【数学】2019届理科一轮复习北师大版第8章第9节第2课时定点、定值、范围、最值问题教案 11页

第2课时　定点、定值、范围、最值问题 ‎(对应学生用书第151页)‎ 定点问题 ‎　(2018·郑州第二次质量预测)已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线y＝－1相切．‎ ‎(1)求圆心M的轨迹方程；‎ ‎(2)动直线l过点P(0，－2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．‎ ‎[解]　(1)由题意，得点M与点(0,1)的距离始终等于点M到直线y＝－1的距离，由抛物线定义知圆心M的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，则＝1，p＝2.‎ ‎∴圆心M的轨迹方程为x2＝4y.‎ ‎(2)证明：由题知，直线l的斜率存在，‎ ‎∴设直线l：y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则C(－x2，y2)，‎ 联立得x2－4kx＋8＝0，‎ ‎∴ kAC＝＝＝，‎ 则直线AC的方程为y－y1＝(x－x1)，‎ 即y＝y1＋(x－x1)‎ ‎ ＝x－＋ ‎ ＝x＋.‎ ‎∵x1x2＝8，∴y＝x＋＝x＋2，‎ 故直线AC恒过定点(0,2)．‎ ‎[规律方法]　1.圆锥曲线中定点问题的两种解法 ‎①引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数作为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.‎ ‎②特殊到一般法：根据动点和动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.‎ ‎2.求直线方程过定点问题，要把直线方程表示出来，一般表示成点斜式或截距式.‎ ‎[跟踪训练]　(2018·呼和浩特一调)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，直线y＝bx＋2与圆x2＋y2＝2相切．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)已知定点E(1,0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. ‎ ‎【导学号：79140309】‎ ‎[解]　(1)∵直线l：y＝bx＋2与圆x2＋y2＝2相切．‎ ‎∴＝，∴b2＝1.‎ ‎∵椭圆的离心率e＝，‎ ‎∴e2＝＝＝，∴a2＝3，‎ ‎∴所求椭圆的方程是＋y2＝1.‎ ‎(2)将直线y＝kx＋2代入椭圆方程，消去y可得 ‎(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，‎ ‎∴Δ＝36k2－36＞0，∴k＞1或k＜－1.‎ 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，‎ 则有x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 若以CD为直径的圆过点E，‎ 则EC⊥ED．‎ ‎∵＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，‎ ‎∴(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0.‎ ‎∴(1＋k2)x1x2＋(2k－1)(x1＋x2)＋5＝0，‎ ‎∴(1＋k2)×＋(2k－1)×＋5＝0.‎ 解得k＝－＜－1.‎ ‎∴存在实数k＝－使得以CD为直径的圆过定点E.‎ 定值问题 ‎　(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：‎ ‎(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；‎ ‎(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．‎ ‎[解]　(1)不能出现AC⊥BC的情况．理由如下：‎ 设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，‎ 所以x1x2＝－2.‎ 又点C的坐标为(0,1)，‎ 故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，‎ 所以不能出现AC⊥BC的情况．‎ ‎(2)证明：BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为y－＝x2.‎ 由(1)可得x1＋x2＝－m，‎ 所以AB的中垂线方程为x＝－.‎ 联立 又x＋mx2－2＝0，可得 所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.‎ 故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，‎ 即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．‎ ‎[规律方法]　求定值问题的常用方法 ‎(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎ ‎[跟踪训练]　(2018·石家庄质检(二))设M，N，T是椭圆＋＝1上三个点，M，N在直线x＝8上的射影分别为M1，N1.