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- 2021-06-16 发布
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1. 均值不等式法
例 1 设 .)1(3221 nnS n 求证 .
2
)1(
2
)1( 2
nSnn
n
例 2 已知函数 bxa
xf
21
1)(
,若
5
4)1( f ,且 )(xf 在[0,1]上的最小值为
2
1
,求证:
.
2
1
2
1)()2()1( 1 nnnfff
例 3 求证 ),1(2 2
1
321 NnnnCCCC
n
n
nnnn
.
例 4 已知 2 2 2
1 2 1na a a , 2 2 2
1 2 1nx x x ,求证: nnxaxaxa 2211 ≤1.
2.利用有用结论
例 5 求证 .12)
12
11()
5
11)(
3
11)(11(
n
n
例 6 已知函数 .2,,10,)1(321lg)(
nNna
n
nanxf
xxxx
给定
求证: )0)((2)2( xxfxf 对任意
Nn 且 2n 恒成立。
例 7 已知 1 1 2
1 11, (1 ) .
2n n na a a
n n
)(I 用数学归纳法证明 2( 2)na n ;
)(II 对 ln(1 )x x 对 0x 都成立,证明 2
na e (无理数 2.71828e )
例 8 已知不等式 2
1 1 1 1 [log ], , 2
2 3 2
n n N n
n
。 2[log ]n 表示不超过 n2log 的最大整数。设正数数列
}{ na 满足: .2,),0(
1
1
1
n
an
na
abba
n
n
n 求证 .3,
][log2
2
2
n
nb
ban
再如:设函数 ( ) xf x e x 。
(Ⅰ)求函数 ( )f x 最小值;(Ⅱ)求证:对于任意 n N ,有
1
( ) .
1
n
n
k
k e
n e
例 9 设
n
n n
a )11( ,求证:数列 }{ na 单调递增且 .4na
3. 部分放缩
例 10 设 ana 2
11 1 1 , 2
3a a a
n
,求证: .2na
例 11 设数列 na 满足 Nnnaaa nnn 12
1 ,当 31 a 时证明对所有 ,1n 有:
2)( nai n ;
2
1
1
1
1
1
1
1)(
21
naaa
ii .
4 . 添减项放缩
例 12 设 Nnn ,1 ,求证
)2)(1(
8)
3
2(
nn
n
.
例 13 设数列 }{ na 满足 ).,2,1(1,2 11 n
a
aaa
n
nn 证明 12 nan 对一切正整数 n 成立;
5 利用单调性放缩: 构造函数
例 14 已知函数
2
2
3)( xaxxf 的最大值不大于 6
1
,又当 ]
2
1,
4
1[x 时 .
8
1)( xf
(Ⅰ)求 a 的值;(Ⅱ)设
Nnafaa nn ),(,
2
10 11 ,证明 .
1
1
n
an
例 15 数列 nx 由下列条件确定: 01 ax , ,
2
1
1
n
nn x
axx Nn .
(I) 证明:对 2n 总有 axn ;(II) 证明:对 2n 总有 1 nn xx
6 . 换元放缩
例 16 求证 ).2,(
1
211
nNn
n
nn
例 17 设 1a , Nnn ,2 ,求证
4
)1( 22
ana n .
7 转化为加强命题放缩
例 18 设 10 a ,定义 a
a
aaa
n
n
1,1 11 ,求证:对一切正整数 n有 .1na
例 19 数列 nx 满足 .,
2
1
2
2
11 n
x
xxx n
nn 证明 .10012001 x
例 20 已知数列{an}满足:a1=
3
2
,且 an=
n 1
n 1
3na n 2 n N
2a n 1
-
-
( , )
+ -
(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对一切正整数 n 有 a1a2……an2n!
8. 分项讨论
例 21 已知数列 }{ na 的前 n 项和 nS 满足 .1,)1(2 naS n
nn
(Ⅰ)写出数列 }{ na 的前 3项 321 ,, aaa ; (Ⅱ)求数列 }{ na 的通项公式;
(Ⅲ)证明:对任意的整数 4m ,有
8
7111
54
maaa
.
