【数学】2019届一轮复习北师大版排列组合中分类、分步不当引起的失误学案 10页

‎ 专题九 计数原理 误区一：排列组合中分类、分步不当引起的失误 一、易错提醒 排列组合的源头是两个原理,在利用两个原理处理具体应用问题时,必须先分清是“分类”还是“分步”,其次要搞清“分类”与“分步”的具体标准是什么,选择合理、简洁的标准处理事件,可以避免计数的重复或遗漏.运用分类加法计数原理时,要明确分类加法计数原理的两个条件：(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准,然后在这个标准下进行分类；(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法,只有满足这些条件,才可以用分类加法计数原理．.运用分步乘法计数原理时,要确定分步的标准.分步必须满足：完成一件事情必须且只须完成这几步,即各个步骤是相互依存的,且“步”与“步”之间具有连续性. 对于既要运用分类加法计数原理,又要运用分步乘法计数原理的复杂问题,可以恰当地画出示意图或树形图来进行分析,使问题的分析过程更直观、更明晰,便于探索规律.‎ 二、典例精析 一、至少问题 课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动,至少有1名队长当选的选法有多少种？‎ ‎【错因】不恰当地采用分步计数：先选1名队长,再从剩下的人中选4人得C·C ‎【正解】至少有1名队长当选含有两类：只有1名队长和2名队长.故共有：C·C＋C·C＝825(种).‎ 或采用间接法：C－C＝825(种).‎ ‎【点评】①分类时不重不漏；②注意间接法的使用,在涉及“至多”“至少”等问题时,多考虑用分类方法或间接法(排除法)；③先选1名队长,再从剩下的人中选4人得C·C≠825,错误原因是重复计数,请同学们认真查找错因.‎ ‎【小试牛刀】【2017届广东七校联合体高三理上学期联考二】把四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具,且两件玩具不能分给同一个人,则不同的分法有（ ）‎ A．36种 B．30种 ‎ C．24种 D．18种 ‎【答案】B ‎【解析】分两步进行分析:先计算把 四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具的分法数目:首先将件玩具分成组,其中组有件,剩余组各件,有种分组方法,再将这组对应三个小朋友,有种方法,则有种情况；‚计算两件玩具分给同一个人的分法数目,若两件玩具分给同一个人,则剩余的件玩具分给其他人,有种情况.综上可得,两件玩具不能分给同一个人的不同分法有种,故选B.‎ 二、分组与分配问题 ‎【例2】现有6本不同的书：‎ ‎(1)甲、乙、丙三人每人两本,有多少种不同的分配方法？‎ ‎(2)分成三堆,每堆2本,有多少种分堆方法？‎ ‎(3)分成三堆,一堆1本,一堆2本,一堆3本,有多少种不同的分堆方法？‎ ‎(4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本,一人3本,有多少种不同的分配方法？‎ ‎(5)甲、乙、丙三人中,一人分4本,另两人每人分1本,有多少种不同的分配方法？‎ ‎【错因】①混淆分组与分配；②混淆均分与非均分 ‎ : xx ]‎ ‎【点评】平均分配给不同人的分法等于平均分组的分法乘以堆数的全排列.分组到位相当于分组后各组再全排列,平均分组不到指定位置,其分法数为：.对于分组与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分组再分配.②被分配的元素是不同的(像“名额”等则是相同元素,不适用),位置也应是不同的(如不同的“盒子”).③分组时要注意是否均匀.如6分成(2,2,2)为均匀分组,分成(1,2,3)为非均匀分组,分成(4,1,1)为部分均匀分组.‎ ‎【小试牛刀】【2017届陕西省西安市高三模拟（一）】将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有（ ）‎ A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：第一步,为甲地选一名老师,有种选法；第二步,为甲地选两个学生,有种选法；第三步,为乙地选名教师和名学生,有种选法,故不同的安排方案共有种,故选A．‎ 三、图形涂色问题 ‎(一)平面区域涂色 ‎【例3】如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有 .‎ ‎【错因】分类不准确. 由于区域1,2,3与区域4相邻,由条件宜采用分步处理,又相邻区域不同色,因此应按区域1和区域3是否同色分类求解．学+ ‎ ‎【点评】解决涂色问题,一定要分清所给的颜色是否用完,并选择恰当的涂色顺序．切实选择好分类标准,分清哪些可以同色,哪些不同色．‎ ‎【小试牛刀】用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2,…,9的9个小正方形,使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有________种.