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  • 2021-06-16 发布

高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结(供参考)

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1. 均值不等式法 例 1 设 .)1(3221  nnS n  求证 . 2 )1( 2 )1( 2   nSnn n 例 2 已知函数 bxa xf 21 1)(   ,若 5 4)1( f ,且 )(xf 在[0,1]上的最小值为 2 1 ,求证: . 2 1 2 1)()2()1( 1  nnnfff  例 3 求证 ),1(2 2 1 321 NnnnCCCC n n nnnn    . 例 4 已知 2 2 2 1 2 1na a a    , 2 2 2 1 2 1nx x x    ,求证: nnxaxaxa  2211 ≤1. 2.利用有用结论 例 5 求证 .12) 12 11() 5 11)( 3 11)(11(    n n  例 6 已知函数 .2,,10,)1(321lg)(     nNna n nanxf xxxx 给定  求证: )0)((2)2(  xxfxf 对任意  Nn 且 2n 恒成立。 例 7 已知 1 1 2 1 11, (1 ) . 2n n na a a n n     )(I 用数学归纳法证明 2( 2)na n  ; )(II 对 ln(1 )x x  对 0x  都成立,证明 2 na e (无理数 2.71828e  ) 例 8 已知不等式 2 1 1 1 1 [log ], , 2 2 3 2 n n N n n       。 2[log ]n 表示不超过 n2log 的最大整数。设正数数列 }{ na 满足: .2,),0( 1 1 1      n an na abba n n n 求证 .3, ][log2 2 2    n nb ban 再如:设函数 ( ) xf x e x  。 (Ⅰ)求函数 ( )f x 最小值;(Ⅱ)求证:对于任意 n N  ,有 1 ( ) . 1 n n k k e n e   例 9 设 n n n a )11(  ,求证:数列 }{ na 单调递增且 .4na 3. 部分放缩 例 10 设  ana 2 11 1 1 , 2 3a a a n    ,求证: .2na 例 11 设数列 na 满足    Nnnaaa nnn 12 1 ,当 31 a 时证明对所有 ,1n 有: 2)(  nai n ; 2 1 1 1 1 1 1 1)( 21       naaa ii  . 4 . 添减项放缩 例 12 设 Nnn  ,1 ,求证 )2)(1( 8) 3 2(   nn n . 例 13 设数列 }{ na 满足 ).,2,1(1,2 11   n a aaa n nn 证明 12  nan 对一切正整数 n 成立; 5 利用单调性放缩: 构造函数 例 14 已知函数 2 2 3)( xaxxf  的最大值不大于 6 1 ,又当 ] 2 1, 4 1[x 时 . 8 1)( xf (Ⅰ)求 a 的值;(Ⅱ)设    Nnafaa nn ),(, 2 10 11 ,证明 . 1 1   n an 例 15 数列 nx 由下列条件确定: 01  ax , , 2 1 1        n nn x axx Nn . (I) 证明:对 2n 总有 axn  ;(II) 证明:对 2n 总有 1 nn xx 6 . 换元放缩 例 16 求证 ).2,( 1 211     nNn n nn 例 17 设 1a , Nnn  ,2 ,求证 4 )1( 22   ana n . 7 转化为加强命题放缩 例 18 设 10  a ,定义 a a aaa n n   1,1 11 ,求证:对一切正整数 n有 .1na 例 19 数列 nx 满足 ., 2 1 2 2 11 n x xxx n nn   证明 .10012001 x 例 20 已知数列{an}满足:a1= 3 2 ,且 an= n 1 n 1 3na n 2 n N 2a n 1  - - ( , ) + - (1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对一切正整数 n 有 a1a2……an2n! 8. 分项讨论 例 21 已知数列 }{ na 的前 n 项和 nS 满足 .1,)1(2  naS n nn (Ⅰ)写出数列 }{ na 的前 3项 321 ,, aaa ; (Ⅱ)求数列 }{ na 的通项公式; (Ⅲ)证明:对任意的整数 4m ,有 8 7111 54  maaa  . 9. 借助数学归纳法 例 22(Ⅰ)设函数 )10( )1(log)1(log)( 22  xxxxxxf ,求 )(xf 的最小值; (Ⅱ)设正数 npppp 2321 ,,,,  满足 12321  npppp  ,求证: npppppppp nn  222323222121 loglogloglog  10. 