9. 借助数学归纳法
例 22(Ⅰ)设函数 )10( )1(log)1(log)( 22 xxxxxxf ,求 )(xf 的最小值;
(Ⅱ)设正数 npppp 2321 ,,,, 满足 12321 npppp ,求证:
npppppppp nn
222323222121 loglogloglog
10. 构造辅助函数法
例 23 已知 ( )f x = 2ln243 xx ,数列 na 满足 *1
1 2 ,0
2
1
1 Nnafa n
an
(1)求 ( )f x 在
0
2
1, 上的最大值和最小值; (2)证明:
1 0
2 na ;
(3)判断 na 与 1( )na n N
的大小,并说明理由.
例 24 已知数列{ }na 的首项 1
3
5
a , 1
3
2 1
n
n
n
aa
a
, 1 2n ,, .
(Ⅰ)求{ }na 的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的 0x ,
2
1 1 2
1 (1 ) 3n na x
x x
≥ , 1 2n ,, ;
(Ⅲ)证明:
2
1 2 1n
na a a
n
.
例 25 已知函数 f(x)=x
2
-1(x>0),设曲线 y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与 x轴的交点为(xn+1,0)(n∈N
*
).
(Ⅰ) 用 xn表示 xn+1; (Ⅱ)求使不等式 1n nx x 对一切正整数 n 都成立的充要条件,并说明理由;
(Ⅲ)若 x1=2,求证: .
3
12
1
1
1
1
1
1
21
n
nxxx
例 1 解析 此数列的通项为 .,,2,1,)1( nkkkak
2
1
2
1)1(
kkkkkk ,
)
2
1(
11
n
k
n
n
k
kSk ,即 .
2
)1(
22
)1(
2
)1( 2
nnnnSnn
n
注:①应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式
2
baab
,若放成 1)1( kkk 则
得
2
)1(
2
)3)(1()1(
2
1
nnnkS
n
k
n ,就放过“度”了!
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里
n
aa
n
aa
aa
aa
n nnn
n
n
22
11
1
1
11
,其中, 3,2n 等的各式及其变式公式均可供选用。
例 2 [简析]
4 1 1( ) 1 1 ( 0)
1 4 1 4 2 2
x
x x xf x x
1(1) ( ) (1 )
2 2
f f n
2
1 1(1 ) (1 )
2 2 2 2 n
1 1
1 1 1 1 1(1 ) .
4 2 2 2 2n nn n
例 3 简析 不等式左边
1 2 3 n
n n n nC C C C =
12 222112 nn
n nn 12 2221 =
2
1
2
n
n ,故原结论成立.
例 4 【解析】使用均值不等式即可:因为
2 2
( , )
2
x yxy x y R
,所以有
2 22 2 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2 2 2 2
n n
n n
a xa x a xa x a x a x
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 1.
2 2 2 2
n na a a x x x
其实,上述证明完全可以改述成求 nnxaxaxa 2211 的最大值。本题还可以推广为:
若
2 2 2
1 2 n
pa a a ,
2 2 2
1 2
( , 0)
n
q p qx x x , 试求 nnxaxaxa 2211 的最大值。
请分析下述求法:因为
2 2
( , )
2
x yxy x y R
,所以有
2 22 2 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2 2 2 2
n n
n n
a xa x a xa x a x a x
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 .
