【数学】2019届一轮复习北师大版离散型随机变量及其分布列学案 16页

第60讲　离散型随机变量及其分布列 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．‎ ‎2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.‎ ‎2016·全国卷Ⅰ，19‎ ‎2015·重庆卷，17‎ ‎2015·四川卷，17‎ 利用排列、组合知识求解离散型随机变量的分布列，运用概率知识解决实际问题.‎ 分值：5分 ‎1．随机变量 随着试验结果变化__而变化__的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．‎ ‎2．离散型随机变量 所有取值可以__一一列出__的随机变量．‎ ‎3．离散型随机变量分布列的概率 若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式__P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n__表示X的分布列．‎ ‎4．离散型概率分布列的性质 ‎(1)__pi≥0(i＝1,2，…，n)__；‎ ‎(2)i＝1.‎ ‎5．两点分布 若随机变量X服从两点分布，则其分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P ‎__1－p__‎ p 其中p＝__P(X＝1)__称为成功概率．‎ ‎6．超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝____(k＝0，1,2，…，m)，其中m＝__min{M，n}__，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，如果随机变量X的分布列具有下表形式.‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ m P ‎____‎ ‎____‎ ‎…‎ ‎____‎ 则称随机变量X服从超几何分布．‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)随机试验所有可能的结果是明确的，并且不止一个．(　√　)‎ ‎(2)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出．(　×　)‎ ‎(3)离散型随机变量的分布列中pi>0(i＝1,2，…，n)．(　×　)‎ ‎(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．(　√　)‎ 解析 (1)正确．根据随机试验的条件可知正确．‎ ‎(2)错误．离散型随机变量的所有取值可以一一列出．‎ ‎(3)错误．离散型随机变量的分布列中pi≥0(i＝1,2,3，…，n)．‎ ‎(4)正确．由离散型随机变量的分布列的性质可知该命题正确．‎ ‎2．投掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的事件是(　C　)‎ A．一颗是3点，一颗是1点 B．两颗都是2点 C．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点 D．以上答案都不对 解析 甲是3点，乙是1点与甲是1点，乙是3点是试验的两个不同结果，故选C．‎ ‎3．设随机变量X的分布列如下.‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P p 则p＝(　C　)‎ A．　　 B． C．　　 D． 解析 由＋＋＋＋p＝1，得p＝.‎ ‎4．用X表示投掷一枚均匀的骰子获得的点数，且X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2，…，6)，则掷出的点数是偶数的概率为____.‎ 解析 概率P＝P(X＝2)＋P(X＝4)＋P(X＝6)＝＋＋＝.‎ ‎5．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是____.‎ 解析 从10件产品中任取4件共有C＝210种不同的取法，因为10件产品中有7件正品、3件次品，所以从中任取4件恰好取到1件次品共有CC＝105种不同的取法，故所求的概率为P＝＝.‎ 一　离散型随机变量的分布列及性质 ‎(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．‎ ‎(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．‎ ‎【例1】 设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．‎ ‎(1)求a；(2)求P；(3)求P.‎ 解析 (1)由分布列的性质，‎ 得P＋P＋P＋P＋P(X＝1)＝a＋‎2a＋‎3a＋‎4a＋‎5a＝1，‎ 所以a＝.‎ ‎(2)P＝P＋P＋P(X＝1)＝‎ ‎3×＋4×＋5×＝.‎ ‎(3)P＝P＋P＋P＝＋＋＝＝.‎ 二　离散型随机变量分布列的求法 求离散型随机变量X的分布列的步骤 ‎①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．‎ 注：求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．‎ ‎【例2】 端午节包粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．‎ ‎(1)求三种粽子各取到1个的概率；‎ ‎(2)设X表示取到的豆沙粽的个数，求X的分布列．‎ 解析 (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，‎ 则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.‎ ‎(2)X能取到的所有可能值为0,1,2，且 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝.‎ 综上知，X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎【例3】 某商店试销某种商品20天，获得如下数据.‎ 日销售量/件 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎5‎ 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．‎ ‎(1)求当天商店不进货的概率；‎ ‎(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．‎ 解析 (1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝＋＝.‎ ‎(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝＝；‎ P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为 ‎3件)＝＋＋＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ P ‎【例4】 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．‎ ‎(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；‎ ‎(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列．‎ 解析 用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”．‎ 则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5.‎ ‎(1)P(A)＝P(A‎1A2)＋P(B‎1A‎2A3)＋P(A1B‎2A‎3A4)‎ ‎＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)‎ ‎＝2＋×2＋××2＝.‎ ‎(2)X的可能取值为2,3,4,5.‎ P(X＝2)＝P(A‎1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝，‎ P(X＝3)＝P(B‎1A‎2A3)＋P(A1B2B3)‎ ‎＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝，‎ P(X＝4)＝P(A1B‎2A‎3A4)＋P(B‎1A2B3B4)‎ ‎＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝，‎ P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.‎ 故X的分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P 三　超几何分布 超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．‎ ‎【例5】 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.‎ ‎(1)求白球的个数；‎ ‎(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．‎ 解析 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，‎ 则P(A)＝1－＝，解得x＝5.故白球有5个．‎ ‎(2)X服从超几何分布．‎ P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.‎ 于是可得其分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1．