‎ ‎【答案】108‎ ‎【解析】第一步,从红、黄、蓝三种颜色中任选一种去涂标号为“1、5、9”的小正方形,涂法有3种；‎ 第二步,涂标号为“2、3、6”的小正方形,若“2、6”同色,涂法有2×2种,若“2、6”不同色,涂法有2×1种；‎ 第三步,涂标号为“4、7、8”的小正方形,涂法同涂标号为“2、3、6”的小正方形的方法一样．‎ 所以符合条件的所有涂法共有3×(2×2＋2×1)×(2×2＋2×1)＝108(种)．‎ ‎（二）立体图形中点涂色问题 ‎【例4】如图,用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有(　　)‎ A．288种　　　　　 B．264种[ :学_ _ _X_X_ ]‎ C．240种 D．168种 ‎【错因】不会把分类、分步原计数原理综合运用,认为本题只需要分步就可得到答案.‎ ‎【解析】先涂A、D、E三个点,共有4×3×2＝24种涂法,然后再按B、C、F的顺序涂色,分为两类：一类是B与E或D同色,共有2×(2×1＋1×2)＝8种涂法；另一类是B与E或D不同色,共有1×(1×1＋1×2)＝3种涂法．所以涂色方法共有24×(8＋3)＝264种．‎ ‎【点评】求解排列组合问题的思路：“排组分清,加乘明确；有序排列,无序组合；分类相加,分步相乘．”‎ ‎【小试牛刀】如图,用四种不同的颜色给图中五个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两端点涂不同的颜色,则不同的涂色方法共有（ ）种.‎ A.72种 B.86种 C.106种 D.120种 ‎【答案】A ‎（三）立体图形中线涂色问题 ‎【例5】将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色,要求共端点的棱不能涂相同颜色,则不同的涂色方案有(　　)[ : +xx+ ]‎ A．1种 B．3种 C．6种 D．9种 ‎【错因】误认为线段的两端点涂同一色是2种不同的情况.‎ ‎【解析】因为只有三种颜色,又要涂六条棱,所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色．故有3×2×1＝6种涂色方案．‎ ‎【点评】对限制条件较复杂的排列组合应用题,可分解成若干简单的基本问题后用两种计数原理来解决；由于排列组合问题的答案一般数目较大,不易直接验证,因此在检查结果时,应着重检查所设计的解决方案是否完备,有无重复和遗漏,也可采用多种不同的方法求解,看看结果是否相同．‎ ‎（四）立体图形中面涂色问题 ‎【例6】如图所示的几何体是由一个正三棱锥 P－ABC 与正三棱柱 ABC－A1B1C1 组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的染色方案共有(　　)‎ A．24种 B．18种[ : xx ]‎ C．16种 D．12种 ‎【错因】底面A1B1C1不涂色这一条件容易忽略,分不清是排列问题还是组合问题.‎ ‎【解析】先涂三棱锥 的三个侧面,然后涂三棱柱的三个侧面,共有C×C×C×C＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．‎ ‎【点评】解答排列、组合问题,仔细审题,判断是排列问题还是组合问题,要按元素的性质分类,按事件发生的过程进行分类；深入分析,注意分清是乘还是加,要防止重复和遗漏.‎ 三、迁移运用 ‎1．【2018届湖南省十四校高三第二次联考】甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借、、、四类课外书（每类课外书均有若干本），已知每人均只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅类课外书，则不同的借阅方案种类为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎2．【内蒙古赤峰市2018届高三上学期期末】把2支相同的晨光签字笔,3支相同英雄钢笔全部分给4名优秀学生,每名学生至少1支,则不同的分法有（ ）‎ A. 24种 B. 28种 C. 32种 D. 36种 ‎【答案】B ‎【解析】第一类，有一个人分到一支钢笔和一支签字笔，这中情况下的分法有：先将一支钢笔和一支签字笔分到一个人手上，有种分法，将剩余的支钢笔， 支签字笔分给剩余个同学，有种分法，那共有种； 第二类，有一个人分到两支签字笔，这种情况下的分法有：先将两支签字笔分到一个人手上，有种情况，将剩余的支钢笔分给剩余个人，只有1种分法，那共有： 种； 第三类，有一个人分到两支钢笔，这种情况的分法有：先将两支钢笔分到一个人手上，有种情况，再将剩余的两支签字笔和一支钢笔分给剩余的个人，有种分法，那共有： 种； 综上所述：总共有种分法.故选B.‎ ‎3．【2017届福建闽侯县三中高三上期中】将3本相同的诗集,2本相同的小说全部分给4名同学,每名同学至少1本,则不同的分法有（ ）‎ A．24种 B．28种 ‎ C．32种 D．36种 ‎【答案】B ‎4．【2017届河北定州中学高三周练】计划将排球、篮球、乒乓球个项目的比赛安排在 个不同的体育馆举办,每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行,则在同一个体育馆比赛的项目不超过个的安排方案共有（ ）‎ A．种 B．种 ‎ C．种 D．种 ‎【答案】A ‎【解析】两种情况,第一种情况安排个场地,每个场地安排项比赛,方法数有种；第二种情况,一个场地安排两场,第二个场地安排一场,方法数有种；综上所述一共有种方案.