2 2 2
n na a a x x x p q
故 nnxaxaxa 2211 的最大值为 2
p q
,且此时有 ( 1, 2, , )k ka x k n 。
上述解题过程貌似完美,其实细细推敲,是大有问题的:取“=”的条件是 ( 1, 2, , )k ka x k n ,即必须有
2 2
1 1
n n
k k
k k
a x
,
即只有 p=q 时才成立!那么, p q 呢?其实例 6的方法照样可用,只需做稍稍变形转化:
2 22 2 2 2
1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1, 1,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
p p p q q q
a xa a x x
则有
1 1 2 2
1 1 2 2
n n
n n
a x a x a xa x a x a x pq
pq
2 22 2 2 2
1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
[( ) ( )]
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n npq
pq
p p p q q q
a xa a x x
于是, 1 1 2 2 max( )n na x a x a x pq ,当且仅当
( 1, 2, , ).k ka x k n
p q
结合其结构特征,还可构造向量求解:设 1 2 1 2( , , , ), ( , , , )n nm a a a n x x x
,则
由 | | | || |m n m n
立刻得解:
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2| | .n n n na x a x a x a a a x x x pq
且取“=”的充要条件是:
1 2
1 2
n
n
xx x
a a a
。
2.利用有用结论
例 5 简析 本题可以利用的有用结论主要有:
法 1 利用假分数的一个性质 )0,0(
mab
ma
mb
a
b
可得
12
2
5
6
3
4
1
2
n
n
n
n
2
12
6
7
4
5
2
3 )12(
2
12
6
5
4
3
2
1
n
n
n 12)
12
2
5
6
3
4
1
2( 2
n
n
n
即 .12)
12
11()
5
11)(
3
11)(11(
n
n
法 2 利用贝努利不等式 )0,1,2,(1)1( xxnNnnxx n
的一个特例
12
121)
12
11( 2
kk
(此处)得
12
1,2
k
xn ,
)
12
11(
12
12
12
11
1 kk
k
k
n
k
.12
12
12
1
n
k
kn
k
例 6 [简析] 高考标准用数学归纳法证明,;这里给出运用柯西(Cauchy)不等式
n
i
i
n
i
i
n
i
ii baba
1
2
1
22
1
])([ 的简捷证
法:
)(2)2( xfxf
n
nan xxxx 2222 )1(321lg
n
nan xxxx )1(321lg2
2])1(321[ xxxx nan ])1(321[ 2222 xxxx nann
而由Cauchy不等式得
2))1(1312111( xxxx nan
)11( 22 ])1(321[ 22222 xxxx nan ( 0x 时取等号)
])1(321[ 2222 xxxx nann ( 10 a ),得证!
例 7 [解析] )(II 结合第 )(I 问结论及所给题设条件 ln(1 )x x ( 0x )的结构特征,可得放缩思路:
nnn a
nn
a )
2
111( 21 1 2
1 1ln ln(1 ) ln
2n nna a
n n
nn nn
a
2
11ln 2
。
于是 nnn nn
aa
2
11lnln 21
,
.2
2
112
2
11
)
2
1(111lnln)
2
11()ln(ln
1
12
1
1
1
1
1
n
n
ni
n
i
ii
n
i nn
aa
ii
aa 即
.2lnln 2
1 eaaa nn
【注】:题目所给条件 ln(1 )x x ( 0x )为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还可
用结论 )2)(1(2 nnnn
来放缩:
)1(
1)
)1(
11(1 nn
a
nn
a nn 1
11 (1 )( 1)
( 1)n na a
n n
1
1 1ln( 1) ln( 1) ln(1 ) .
( 1) ( 1)n na a
n n n n
111)1ln()1ln(
)1(
1)]1ln()1ln([ 2
1
2
1
1
2
n
aa
ii
aa n
n
i
ii
n
i
,
即 .133ln1)1ln( 2eeaa nn
例 8 【简析】 当 2n 时
naa
an
aan
na
a
nn
n
nn
n
n
111
11
1
1
1
,即
naa nn
111
1
.1)11(
212 kaa
n
kkk
n
k
于是当 3n 时有 ][log
2
111
2
1
n
aan
.
][log2
2
2 nb
ban
注:本 题涉及的和 式
n
1
3
1
2
1
为调和 级数,是发 散的,不能 求和;但是 可以利用所 给题设结论
][log
2
11
3
1
2
1
2 nn
来进行有效地放缩;
再如:【解析】(Ⅰ)1;(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得 1xe x ,对 x>-1 有 (1 )n nxx e ,利用此结论进行巧妙赋值:取
1, 1,2, ,kx k n
n
,则有 1 2 1 0
11 ( )1 2 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 11 1
n
n n n n nn ee
n n n e e e e e
e e
即对于任意 n N ,有
1
( ) .