构造辅助函数法 例 23 已知 ( )f x = 2ln243 xx  ,数列 na 满足    *1 1 2 ,0 2 1 1 Nnafa n an   (1)求 ( )f x 在     0 2 1, 上的最大值和最小值; (2)证明: 1 0 2 na   ; (3)判断 na 与 1( )na n N    的大小,并说明理由. 例 24 已知数列{ }na 的首项 1 3 5 a  , 1 3 2 1 n n n aa a   , 1 2n  ,, . (Ⅰ)求{ }na 的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的 0x  , 2 1 1 2 1 (1 ) 3n na x x x        ≥ , 1 2n  ,, ; (Ⅲ)证明: 2 1 2 1n na a a n       . 例 25 已知函数 f(x)=x 2 -1(x>0),设曲线 y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与 x轴的交点为(xn+1,0)(n∈N * ). (Ⅰ) 用 xn表示 xn+1; (Ⅱ)求使不等式 1n nx x  对一切正整数 n 都成立的充要条件,并说明理由; (Ⅲ)若 x1=2,求证: . 3 12 1 1 1 1 1 1 21        n nxxx  例 1 解析 此数列的通项为 .,,2,1,)1( nkkkak  2 1 2 1)1(    kkkkkk , ) 2 1( 11    n k n n k kSk ,即 . 2 )1( 22 )1( 2 )1( 2     nnnnSnn n 注:①应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式 2 baab   ,若放成 1)1(  kkk 则 得 2 )1( 2 )3)(1()1( 2 1      nnnkS n k n ,就放过“度”了! ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里 n aa n aa aa aa n nnn n n 22 11 1 1 11        ,其中, 3,2n 等的各式及其变式公式均可供选用。 例 2 [简析] 4 1 1( ) 1 1 ( 0) 1 4 1 4 2 2 x x x xf x x         1(1) ( ) (1 ) 2 2 f f n       2 1 1(1 ) (1 ) 2 2 2 2 n        1 1 1 1 1 1 1(1 ) . 4 2 2 2 2n nn n         例 3 简析 不等式左边 1 2 3 n n n n nC C C C    = 12 222112  nn  n nn 12 2221   = 2 1 2   n n ,故原结论成立. 例 4 【解析】使用均值不等式即可:因为 2 2 ( , ) 2 x yxy x y R   ,所以有 2 22 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 n n n n a xa x a xa x a x a x           2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1. 2 2 2 2 n na a a x x x             其实,上述证明完全可以改述成求 nnxaxaxa  2211 的最大值。本题还可以推广为: 若 2 2 2 1 2 n pa a a    , 2 2 2 1 2 ( , 0) n q p qx x x     , 试求 nnxaxaxa  2211 的最大值。 请分析下述求法:因为 2 2 ( , ) 2 x yxy x y R   ,所以有 2 22 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 n n n n a xa x a xa x a x a x           2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . 2 2 2 n na a a x x x p q            故 nnxaxaxa  2211 的最大值为 2 p q ,且此时有 ( 1, 2, , )k ka x k n   。 上述解题过程貌似完美,其实细细推敲,是大有问题的:取“=”的条件是 ( 1, 2, , )k ka x k n   ,即必须有 2 2 1 1 n n k k k k a x     , 即只有 p=q 时才成立!那么, p q 呢?