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- 2021-06-16 发布
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椭圆与双曲线的性质
椭 圆
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是.
6. 若在椭圆外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.
7. 椭圆 (a>b>0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点角形的面积为.
8. 椭圆(a>b>0)的焦半径公式:
,( , ).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.
11. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,
即。
12. 若在椭圆内,则被Po所平分的中点弦的方程是.
13. 若在椭圆内,则过Po的弦中点的轨迹方程是.
双曲线
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P在右支;外切:P在左支)
1. 若在双曲线(a>0,b>0)上,则过的双曲线的切线方程是.
2. 若在双曲线(a>0,b>0)外 ,则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.
3. 双曲线(a>0,b>o)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为双曲线上任意一点,则双曲线的焦点角形的面积为.
4. 双曲线(a>0,b>o)的焦半径公式:( ,
当在右支上时,,.
当在左支上时,,
5. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF⊥NF.
6. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.
7. AB是双曲线(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,即。
8. 若在双曲线(a>0,b>0)内,则被Po所平分的中点弦的方程是.
9. 若在双曲线(a>0,b>0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程是.
椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
椭 圆
1. 椭圆(a>b>o)的两个顶点为,,与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
2. 过椭圆 (a>0, b>0)上任一点
任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且(常数).
1. 若P为椭圆(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ,则.
2. 设椭圆(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2中,记, ,,则有.
3. 若椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0<e≤时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
4. P为椭圆(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则,当且仅当三点共线时,等号成立.
5. 椭圆与直线有公共点的充要条件是.
6. 已知椭圆(a>b>0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且.(1);(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为;(3)的最小值是.
7. 过椭圆(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则.
8. 已知椭圆( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.
9. 设P点是椭圆( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记,则(1).(2) .
1. 设A、B是椭圆( a>b>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,, ,,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1).(2) .(3) .
2. 已知椭圆( a>b>0)的右准线与x轴相交于点,过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上,且轴,则直线AC经过线段EF 的中点.
3. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
4. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
5. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)
6. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
7. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
双曲线
1. 双曲线(a>0,b>0)的两个顶点为,,与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
2. 过双曲线(a>0,b>o)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且(常数).
3. 若P为双曲线(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ,则(或).
4. 设双曲线(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2
,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF1F2中,记, ,,则有.
1. 若双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当1<e≤时,可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
2. P为双曲线(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为双曲线内一定点,则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时,等号成立.
3. 双曲线(a>0,b>0)与直线有公共点的充要条件是.
4. 已知双曲线(b>a >0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且.
(1);(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为;(3)的最小值是.
5. 过双曲线(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则.
6. 已知双曲线(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或.
7. 设P点是双曲线(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记,则(1).(2) .
8. 设A、B是双曲线(a>0,b>0)的长轴两端点,P是双曲线上的一点,, ,,c、e分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1).
(2) .(3) .
1. 已知双曲线(a>0,b>0)的右准线与x轴相交于点,过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上,且轴,则直线AC经过线段EF 的中点.
2. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
3. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
4. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
5. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
6. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
圆锥曲线问题解题方法
圆锥曲线中的知识综合性较强,因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确解题,还须掌握一些方法和技巧。
一. 紧扣定义,灵活解题
灵活运用定义,方法往往直接又明了。
例1. 已知点A(3,2),F(2,0),双曲线,P为双曲线上一点。
求的最小值。
解析:如图所示,
双曲线离心率为2,F为右焦点,由第二定律知即点P到准线距离。
二. 引入参数,简捷明快
参数的引入,尤如化学中的催化剂,能简化和加快问题的解决。
例2. 求共焦点F、共准线的椭圆短轴端点的轨迹方程。
解:取如图所示的坐标系,设点F到准线的距离为p(定值),椭圆中心坐标为M(t,0)(t为参数)
,而
再设椭圆短轴端点坐标为P(x,y),则
消去t,得轨迹方程
三. 数形结合,直观显示
将“数”与“形”两者结合起来,充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性,以数促形,用形助数,结合使用,能使复杂问题简单化,抽象问题形象化。熟练的使用它,常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。
例3. 已知,且满足方程,又,求m范围。
解析:的几何意义为,曲线上的点与点(-3,-3)连线的斜率,如图所示
四. 应用平几,一目了然
用代数研究几何问题是解析几何的本质特征,因此,很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联,要抓住关键,适时引用,问题就会迎刃而解。
例4. 已知圆和直线的交点为P、Q,则的值为________。
解:
五. 应用平面向量,简化解题
向量的坐标形式与解析几何有机融为一体,因此,平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。
例5. 已知椭圆:,直线:,P是上一点,射线OP交椭圆于一点R,点Q在OP上且满足,当点P在上移动时,求点Q的轨迹方程。
分析:考生见到此题基本上用的都是解析几何法,给解题带来了很大的难度,而如果用向量共线的条件便可简便地解出。
解:如图,共线,设,,,则,
点R在椭圆上,P点在直线上
,
即
化简整理得点Q的轨迹方程为:
(直线上方部分)
六. 应用曲线系,事半功倍
利用曲线系解题,往往简捷明快,收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。
例6. 求经过两圆和的交点,且圆心在直线上的圆的方程。
解:设所求圆的方程为:
则圆心为,在直线上
解得
故所求的方程为
七. 巧用点差,简捷易行
在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程,往往采用点差法,此法比其它方法更简捷一些。
例7. 过点A(2,1)的直线与双曲线相交于两点P1、P2,求线段P1P2中点的轨迹方程。
解:设,,则
<2>-<1>得
即
设P1P2的中点为,则
又,而P1、A、M、P2共线
,即
中点M的轨迹方程是
解析几何题怎么解
高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化.
例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点,AB=2、OT=t (0
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