1
n
n
k
k e
n e
例 9 [解析] 引入一个结论:若 0 ab 则 )()1(11 abbnab nnn
,(可通过构造一个等比数列求和放缩来证明,
略)
整理上式得 ].)1[(1 nbanba nn
(),以
n
b
n
a 11,
1
11
代入()式得
1)
1
11( n
n
.)11( n
n
。即 }{ na 单调递增。以
n
ba
2
11,1 代入()式得
.4)
2
11(
2
1)
2
11(1 2 nn
nn
。此式对一切正整数 n都成立,即对一切偶数有 4)11( n
n
,又因为数列 }{ na
单调递增,所以对一切正整数 n有 4)11( n
n
。
注:上述不等式可加强为 .3)11(2 n
n
简证如下: 利用二项展开式进行部分放缩:
.1111)11( 2
21
n
n
nnn
n
n n
C
n
C
n
C
n
a 只取前两项有 .211 1
n
Ca nn 对通项作如下放缩:
.
2
1
221
1
!
111
!
11
1
kk
k
n kn
kn
n
n
n
n
kn
C
故有 .3
2/11
)2/1(1
2
12
2
1
2
1
2
111
1
12
n
nna
3. 部分放缩
例 10 [解析] ana 2
11 .1
3
1
2
111
3
1
222 nnaa
又 2),1(2 kkkkkk (只将其中一个 k 变成 1k ,进行部分放缩),
kkkkk
1
1
1
)1(
11
2
,
于是 )1
1
1()
3
1
2
1()
2
11(11
3
1
2
11 222 nnn
an
.212
n
例 11 【解析】 )(i 用数学归纳法:当 1n 时显然成立,假设当 kn 时成立即 2 kak ,
则当 1 kn 时 312)2(1)2(1)(1 kkkkakaaa kkkk ,成立。
)(ii 利用上述部分放缩的结论 121 kk aa 来放缩通项,可得
)1(211 kk aa 1 1 1
11 2 ( 1) 2 4 2k k k
ka a
1
1 1
1 2kka
1
1 1
11 ( )1 1 1 12 .11 2 4 21
2
n
n n
i
i iia
【注】上述证明 )(i 用到部分放缩,当然根据不等式的性质也可以整体放缩: 31)2)(2(1 kkkkak ;
证明 )(ii 就直接使用了部分放缩的结论 121 kk aa 。
例 12 [简析] 观察
n)
3
2( 的结构,注意到
nn )
2
11()
2
3( ,展开得
1 2 3
2 3
1 1 1 1(1 ) 1
2 2 2 2
n
n n nC C C ( 1) ( 1)( 2) 61
2 8 8
n n n n n
即
8
)2)(1()
2
11(
nnn
,得证.
例 13[简析] 本题有多种放缩证明方法,这里我们对(Ⅰ)进行减项放缩,有
法 1 用数学归纳法(只考虑第二步) 1)1(221212 2
2
1
2 kk
a
aa
k
kk ;
法 2 212 2
2
2
1
2 n
n
nn a
a
aa .1,,2,1,222
1 nkaa kk
则 1222)1(2 22
1
2 nnanaa nn 12 nan
例 14 [解析] (Ⅰ) a =1 ;(Ⅱ)由 ),(1 nn afa 得
6
1
6
1)
3
1(
2
3
2
3 22
1 nnnn aaaa 且 .0na
用 数 学 归 纳 法 ( 只 看 第 二 步 ): )(1 kk afa 在 )
1
1,0(
k
ak 是 增 函 数 , 则 得
.
2
1)
1
1(
2
3
1
1)
1
1()( 2
1
kkkk
fafa kk
例 15 [解析] 构造函数 ,
2
1)(
x
axxf 易知 )(xf 在 ),[ a 是增函数。当 1 kn 时
k
kk x
axx
2
1
1 在
),[ a 递增,故 .)(1 aafxk 。对(II)有 1nn xx
n
n x
ax
2
1
,构造函数 ,
2
1)(
x
axxf
它在 ),[ a 上是增函数,故有 1nn xx
n
n x
ax
2
1 0)( af ,得证。
【注】①数列 nx 单调递减有下界因而有极限: ).( naan
②
x
axxf
2
1)( 是递推数列
n
nn x
axx
2
1
1
的母函数,研究其单调性对此数列本质属性具有重要的指导作用。
例 16 [简析] 令 n
n
n hna 1 ,这里 ),1(0 nhn 则有
)1(
1
20
2
)1()1( 2
n
n
hhnnhn nn
n
n ,从而有 .