其实例 6的方法照样可用,只需做稍稍变形转化: 2 22 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1, 1, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n p p p q q q a xa a x x         则有 1 1 2 2 1 1 2 2 n n n n a x a x a xa x a x a x pq pq         2 22 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 [( ) ( )] 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n npq pq p p p q q q a xa a x x          于是, 1 1 2 2 max( )n na x a x a x pq    ,当且仅当 ( 1, 2, , ).k ka x k n p q    结合其结构特征,还可构造向量求解:设 1 2 1 2( , , , ), ( , , , )n nm a a a n x x x      ,则 由 | | | || |m n m n      立刻得解: 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2| | .n n n na x a x a x a a a x x x pq             且取“=”的充要条件是: 1 2 1 2 n n xx x a a a   。 2.利用有用结论 例 5 简析 本题可以利用的有用结论主要有: 法 1 利用假分数的一个性质 )0,0(     mab ma mb a b 可得    12 2 5 6 3 4 1 2 n n    n n 2 12 6 7 4 5 2 3  )12( 2 12 6 5 4 3 2 1    n n n  12) 12 2 5 6 3 4 1 2( 2    n n n 即 .12) 12 11() 5 11)( 3 11)(11(    n n  法 2 利用贝努利不等式 )0,1,2,(1)1(   xxnNnnxx n 的一个特例 12 121) 12 11( 2     kk (此处)得 12 1,2   k xn ,          ) 12 11( 12 12 12 11 1 kk k k n k .12 12 12 1      n k kn k 例 6 [简析] 高考标准用数学归纳法证明,;这里给出运用柯西(Cauchy)不等式    n i i n i i n i ii baba 1 2 1 22 1 ])([ 的简捷证 法:  )(2)2( xfxf   n nan xxxx 2222 )1(321lg  n nan xxxx  )1(321lg2  2])1(321[ xxxx nan   ])1(321[ 2222 xxxx nann   而由Cauchy不等式得 2))1(1312111( xxxx nan    )11( 22  ])1(321[ 22222 xxxx nan   ( 0x 时取等号)  ])1(321[ 2222 xxxx nann   ( 10  a ),得证! 例 7 [解析] )(II 结合第 )(I 问结论及所给题设条件 ln(1 )x x  ( 0x  )的结构特征,可得放缩思路:    nnn a nn a ) 2 111( 21 1 2 1 1ln ln(1 ) ln 2n nna a n n      nn nn a 2 11ln 2    。 于是 nnn nn aa 2 11lnln 21    , .2 2 112 2 11 ) 2 1(111lnln) 2 11()ln(ln 1 12 1 1 1 1 1              n n ni n i ii n i nn aa ii aa 即 .2lnln 2 1 eaaa nn  【注】:题目所给条件 ln(1 )x x  ( 0x  )为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还可 用结论 )2)(1(2  nnnn 来放缩:      )1( 1) )1( 11(1 nn a nn a nn 1 11 (1 )( 1) ( 1)n na a n n      1 1 1ln( 1) ln( 1) ln(1 ) . ( 1) ( 1)n na a n n n n         111)1ln()1ln( )1( 1)]1ln()1ln([ 2 1 2 1 1 2          n aa ii aa n n i ii n i , 即 .133ln1)1ln( 2eeaa nn  例 8 【简析】 当 2n 时 naa an aan na a nn n nn n n 111 11 1 1 1          ,即 naa nn 111 1   .1)11( 212 kaa n kkk n k    于是当 3n 时有  ][log 2 111 2 1 n aan . ][log2 2 2 nb ban   注:本 