‎ ‎5．【2017届辽宁抚顺重点高中协作校高三上一模】在某市记者招待会上,需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问,两家电视台均有记者5人,主持人需要从这10名记者中选出名记者提问,且这4人中,既有甲电视台记者,又有乙电视台记者,且甲电视台的记者不可以连续提问,则不同的提问方式的种数为（ ）‎ A．1200 B．2400 C．3000 D．3600‎ ‎【答案】B ‎【解析】若人中,有甲电视台人,乙电视台记者人,则不同的提问方式总数是,若人中,有甲电视台人,乙电视台记者人,则不同的提问方式总数是,若人中,有甲电视台人,乙电视台记者人,则不符合主持人的规定,故所有不同提问方式的总数为.‎ ‎6．【2017届福建闽侯县二中高三上期中】把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在下图图案中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上,其中三盆兰花不能放在一条直线上,则不同的摆放方法为（ ）‎ A．2680种 B．4320种 ‎ C．4920种 D．5140种 ‎【答案】B ‎7．【2017届福建连城县朋口中学高三上期中】在100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法的种数是（ ）学 ！ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为从件产品中任取件产品 共有种取法,从件产品中任取件产品没有次品的取法共有种,所以从件产品中任取件产品至少有件次品的不同取法的种数是,故选C.‎ ‎8．【2017届安徽师大附中学高三上学期期中】用6种颜色给右图四面体的每条棱染色,要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色,则不同的染色方法共有（ ）种 A.4080 B.3360 ‎ C.1920 D.720‎ ‎【答案】A ‎【解析】四面体的对棱可涂同一种颜色,也可以涂不同的颜色,按照相对棱颜色相同的对数分类：①若所有相对的棱都涂同一种颜色,一共需要三种颜色,不同的涂色方案共有种；②若相对的棱中有对涂同一种颜色,一共需要四种颜色,不同的涂色方案共有种；③若相对的棱中有对涂同一种颜色,一共需要五种颜色,不同的涂色方案共有种；④若所有相对的棱都涂不同颜色,一共需要六种颜色,不同的涂色方案共有种,所以共有种不同的涂色方案,故选A.‎ ‎9．【2017届黑龙江双鸭山宝清县高级中学高三理段测】有4名优秀大学毕业生被某录用.该公司共有5个 室,由公司人事部门安排他们到其中任意3个 室上班,每个 室至少安排一人,则不同的安排方案种数为（ ）‎ A．120 B．240 ‎ C．360 D．480‎ ‎【答案】C ‎【解析】先将四个大学生分成三份,共有种可能,再在五个 室在选三个,共有,所以共有种,故应选C．‎ ‎10. 如图,用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同的涂法共有(　　)‎ A．400种 B．460种 C．480种 D．496种 ‎【答案】C ‎【解析】从A开始,有6种方法,B有5种,C有4种,D、A同色1种,D、A不同色3种,因此不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)．‎ ‎11．【2017届四川双流中学高三上学期必得分训练】某 室派出4名调研员到3个学校,调研该校高三复习备考近况,要求每个学校至少一名,则不同的分配方案种数为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】分两步完成:第一步将名调研员按分成三组,其分发有种；第二步将分好的三组分配到三个学校,其分发有种,所以不同的分配方案种数种,故填.‎ ‎12. 如图,用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,则有 种不同的涂色方法.‎ ‎【答案】180‎ ‎13.用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图所示),要求在A,B,C,D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色．‎ ‎（1）若n＝6,为①着色时共有多少种不同的方法？‎ ‎（2）若为②着色时共有120种不同的方法,求n.[ :学 XX ]‎ ‎【解析】（1）分四步：第1步涂A有6种不同的方法,第2步涂B有5种不同的方法,第3步涂C有4种不同的方法,第4步涂D有4种不同的方法．‎ 根据分步乘法计数原理,共有6×5×4×4＝480种不同的方法．‎ ‎（2）由题意,得,注意到n∈N*,可得＝5.‎ ‎14. 直线x＝1,y＝x,将圆x2＋y2＝4分成A,B,C,D四个区域,用五种不同的颜色给他们涂色,要求共边的两区域颜色互异,每个区域只涂一种颜色,共有多少种不同的涂色方法？‎ ‎【解法一】第1步,涂A区域有C种方法；第2步,涂B区域有C种方法；第3步,涂C区域和D区域：若C区域涂A区域已填过颜色,则D区域有4种涂法；若C区域涂 A、B剩余3种颜色之一,即有C种涂法,则D区域有C种涂法．‎ 故共有C·C·(4＋C·C)＝260种不同的涂色方法．‎