1
2111
n
ha nn
注:通过换元化为幂的形式,为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用。
例 17 [简析] 令 1 ba ,则 0b , ba 1 ,应用二项式定理进行部分放缩有
22222110
2
)1()1( bnnbCCbCbCbCba n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
,
注意到 Nnn ,2 ,则
42
)1( 22
2 bnbnn
(证明从略),因此
4
)1( 22
anan .
7 转化为加强命题放缩
例 18 [解析] 用数学归纳法推 1 kn 时的结论 11 na ,仅用归纳假设 1ka 及递推式
a
a
a
k
k
1
1 是难以证出的,因为 ka 出现在分母上!可以逆向考虑: .
1
111
1 a
aa
a
a k
k
k
故将原问题转化为证明其加强命题:对一切正整数 n有 .
1
11
a
an
(证略)
例 19 [简析] 将问题一般化:先证明其加强命题 .
2
nxn 用数学归纳法,只考虑第二步:
.
2
1
4
1
2
)
2
(1
2
2
22
2
1
kkk
k
k
k
xxx k
kk 。因此对一切
Nx 有 .
2
nxn
例 20 [解析]:(1)将条件变为:1-
n
n
a
=
n 1
1 n 11
3 a -
-
( - ),因此{1-
n
n
a
}为一个等比数列,其首项为 1-
1
1
a
=
1
3
,公比
1
3
,
从而 1-
n
n
a
= n
1
3
,据此得 an=
n
n
n 3
3 1
-
(n1)……1
(2)证:据 1得,a1a2…an=
2 n
n
1 1 11 1 1
3 3 3
!
( - )( - )…( - )
,为证 a1a2……an2n!,
只要证 nN时有
2 n
1 1 11 1 1
3 3 3
( - )( - )…( - )
1
2
……2 显然,左端每个因式都是正数,先证明一个加强不等式:
对每个 nN,有 2 n
1 1 11 1 1
3 3 3
( - )( - )…( - )1-(
2 n
1 1 1
3 3 3
+ +…+ )……3
(用数学归纳法,证略)利用 3得
2 n
1 1 11 1 1
3 3 3
( - )( - )…( - )1-(
2 n
1 1 1
3 3 3
+ +…+ )
=1-
n1 11
3 3
11
3
〔 -( )〕
-
=1-
n n1 1 1 1 11
2 3 2 2 3
〔 -( )〕= + ( )
1
2
。故 2式成立,从而结论成立。
8. 分项讨论
例 21 [简析] (Ⅰ)略,(Ⅱ) .)1(2
3
2 12 nn
na ;(Ⅲ)由于通项中含有
n)1( ,很难直接放缩,考虑分项讨论:
当 3n 且 n为奇数时
1222
22
2
3)
12
1
12
1(
2
311
2132
12
12
1
nnn
nn
nn
nn aa
)
2
1
2
1(
2
3
2
22
2
3
1232
12
nnn
nn
(减项放缩),
于是, ①当 4m 且m为偶数时,
maaa
111
54
)11()11(1
1654 mm aaaaa
.
8
7
8
3
2
1)
2
11(
4
1
2
3
2
1)
2
1
2
1
2
1(
2
3
2
1
4243 mm
②当 4m 且m为奇数时,
maaa
111
54
154
1111
mm aaaa
(添项放缩)
由①知 .
8
71111
154
mm aaaa
。由①②得证。
9. 借助数学归纳法
例 22
[解析] 科学背景:直接与凸函数有关!(Ⅰ)略,只证(Ⅱ):
考虑试题的编拟初衷,是为了考查数学归纳法,于是借鉴詹森不等式的证明思路有:
法 1(用数学归纳法)
( i ) 当 n=1 时 , 由 ( Ⅰ ) 知 命 题 成 立 。( ii ) 假 定 当 kn 时 命 题 成 立 , 即 若 正 数
1,,,
221221 kk pppppp 满足 ,
则 .logloglog 222222121 kpppppp kk
当 1 kn 时,若正数 ,1,,, 11 221221 kk pppppp 满足 (*)
为利用归纳假设,将(*)式左边均分成前后两段:
令 .,,,, 2
2
2
2
1
1221 x
p
q
x
pq
x
pqpppx
k
kk
则 kqqq 221 ,,, 为正数,且 .1221 kqqq
由归纳假定知 .logloglog 222222121 kqqpppq kk
kkkk qqqqqqxpppppp 222222121222222121 logloglog(logloglog
,log)()log 22 xxkxx (1)
同理,由 xppp kkk
1122212 得
11 22212212 loglog
kkkk pppp ).1(log)1())(1( 2 xxkx (2)
综合(1)(2)两式 11 222222121 logloglog kk pppppp
).1()1(log)1(log))](1([ 22 kxxxxkxx
即当 1 kn 时命题也成立. 根据(i)、(ii)可知对一切正整数 n 命题成立.