题涉及的和 式 n 1 3 1 2 1   为调和 级数,是发 散的,不能 求和;但是 可以利用所 给题设结论 ][log 2 11 3 1 2 1 2 nn   来进行有效地放缩; 再如:【解析】(Ⅰ)1;(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得 1xe x  ,对 x>-1 有 (1 )n nxx e  ,利用此结论进行巧妙赋值:取 1, 1,2, ,kx k n n     ,则有 1 2 1 0 11 ( )1 2 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 11 1 n n n n n nn ee n n n e e e e e e e                   即对于任意 n N  ,有 1 ( ) . 1 n n k k e n e   例 9 [解析] 引入一个结论:若 0 ab 则 )()1(11 abbnab nnn   ,(可通过构造一个等比数列求和放缩来证明, 略) 整理上式得 ].)1[(1 nbanba nn  (),以 n b n a 11, 1 11    代入()式得    1) 1 11( n n .)11( n n  。即 }{ na 单调递增。以 n ba 2 11,1  代入()式得 .4) 2 11( 2 1) 2 11(1 2  nn nn 。此式对一切正整数 n都成立,即对一切偶数有 4)11(  n n ,又因为数列 }{ na 单调递增,所以对一切正整数 n有 4)11(  n n 。 注:上述不等式可加强为 .3)11(2  n n 简证如下: 利用二项展开式进行部分放缩: .1111)11( 2 21 n n nnn n n n C n C n C n a   只取前两项有 .211 1  n Ca nn 对通项作如下放缩: . 2 1 221 1 ! 111 ! 11 1       kk k n kn kn n n n n kn C   故有 .3 2/11 )2/1(1 2 12 2 1 2 1 2 111 1 12       n nna  3. 部分放缩 例 10 [解析]  ana 2 11 .1 3 1 2 111 3 1 222 nnaa   又 2),1(2  kkkkkk (只将其中一个 k 变成 1k ,进行部分放缩), kkkkk 1 1 1 )1( 11 2      , 于是 )1 1 1() 3 1 2 1() 2 11(11 3 1 2 11 222 nnn an     .212  n 例 11 【解析】 )(i 用数学归纳法:当 1n 时显然成立,假设当 kn  时成立即 2 kak , 则当 1 kn 时 312)2(1)2(1)(1  kkkkakaaa kkkk ,成立。 )(ii 利用上述部分放缩的结论 121  kk aa 来放缩通项,可得  )1(211 kk aa 1 1 1 11 2 ( 1) 2 4 2k k k ka a         1 1 1 1 2kka    1 1 1 11 ( )1 1 1 12 .11 2 4 21 2 n n n i i iia              【注】上述证明 )(i 用到部分放缩,当然根据不等式的性质也可以整体放缩: 31)2)(2(1  kkkkak ; 证明 )(ii 就直接使用了部分放缩的结论 121  kk aa 。 例 12 [简析] 观察 n) 3 2( 的结构,注意到 nn ) 2 11() 2 3(  ,展开得 1 2 3 2 3 1 1 1 1(1 ) 1 2 2 2 2 n n n nC C C         ( 1) ( 1)( 2) 61 2 8 8 n n n n n        即 8 )2)(1() 2 11(   nnn ,得证. 例 13[简析] 本题有多种放缩证明方法,这里我们对(Ⅰ)进行减项放缩,有 法 1 用数学归纳法(只考虑第二步) 1)1(221212 2 2 1 2  kk a aa k kk ; 法 2 212 2 2 2 1 2  n n nn a a aa .1,,2,1,222 1   nkaa kk  则  1222)1(2 22 1 2 nnanaa nn 12  nan 例 14 [解析] (Ⅰ) a =1 ;(Ⅱ)由 ),(1 nn afa  得 6 1 6 1) 3 1( 2 3 2 3 22 1  nnnn aaaa 且 .0na 用 数 学 归 纳 法 ( 只 看 第 二 步 ): )(1 kk afa  在 ) 1 1,0(   k ak 是 增 函 数 , 则 得 . 2 1) 1 1( 2 3 1 1) 1 1()( 2 1         kkkk fafa kk 例 15 [解析] 构造函数 , 2 1)(        x axxf 易知 )(xf 在 ),[ a 是增函数。当 1 kn 时        k kk x axx 2 1 1 在 ),[ a 递增,故 .)(1 aafxk  。