设离散型随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ m 求：(1)2X＋1的分布列；‎ ‎(2)|X－1|的分布列．‎ 解析 由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.首先列表为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2X＋1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎|X－1|‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 从而由上表得两个分布列为：‎ ‎(1)2X＋1的分布列 ‎2X＋1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ P ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎(2)|X－1|的分布列 ‎|X－1|‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎2．4支圆珠笔标价分别为10元、20元、30元、40元．‎ ‎(1)从中任取一支，求其标价X的分布列；‎ ‎(2)从中任取两支，若以Y表示取到的圆珠笔的最高标价，求Y的分布列．‎ 解析 (1)X的可能取值分别为10,20,30,40，且取得任一支的概率相等，故X的分布列为 X ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ P ‎(2)根据题意，Y的可能取值为20,30,40，‎ 且P(Y＝20)＝＝，‎ P(Y＝30)＝＝，P(Y＝40)＝＝.‎ 所以Y的分布列为 Y ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ P ‎3．(2018·湖南益阳测试)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．‎ ‎(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；‎ ‎(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．‎ 解析 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A.P(A)＝＝.‎ ‎(2)X的可能取值为200,300,400.‎ P(X＝200)＝＝，P(X＝300)＝＝，‎ P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝.‎ 故X的分布列为 X ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ P ‎4．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：‎ ‎(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；‎ ‎(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．‎ 解析 (1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为CC，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝，k＝0，1,2,3.‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.‎ 由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，‎ 而P(A1)＝＝，‎ P(A2)＝P(X＝2)＝，‎ P(A3)＝P(X＝3)＝.‎ ‎∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.‎ 易错点　随机变量取值不全 错因分析：弄清随机变量的取值，正确应用概率公式是关键．有时虽然弄清了随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全面．避免这种错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1.‎ ‎【例1】 盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个．第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球(假设取到每个球的可能性都相同)，记第一次与第二次取得球的标号之和为ξ，求随机变量ξ的可能取值及其分布列．‎ 解析 由题意可得，随机变量ξ的可能取值是2,3,4,6,7,10.‎ P(ξ＝2)＝0.3×0.3＝0.09，‎ P(ξ＝3)＝C×0.3×0.4＝0.24，‎ P(ξ＝4)＝0.4×0.4＝0.16，‎ P(ξ＝6)＝C×0.3×0.3＝0.18，‎ P(ξ＝7)＝C×0.4×0.3＝0.24，‎ P(ξ＝10)＝0.3×0.3＝0.09.‎ 故随机变量ξ的分布列为 ξ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎10‎ P ‎0.09‎ ‎0.24‎ ‎0.16‎ ‎0.18‎ ‎0.24‎ ‎0.09‎ ‎【跟踪训练1】 (2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图．‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．‎ ‎(1)求X的分布列；‎ ‎(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；‎ ‎(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？‎ 解析 (1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4，0.2，0.2.从而 P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；‎ P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；‎ P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；‎ P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；‎ P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；‎ P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；‎ P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.‎ 所以X的分布列为 X ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ P ‎0.04‎ ‎0.16‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.2‎ ‎0.08‎ ‎0.04‎ ‎(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.‎ ‎(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．‎ 当n＝19时，‎ E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.‎ 当n＝20时，‎ E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.‎ 可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.‎ 课时达标　第60讲 ‎[解密考纲]离散型随机变量及其分布列在高考中一般与排列、组合及古典概型、几何概型、二项分布及超几何分布相结合，以实际问题为背景呈现在三种题型中，难度中等或较大．‎ 一、选择题 ‎1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝(　C　)‎ A．0　　 B．　　‎ C．　　 D． 解析 设X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ P p ‎2p 即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p，∴由p＋2p＝1，得p＝，故选C．‎ ‎2．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于的是(　D　)‎ A．P(X＝3)　　 B．P(X≥2)‎ C．P(X≤3)　　 D．P(X＝2)‎ 解析 由超几何分布知P(X＝2)＝.‎ ‎3．设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ‎2－3q q2‎ 则q＝(　C　)‎ A．1　　 B．± C．－　　 D．＋ 解析 由分布列的性质知∴q＝－.‎ ‎4．随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P＝(　D　)‎ A．　　 B．　　‎ C．　　 D． 解析 ∵P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＋＝1，∴a＝，∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.‎ ‎5．若随机变量X的分布列为 X ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 则当P(X