法 2 构造函数 那么常数 )),,0(,0)((log)(log)( 22 cxcxcxcxxxg
],log)1(log)1(log[)( 222 c
c
x
c
x
c
x
c
xcxg
利用(Ⅰ)知,当 .)(,)
2
(
2
1
取得最小值函数时即 xgcx
c
x
对任意 都有,0,0 21 xx
2
log
2
2loglog 21
2
21
222121
xxxxxxxx
]1)()[log( 21221 xxxx ②
(②式是比①式更强的结果). 下面用数学归纳法证明结论.
(i)当 n=1 时,由(I)知命题成立.
(ii)设当 n=k 时命题成立,即若正数 有满足 ,1,,, 221221 kk pppppp
1111
11
22212212222121
221221
222222121
loglogloglog
.1,,,,1
.logloglog
kkkk
kk
kk
ppppppppH
ppppppkn
kpppppp
令
满足时当
对(*)式的连续两项进行两两结合变成
k2 项后使用归纳假设,并充分利用②式有
,1)()(
],1)()[log(]1)()[log(
11
1111
21221
212221221221
kk
kkkk
pppp
ppppppppH
因为
由归纳法假设 ,)(log)()(log)( 1111 212221221221 kpppppppp kkkk
得 ).1()( 11 21221
kppppkH kk
即当 1 kn 时命题也成立. 所以对一切正整数 n 命题成立.
【评注】(1)式②也可以直接使用函数 xxxg 2log)( 下凸用(Ⅰ)中结论得到;
(2)为利用归纳假设,也可对(*)式进行对应结合: iii nppq
12 而变成
k2 项;
(3)本题用凸函数知识分析如下:
先介绍詹森(jensen)不等式:若
( )f x 为 ],[ ba 上的下凸函数,则
对任意 1),,,1(0],,[ 1 nii nibax ,有
).()()( 1111 nnnn xfxfxxf
特别地,若
ni
1
,则有 )].()([1)( 1
1
n
n xfxf
nn
xxf
若为上凸函数则改“”为“”。
由 )(xg
为下凸函数
得 )
2
(
2
)()()( 221221
nn
nn ppp
g
pgpgpg
,又
12321 npppp
,
所以
nn pppppppp 222323222121 loglogloglog .)
2
1(2 ng n
n
(4)本题可作推广如下:若正数 nppp ,,, 21 满足 121 nppp ,则
.lnlnlnln 2211 npppppp nn 。简证:构造函数 1ln)( xxxxf ,
易得 .1ln0)1()( xxxfxf 1)ln()( iii npnpnp .1)ln(
n
pnpp iii
故 .0lnln01])ln([
11
i
n
i
ii
n
i
ii ppnpnpp
10. 构造辅助函数法
例 23 【解析】(1) 求导可得 ( )f x 在
1- ,0
2
上是增函数, max min
5f =2;f -ln2.
2
x x
(2)(数学归纳法证明)①当 1n 时,由已知成立;②假设当 n k 时命题成立,即
1 0
2 ka 成立,
那 么 当 1n k 时 , 由 ( 1 ) 得 11 52 ( ) ( ln 2,2)
2
k
k
a f a ,
1 13 52 ln 2 2 2
2 2
ka ,
1
1 1 1
2 ka , 1
1 0
2 ka ,这就是说 1n k 时命题成立。由①、②知,命题对于 n N 都成立
(3) 由 11 1 12 2 2n n na a a
nf a , 构造辅助函数 12 xxfxg ,得
4ln4212ln2)()(' 1 xxxxfxg
,当
1 0
2
x 时,
2 12 1, 4 1.