对(II)有  1nn xx        n n x ax 2 1 ,构造函数 , 2 1)(        x axxf 它在 ),[ a 上是增函数,故有  1nn xx        n n x ax 2 1 0)( af ,得证。 【注】①数列 nx 单调递减有下界因而有极限: ).(  naan ②        x axxf 2 1)( 是递推数列        n nn x axx 2 1 1 的母函数,研究其单调性对此数列本质属性具有重要的指导作用。 例 16 [简析] 令 n n n hna  1 ,这里 ),1(0  nhn 则有 )1( 1 20 2 )1()1( 2      n n hhnnhn nn n n ,从而有 . 1 2111   n ha nn 注:通过换元化为幂的形式,为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用。 例 17 [简析] 令 1 ba ,则 0b , ba 1 ,应用二项式定理进行部分放缩有 22222110 2 )1()1( bnnbCCbCbCbCba n n n n n n n n n n nn     , 注意到 Nnn  ,2 ,则 42 )1( 22 2 bnbnn   (证明从略),因此 4 )1( 22   anan . 7 转化为加强命题放缩 例 18 [解析] 用数学归纳法推 1 kn 时的结论 11 na ,仅用归纳假设 1ka 及递推式 a a a k k  1 1 是难以证出的,因为 ka 出现在分母上!可以逆向考虑: . 1 111 1 a aa a a k k k   故将原问题转化为证明其加强命题:对一切正整数 n有 . 1 11 a an   (证略) 例 19 [简析] 将问题一般化:先证明其加强命题 . 2 nxn  用数学归纳法,只考虑第二步: . 2 1 4 1 2 ) 2 (1 2 2 22 2 1   kkk k k k xxx k kk 。因此对一切  Nx 有 . 2 nxn  例 20 [解析]:(1)将条件变为:1- n n a = n 1 1 n 11 3 a - - ( - ),因此{1- n n a }为一个等比数列,其首项为 1- 1 1 a = 1 3 ,公比 1 3 , 从而 1- n n a = n 1 3 ,据此得 an= n n n 3 3 1  - (n1)……1 (2)证:据 1得,a1a2…an= 2 n n 1 1 11 1 1 3 3 3  ! ( - )( - )…( - ) ,为证 a1a2……an2n!, 只要证 nN时有 2 n 1 1 11 1 1 3 3 3 ( - )( - )…( - ) 1 2 ……2 显然,左端每个因式都是正数,先证明一个加强不等式: 对每个 nN,有 2 n 1 1 11 1 1 3 3 3 ( - )( - )…( - )1-( 2 n 1 1 1 3 3 3 + +…+ )……3 (用数学归纳法,证略)利用 3得 2 n 1 1 11 1 1 3 3 3 ( - )( - )…( - )1-( 2 n 1 1 1 3 3 3 + +…+ ) =1- n1 11 3 3 11 3 〔 -( )〕 - =1- n n1 1 1 1 11 2 3 2 2 3 〔 -( )〕= + ( )  1 2 。故 2式成立,从而结论成立。 8. 分项讨论 例 21 [简析] (Ⅰ)略,(Ⅱ)  .)1(2 3 2 12   nn na ;(Ⅲ)由于通项中含有 n)1( ,很难直接放缩,考虑分项讨论: 当 3n 且 n为奇数时 1222 22 2 3) 12 1 12 1( 2 311 2132 12 12 1            nnn nn nn nn aa ) 2 1 2 1( 2 3 2 22 2 3 1232 12      nnn nn (减项放缩), 于是, ①当 4m 且m为偶数时,  maaa 111 54  )11()11(1 1654 mm aaaaa    . 8 7 8 3 2 1) 2 11( 4 1 2 3 2 1) 2 1 2 1 2 1( 2 3 2 1 4243   mm ②当 4m 且m为奇数时,  maaa 111 54  154 1111   mm aaaa  (添项放缩) 由①知 . 8 71111 154  mm aaaa  。由①②得证。 9. 借助数学归纳法 例 22 [解析] 科学背景:直接与凸函数有关!(Ⅰ)略,只证(Ⅱ): 考虑试题的编拟初衷,是为了考查数学归纳法,于是借鉴詹森不等式的证明思路有: 法 1(用数学归纳法) ( i ) 当 n=1 时 , 由 ( Ⅰ ) 知 命 题 成 立 。