‎ ‎(1)若直线MN过原点O，直线MT，NT斜率分别为k1，k2.求证：k1k2为定值；‎ ‎(2)若M，N不是椭圆长轴的端点，点L坐标为(3,0)，△M1N1L与△MNL面积之比为5，求MN中点K的轨迹方程．‎ ‎[解]　(1)证明：设M(p，q)，N(－p，－q)，T(x0，y0)，‎ 则k1k2＝，‎ 又两式相减得＋＝0，‎ 即＝－，‎ k1k2＝－.‎ ‎(2)设直线MN与x轴相交于点R(r,0)，‎ S△MNL＝|r－3|·|yM－yN|，‎ S△M1N1L＝×5·|yM1－yN1|.‎ 由于S△M1N1L＝5S△MNL且|yM1－yN1|＝|yM－yN|，‎ 得×5×|yM1－yN1|＝5×|r－3|·|yM－yN|，‎ 解得r＝4(舍去)或r＝2.‎ 即直线MN经过点F(2,0)．‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，K(x0，y0)，‎ ‎①当直线MN垂直于x轴时，弦MN中点为K(2,0)；‎ ‎②当直线MN与x轴不垂直时，设MN的方程为y＝k(x－2)，‎ 则则(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－48＝0.‎ x1＋x2＝，x1x2＝.‎ x0＝，y0＝.‎ 消去k，整理得(x0－1)2＋＝1(y0≠0)．‎ 综上所述，点K的轨迹方程为(x－1)2＋＝1(x＞0)．‎ 范围问题 ‎　(2018·合肥一检)已知点F为椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)设直线＋＝1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于两不同点A，B，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由题意得a＝2c，b＝c，‎ 则椭圆E为＋＝1.‎ 由得x2－2x＋4－3c2＝0.‎ ‎∵直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M，‎ ‎∴Δ＝4－4(4－3c2)＝0⇒c2＝1，‎ ‎∴椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由(1)得M，‎ ‎∵直线＋＝1与y轴交于P(0,2)，‎ ‎∴|PM|2＝，‎ 当直线l与x轴垂直时，‎ ‎|PA|·|PB|＝(2＋)(2－)＝1，‎ ‎∴由λ|PM|2＝|PA|·|PB|⇒λ＝，‎ 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2，‎ A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由⇒(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，‎ 依题意得x1x2＝，且Δ＝48(4k2－1)＞0，∴k2＞，‎ ‎∴|PA|·|PB|＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)· ‎ ＝1＋＝λ，‎ ‎∴λ＝，∵k2＞，∴＜λ＜1，‎ 综上所述，λ的取值范围是.‎ ‎[规律方法]　圆锥曲线中范围问题的求解方法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.‎ (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.‎ (3)利用已知的或隐含的不等关系，构建不等式，从而求出参数的取值范围.‎ (4)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.‎ ‎[跟踪训练]　(2018·江西师大附中)已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，椭圆E的左顶点为A，斜率为k(k＞0)的直线交椭圆E于A，B两点，点C在椭圆E上，AB⊥AC，直线 AC交y轴于点D．‎ ‎(1)当点B为椭圆的上顶点，△ABD的面积为2ab时，求椭圆的离心率；‎ ‎(2)当b＝，2|AB|＝|AC|时，求k的取值范围. ‎ ‎【导学号：79140310】‎ ‎[解]　(1)直线AB的方程为y＝x＋b，‎ 直线AC的方程为y＝－(x＋a)，‎ 令x＝0，y＝－.‎ S△ABD＝··a＝2ab，‎ 于是a2＋b2＝4b2，a2＝3b2，e＝＝＝.‎ ‎(2)直线AB的方程为y＝k(x＋a)，‎ 联立 整理得(3＋a2k2)x2＋2a3k2x＋a4k2－3a2＝0，‎ 解得x＝－a或x＝－，‎ 所以|AB|＝ ‎ ＝·，‎ 同理|AC|＝·，‎ 因为2|AB|＝|AC|，‎ 所以2··＝·，‎ 整理得a2＝.‎ 因为椭圆E的焦点在x轴，‎ 所以a2＞3，即＞3，‎ 整理得＜0，解得＜k＜2.‎ ‎ ‎ 最值问题 ‎　(2017·浙江高考)如图893，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.‎ 图893‎ ‎(1)求直线AP斜率的取值范围；‎ ‎(2)求|PA|·|PQ|的最大值．‎ ‎[解]　(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，‎ 因为－