2 2
x x
故
2 11 2 4 1 0
2 2
x x ,所以 )(' xg <0 得 g(x)在
0
2
1- , 是减函数,
∴g(x)>g(0)=f(0)-2=0,∴ na
naf
12 >0,即 nn aa 11 22 1 >0,得 1na > na 。
例 24 【解析】(Ⅰ)
3
3 2
n
n na
.(Ⅱ)提供如下两种思路:
思路 1 观察式子右边特征,按
1
1 x
为元进行配方,确定其最大值。
法 1 由(Ⅰ)知
3 0
3 2
n
n na
, 2
1 1 2
1 (1 ) 3n
x
x x
2
1 1 2 1 1
1 (1 ) 3n
x
x x
2
1 1 1 (1 )
1 (1 ) n
x
x x a
2
1 1 2
(1 ) 1na x x
21 1
1 n n
n
a a
a x
na≤ ,原不等式成立.
思路 2 将右边看成是关于 x的函数,通过求导研究其最值来解决:
法 2 设 2
1 1 2( )
1 (1 ) 3n
f x x
x x
,则
2
2 2 2
2 2(1 ) 2(1 ) 2
1 3 3( )
(1 ) (1 ) (1 )
n nx x x x
f x
x x x
0x ,当
2
3n
x 时, ( ) 0f x ;当
2
3n
x 时, ( ) 0f x ,
当
2
3n
x 时, ( )f x 取得最大值
2 1
23 1
3
nn
n
f a
.原不等式成立.
(Ⅲ)思路 1 考虑本题是递进式设问,利用(Ⅱ)的结论来探究解题思路:
由(Ⅱ)知,对任意的 0x ,有
1 2 2 2 2
1 1 2 1 1 2
1 (1 ) 3 1 (1 ) 3na a a x x
x x x x
≥ 2
1 1 2
1 (1 ) 3n
x
x x
2 2
1 2 2 2
1 (1 ) 3 3 3 n
n nx
x x
.取
2
2 11
1 2 2 2 1 13 3 1
13 3 3 31
3
n
n nx
n nn
,
则
2 2
1 2 11 1 111 1
33
n
nn
n n na a a
nn
n
≥ .原不等式成立.
【注】本解法的着眼点是对上述不等式中的 x进行巧妙赋值,当然,赋值方法不止一种,如:还可令
1x
n
,得
2 2
2
1 2 2 2 1 1 111 11 (1 ) 3 3 3 31 (1 )
n n
n nnx n
x x n
n n
2 2
2
1 1 .11 3 1(1 )
n
n n
n n
n
思路 2 所证不等式是与正整数 n有关的命题,能否直接用数学归纳法给予证明?尝试:
1 2 2
1 2
3 3 3 .
3 2 3 2 3 2 1
n
n
n
n
(1)当 1n 时
1 2
1
3 3 1 1
3 2 5 2 1 1
,成立;
(2)假设命题对 n k 成立,即
1 2 2
1 2
3 3 3 .
3 2 3 2 3 2 1
k
k
k
k
则当 1n k 时,有
1 2 1 2 1
1 2 1 1
3 3 3 3 3
3 2 3 2 3 2 3 2 1 3 2
k k k
k k k
k
k
,
只要证明
2 1 2
1
3 ( 1)
1 3 2 2
k
k
k k
k k
;即证
1 2 2 3 2 2
1 2
3 ( 1) ( 1) ( 2) 3 1
3 2 2 1 ( 2)( 1) 3 2
k
k
k k k k k k k
k k k k k k
,
即证
1 2
1 2
1 2 1 2
3 2 2 3 2 1 2 1 3 2 2( 3 2)
3 2 3 2 3 2 3 2
k
k
k k
k k k k
k k k k
用二项式定理(展开式部分项)证明,再验证前几项即可。如下证明是否正确,请分析:易于证明
3
3 2 1
n
n n
na
n
对任意 n N 成立;于是
23 .
3 2 1 1
n
n n
n na
n n
【注】上述证明是错误的!因为: ( )
1
kf k
k
是递增的,不能逐步“缩小”到所需要的结论。可修改如下:
考虑
2
1
n
n
是某数列{ }nb 的前 n项和,则
2 2 2
2
( 1) 1
1n
n n n nb
n n n n
,
只要证明
2
2
2
3 1 3 2 2 2.