( ii ) 假 定 当 kn  时 命 题 成 立 , 即 若 正 数 1,,, 221221  kk pppppp  满足 , 则 .logloglog 222222121 kpppppp kk   当 1 kn 时,若正数 ,1,,, 11 221221   kk pppppp  满足 (*) 为利用归纳假设,将(*)式左边均分成前后两段: 令 .,,,, 2 2 2 2 1 1221 x p q x pq x pqpppx k kk   则 kqqq 221 ,,,  为正数,且 .1221  kqqq  由归纳假定知 .logloglog 222222121 kqqpppq kk   kkkk qqqqqqxpppppp 222222121222222121 logloglog(logloglog   ,log)()log 22 xxkxx  (1) 同理,由 xppp kkk   1122212  得 11 22212212 loglog   kkkk pppp  ).1(log)1())(1( 2 xxkx  (2) 综合(1)(2)两式 11 222222121 logloglog  kk pppppp  ).1()1(log)1(log))](1([ 22  kxxxxkxx 即当 1 kn 时命题也成立. 根据(i)、(ii)可知对一切正整数 n 命题成立. 法 2 构造函数 那么常数 )),,0(,0)((log)(log)( 22 cxcxcxcxxxg  ],log)1(log)1(log[)( 222 c c x c x c x c xcxg  利用(Ⅰ)知,当 .)(,) 2 ( 2 1 取得最小值函数时即 xgcx c x  对任意 都有,0,0 21  xx 2 log 2 2loglog 21 2 21 222121 xxxxxxxx   ]1)()[log( 21221  xxxx ② (②式是比①式更强的结果). 下面用数学归纳法证明结论. (i)当 n=1 时,由(I)知命题成立. (ii)设当 n=k 时命题成立,即若正数 有满足 ,1,,, 221221  kk pppppp  1111 11 22212212222121 221221 222222121 loglogloglog .1,,,,1 .logloglog       kkkk kk kk ppppppppH ppppppkn kpppppp    令 满足时当 对(*)式的连续两项进行两两结合变成 k2 项后使用归纳假设,并充分利用②式有 ,1)()( ],1)()[log(]1)()[log( 11 1111 21221 212221221221       kk kkkk pppp ppppppppH   因为 由归纳法假设 ,)(log)()(log)( 1111 212221221221 kpppppppp kkkk     得 ).1()( 11 21221    kppppkH kk 即当 1 kn 时命题也成立. 所以对一切正整数 n 命题成立. 【评注】(1)式②也可以直接使用函数 xxxg 2log)(  下凸用(Ⅰ)中结论得到; (2)为利用归纳假设,也可对(*)式进行对应结合: iii nppq  12 而变成 k2 项; (3)本题用凸函数知识分析如下: 先介绍詹森(jensen)不等式:若 ( )f x 为 ],[ ba 上的下凸函数,则 对任意 1),,,1(0],,[ 1  nii nibax   ,有 ).()()( 1111 nnnn xfxfxxf    特别地,若 ni 1  ,则有 )].()([1)( 1 1 n n xfxf nn xxf    若为上凸函数则改“”为“”。 由 )(xg 为下凸函数 得 ) 2 ( 2 )()()( 221221 nn nn ppp g pgpgpg     ,又 12321  npppp  , 所以  nn pppppppp 222323222121 loglogloglog  .) 2 1(2 ng n n  (4)本题可作推广如下:若正数 nppp ,,, 21  满足 121  nppp  ,则 .lnlnlnln 2211 npppppp nn   。简证:构造函数 1ln)(  xxxxf , 易得 .1ln0)1()(  xxxfxf  1)ln()( iii npnpnp .1)ln( n pnpp iii  故 .0lnln01])ln([ 11    i n i ii n i ii ppnpnpp 10. 构造辅助函数法 例 23 【解析】(1) 求导可得 ( )f x 在 1- ,0 2      上是增函数,    max min 5f =2;f -ln2. 2 x x  (2)(数学归纳法证明)①当 1n  时,由已知成立;②假设当 n k 时命题成立,即 1 0 2 ka   成立, 那 么 当 1n k  时 , 由 ( 1 ) 得 11 52 ( ) ( ln 2,2) 2 k k a f a    , 1 13 52 ln 2 2 2 2 2 ka       , 1 1 1 1 2 ka    , 1 1 0 2 ka    ,这就是说 1n k  时命题成立。由①、②知,命题对于 n N  都成立 (3) 由  11 1 12 2 2n n na a a nf a     , 构造辅助函数     12  xxfxg ,得   4ln4212ln2)()(' 1 xxxxfxg   ,当 1 0 2 x   时, 2 12 1, 4 1. 