝2(n＋1)，‎ 可得当n为偶数时，‎ Tn＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－bn－1＋bn)‎ ‎＝4＋8＋12＋…＋2n＝＝，‎ 当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋(－bn)＝－n(n＋1)＝－.‎ 所以Tn＝ 板书设计 等比数列 ‎1．等比数列的有关概念 ‎(1)定义 ‎(2)等比中项 ‎ “a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．‎ ‎2．等比数列的有关公式 ‎(1)通项公式：an＝a1qn－1．‎ ‎(2)前n项和公式：Sn＝ ‎3．等比数列的性质 已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*)‎ ‎(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a；‎ ‎(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；‎ ‎(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．‎ 教学反思 等比数列的复习应与等差数列对照进行，这样既可以更好地使学生掌握等比数列的概念公式及相关性质。等比数列与等差数列又存在一些不同的地方，复习时，引导学生进行对照分析，加深理解。在涉及等比数列求和时，需提醒学生注意，在公比未知的情况下，应讨论。在只涉及少数几项的和时，往往利用定义比利用求和公式方便。‎ 学生在证明较复杂的数列是等比数列时，像例2 那样的题目，还有一定的困难，后面还需要加强训练。‎ ‎ ‎