3 2
k
k
k k k
k ka b k k
k k
思路 3 深入观察所证不等式的结构特征, 利用均值不等式可得如下妙证:
由 1
3
2 1
n
n
n
aa
a
取倒数易得:
3 0
3 2
n
n na
,用 n 项的均值不等式:
1 2
1 2
1 2
1 1 1 2 2 21 1 1
3 3 3
n
n
n
a a a n n
n
a a a
1
1 1 1[1 ( ) ] 12 3 3
13 1
3
n
n
n n n
nn
n
,
2
1 2 .
1n
na a a
n
例 25 【解析】(Ⅰ) .
2
12
1
n
n
n x
x
x
(Ⅱ)使不等式 1n nx x 对一切正整数 n 都成立的充要条件是 x1≥1.
(Ⅲ) 基本思路:寻求合适的放缩途径。
探索 1 着眼于通项特征,结合求证式特点,尝试进行递推放缩:
n
n
n x
x
x
2
)1(
1
2
1 )2(
1
2
)1(
2)1(2
)1(
2
1
1
1
2
1
1
2
1
1
n
xx
x
x
x
x nn
n
n
n
n
即 )2(
1
2
1
1
1
n
xx nn
。于是由此递推放缩式逐步放缩得 .
3
2
1
2
1
2
1
2
1
1 1
1
1
2
2
1
nn
nnn xxxx
探索 2 从求证式特征尝试分析:结论式可作如下变形:
.
3
12)2221(
3
1
1
1
1
1
1
1 12
21
n
n
nxxx
逆向思考,猜想应有: .
3
2
1
1 1
n
nx
(用数
学归纳法证明,略)。
探索 3 探索过渡“桥”,寻求证明加强不等式:由(2)知 xn≥1,由此得 )2(
2
1
1
1
n
xn
。有
.
2
1
3
1
1
1
1
1
1
1
21
n
xxx n
尝试证明
3
12
2
1
3
1
nn .132 1 nn
证法 1(数学归纳法,略);
法 2 (用二项展开式部分项):当 n≥2时 2
n
=(1+1)
n
≥
2
22
210
nnCCC nnn
.0
2
)1(
2
132
2
132
22
nnnnnn
此题还可发现一些放缩方法,如:
)(
1
1
1
1
1
1
21
Nnn
xxx n
。(每一项都小于 1),而再证
3
12
n
n 即 132 nn
,则需要归纳出条
件 n≥4.(前 4 项验证即可)
技巧积累:(1)
12
1
12
12
14
4
4
41
222 nnnnn
(2)
)1(
1
)1(
1
)1()1(
21
21
1
nnnnnnnCC nn
(3) )2(1
1
1
)1(
1
!
11
)!(!
!1
1
r
rrrrrnrnr
n
n
CT rr
r
nr
(4)
2
5
)1(
1
23
1
12
111)11(
nnn
n
(5)
nnnn 2
1
12
1
)12(2
1
(6) nn
n
2
2
1
(7) )1(21)1(2 nn
n
nn (8)
nnn nnnn 2)32(
1
2)12(
1
2
1
32
1
12
2
1
(9)
knnkknnnkknknk 1
11
1
1
)1(
1,
1
11
1
1
)1(
1
(10)
!)1(
1
!
1
!)1(
nnn
n (11)
2
1
2
1
2
1212
22)1212(21
nnnn
nn
n
(11) )2(
12
1
12
1
)12)(12(
2
)22)(12(
2
)12)(12(
2
)12(
2
11
1
2
nnnnn
n
nn
n
nn
n
n
n
(12)
11
1
)1(
1
)1(
1
)1)(1(
111
23
nnnnnnnnnnnn
1
1
1
1
2
11
1
1
1
1
nnn
nn
nn
(13)
3
2
12
1
3
2122)12(332)13(222 1
n
n
n
nnnnnn
(14)
!)2(
1
!)1(
1
)!2()!1(!
2
kkkkk
k (15) )2(1
)1(
1
nnn
nn
(15) 1
11)11)((
11
2222
2222
ji
ji
jiji
ji
ji
ji
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