2 2 x x    故 2 11 2 4 1 0 2 2 x x      ,所以 )(' xg <0 得 g(x)在     0 2 1- , 是减函数, ∴g(x)>g(0)=f(0)-2=0,∴   na naf  12 >0,即 nn aa   11 22 1 >0,得 1na > na 。 例 24 【解析】(Ⅰ) 3 3 2 n n na   .(Ⅱ)提供如下两种思路: 思路 1 观察式子右边特征,按 1 1 x 为元进行配方,确定其最大值。 法 1 由(Ⅰ)知 3 0 3 2 n n na    , 2 1 1 2 1 (1 ) 3n x x x        2 1 1 2 1 1 1 (1 ) 3n x x x           2 1 1 1 (1 ) 1 (1 ) n x x x a           2 1 1 2 (1 ) 1na x x       21 1 1 n n n a a a x        na≤ ,原不等式成立. 思路 2 将右边看成是关于 x的函数,通过求导研究其最值来解决: 法 2 设 2 1 1 2( ) 1 (1 ) 3n f x x x x         ,则 2 2 2 2 2 2(1 ) 2(1 ) 2 1 3 3( ) (1 ) (1 ) (1 ) n nx x x x f x x x x                         0x  ,当 2 3n x  时, ( ) 0f x  ;当 2 3n x  时, ( ) 0f x  , 当 2 3n x  时, ( )f x 取得最大值 2 1 23 1 3 nn n f a        .原不等式成立. (Ⅲ)思路 1 考虑本题是递进式设问,利用(Ⅱ)的结论来探究解题思路: 由(Ⅱ)知,对任意的 0x  ,有 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 (1 ) 3 1 (1 ) 3na a a x x x x x x                      ≥ 2 1 1 2 1 (1 ) 3n x x x           2 2 1 2 2 2 1 (1 ) 3 3 3 n n nx x x             .取 2 2 11 1 2 2 2 1 13 3 1 13 3 3 31 3 n n nx n nn                         , 则 2 2 1 2 11 1 111 1 33 n nn n n na a a nn n               ≥ .原不等式成立. 【注】本解法的着眼点是对上述不等式中的 x进行巧妙赋值,当然,赋值方法不止一种,如:还可令 1x n  ,得 2 2 2 1 2 2 2 1 1 111 11 (1 ) 3 3 3 31 (1 ) n n n nnx n x x n n n                        2 2 2 1 1 .11 3 1(1 ) n n n n n n       思路 2 所证不等式是与正整数 n有关的命题,能否直接用数学归纳法给予证明?尝试: 1 2 2 1 2 3 3 3 . 3 2 3 2 3 2 1 n n n n           (1)当 1n  时 1 2 1 3 3 1 1 3 2 5 2 1 1      ,成立; (2)假设命题对 n k 成立,即 1 2 2 1 2 3 3 3 . 3 2 3 2 3 2 1 k k k k          则当 1n k  时,有 1 2 1 2 1 1 2 1 1 3 3 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 1 3 2 k k k k k k k k                 , 只要证明 2 1 2 1 3 ( 1) 1 3 2 2 k k k k k k         ;即证 1 2 2 3 2 2 1 2 3 ( 1) ( 1) ( 2) 3 1 3 2 2 1 ( 2)( 1) 3 2 k k k k k k k k k k k k k k k                    , 即证 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 2 3 2 1 2 1 3 2 2( 3 2) 3 2 3 2 3 2 3 2 k k k k k k k k k k k k                        用二项式定理(展开式部分项)证明,再验证前几项即可。如下证明是否正确,请分析:易于证明 3 3 2 1 n n n na n     对任意 n N  成立;于是 23 . 3 2 1 1 n n n n na n n         【注】上述证明是错误的!因为: ( ) 1 kf k k   是递增的,不能逐步“缩小”到所需要的结论。可修改如下: 考虑 2 1 n n  是某数列{ }nb 的前 n项和,则 2 2 2 2 ( 1) 1 1n n n n nb n n n n         , 只要证明 2 2 2 3 1 3 2 2 2. 3 2 k k k k k k ka b k k k k            思路 3 深入观察所证不等式的结构特征, 利用均值不等式可得如下妙证: 由 1 3 2 1 n n n aa a   取倒数易得: 3 0 3 2 n n na    ,用 n 项的均值不等式: 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 21 1 1 3 3 3 n n n a a a n n n a a a                  1 1 1 1[1 ( ) ] 12 3 3 13 1 3 n n n n n nn n         , 2 1 2 . 1n na a a n        例 25 【解析】(Ⅰ) . 2 12 1 n n n x x x   (Ⅱ)使不等式 1n nx x  对一切正整数 n 都成立的充要条件是 x1≥1. (Ⅲ) 基本思路:寻求合适的放缩途径。 探索 1 着眼于通项特征,结合求证式特点,尝试进行递推放缩:     n n n x x x 2 )1( 1 2 1 )2( 1 2 )1( 2)1(2 )1( 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1              n xx x x x x nn n n n n 即 )2( 1 2 1 1 1      n xx nn 。于是由此递推放缩式逐步放缩得 . 3 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1           nn nnn xxxx  探索 2 从求证式特征尝试分析:结论式可作如下变形: . 3 12)2221( 3 1 1 1 1 1 1 1 12 21         n n nxxx  逆向思考,猜想应有: . 3 2 1 1 1   n nx (用数 学归纳法证明,略)。 探索 3 探索过渡“桥”,寻求证明加强不等式:由(2)知 xn≥1,由此得 )2( 2 1 1 1   n xn 。有 . 2 1 3 1 1 1 1 1 1 1 21        n xxx n  尝试证明 3 12 2 1 3 1     nn .132 1   nn 证法 1(数学归纳法,略); 法 2 (用二项展开式部分项):当 n≥2时 2 n =(1+1) n ≥ 2 22 210   nnCCC nnn .0 2 )1( 2 132 2 132 22        nnnnnn 此题还可发现一些放缩方法,如: )( 1 1 1 1 1 1 21       Nnn xxx n  。(每一项都小于 1),而再证 3 12   n n 即 132  nn ,则需要归纳出条 件 n≥4.(前 4 项验证即可) 技巧积累:(1)             12 1 12 12 14 4 4 41 222 nnnnn (2) )1( 1 )1( 1 )1()1( 21 21 1        nnnnnnnCC nn (3) )2(1 1 1 )1( 1 ! 11 )!(! !1 1        r rrrrrnrnr n n CT rr r nr (4) 2 5 )1( 1 23 1 12 111)11(        nnn n  (5) nnnn 2 1 12 1 )12(2 1     (6) nn n   2 2 1 (7) )1(21)1(2  nn n nn (8) nnn nnnn 2)32( 1 2)12( 1 2 1 32 1 12 2 1              (9)                      knnkknnnkknknk 1 11 1 1 )1( 1, 1 11 1 1 )1( 1 (10) !)1( 1 ! 1 !)1(    nnn n (11) 2 1 2 1 2 1212 22)1212(21     nnnn nn n (11) )2( 12 1 12 1 )12)(12( 2 )22)(12( 2 )12)(12( 2 )12( 2 11 1 2               nnnnn n nn n nn n n n (12) 11 1 )1( 1 )1( 1 )1)(1( 111 23                  nnnnnnnnnnnn 1 1 1 1 2 11 1 1 1 1                nnn nn nn (13) 3 2 12 1 3 2122)12(332)13(222 1 n n n nnnnnn    (14) !)2( 1 !)1( 1 )!2()!1(! 2       kkkkk k (15) )2(1 )1( 1   nnn nn (15) 1 11)11)(( 11 2222 2222          ji ji jiji ji ji ji