【数学】2019届一轮复习北师大版数系的扩充和复数的概念学案 7页

‎ 　数系的扩充和复数的概念 ‎[学习目标]　1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.‎ 知识点一　复数的引入 在实数范围内，方程x2＋1＝0无解.为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即使i·i＝－1.把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集.把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋bi(a，b∈R)，这些数都应在新数集中.再注意到实数a和数i，也可以看作是a＋bi(a，b∈R)这样的数的特殊形式，所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是C＝{a＋bi|a，b∈R}，称i为虚数单位.‎ 思考 (1)分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4－25.‎ ‎(2)虚数单位i有哪些性质？‎ 答案　(1)在有理数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5).‎ 在实数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)‎ ‎＝(x2＋5)(x＋)(x－).‎ 在复数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)‎ ‎＝(x2＋5)(x＋)(x－)‎ ‎＝(x＋i)(x－i)(x＋)(x－).‎ ‎(2)虚数单位i有如下几个性质：‎ ‎①i的平方等于－1，即i2＝－1；‎ ‎②实数与i可进行四则运算，并且原有的加法、乘法运算律仍然成立；‎ ‎③i的乘方：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*).‎ 知识点二　复数的概念、分类 ‎1.复数的有关概念 ‎(1)复数的概念：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位.a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.‎ ‎(2)复数的表示方法：复数通常用字母 表示，即 ＝a＋bi.‎ ‎(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C表示.‎ ‎2.复数的分类及包含关系 ‎(1)复数(a＋bi，a，b∈R) ‎(2)集合表示：‎ 思考　(1)两个复数一定能比较大小吗？‎ ‎(2)复数a＋bi的实部是a，虚部是b吗？‎ 答案　(1)不一定，只有当这两个复数是实数时，才能比较大小.‎ ‎(2)不一定，对于复数 ＝a＋bi(a，b∈R)，实部才是a，虚部才是b.‎ 知识点三　复数相等 复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.即它们的实部与虚部分别对应相等.‎ 思考　(1)若复数 ＝a＋bi(a，b∈R). ＝0，则a＋b的值为多少？‎ ‎(2)若复数 1， 2为 1＝3＋ai(a∈R)， 2＝b＋i(b∈R)，且 1＝ 2，则a＋b的值为多少？‎ 答案　(1)0；(2)4.‎ 题型一　复数的概念 例1　写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.‎ ‎①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0.‎ 解　①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为，是虚数；③的实部为，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数.‎ 反思与感悟　复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.‎ 跟踪训练1　下列命题中，正确命题的个数是(　　)‎ ‎①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；‎ ‎②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；‎ ‎③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.‎ A.0 B‎.1 C.2 D.3‎ 答案　A 解析　①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题.③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题.故选A.‎ 题型二　复数的分类 例2　设 ＝log(m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R).‎ ‎(1)若 是虚数，求m的取值范围；‎ ‎(2)若 是纯虚数，求m的值.‎ 解　(1)因为 是虚数，故其虚部log2(5－m)≠0，‎ m应满足的条件是解得1＜m＜5，且m≠4.‎ ‎(2)因为 是纯虚数，故其实部log(m－1)＝0，虚部log2(5－m)≠0，‎ m应满足的条件是解得m＝2.‎ 反思与感悟　将复数化成代数形式 ＝a＋bi(a，b∈R)，根据复数的分类：当b＝0时， 为实数；当b≠0时， 为虚数；特别地，当b≠0，a＝0时， 为纯虚数，由此解决有关复数分类的参数求解问题. ‎ 跟踪训练2　实数 为何值时，复数 ＝(1＋i) 2－(3＋5i) －2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零.‎ 解　由 ＝(1＋i) 2－(3＋5i) －2(2＋3i)＝( 2－3 －4)＋( 2－5 －6)i.‎ ‎(1)当 2－5 －6＝0时， ∈R，即 ＝6或 ＝－1.‎ ‎(2)当 2－5 －6≠0时， 是虚数，即 ≠6且 ≠－1.‎ ‎(3)当时， 是纯虚数，解得 ＝4.‎ ‎(4)当时， ＝0，解得 ＝－1.‎ 题型三　两个复数相等 例3　(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值.‎ ‎(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值.‎ 解　(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，‎ ‎∴解得或 ‎(2)设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为 ‎3m2‎‎－m－1＝(10－m－‎2m2‎)i，‎ ‎∴ 解得a＝11或a＝－.‎ 反思与感悟　两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数.‎ 跟踪训练3　已知复数 ＝－x＋(x2－4x＋3)i＞0，求实数x的值.‎ 解　∵ ＞0，∴ ∈R，∴x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.‎ ‎∵ ＞0，∴－x＞0，且x2－4x＋3＝0.‎ 对于不等式－x＞0，x＝1满足，x＝3不满足，故x＝1.‎ ‎1.若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于(　　)‎ A.{－1} B.{1} C.{1，－1} D.∅‎ 答案　C 解析　因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以A＝{i，－1，－i,1}，又B＝{1，－1}，故A∩B＝{1，－1}.‎ ‎2.已知复数 ＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是(　　)‎ A.，1 B.，5‎ C.±，5 D.±，1‎ 答案　C 解析　令得a＝±，b＝5.‎ ‎3.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是(　　)‎ A.±1 B.±i C.±i D.±2i 答案　C ‎4.已知M＝{2，m2－‎2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，则实数m的值为________.‎ 答案　1或2‎ 解析　∵M∪N＝N，∴M⊆N，‎ ‎∴m2－‎2m＋(m2＋m－2)i＝－1或m2－‎2m＋(m2＋m－2)i＝4i.‎ 由复数相等的充要条件，得 或 解得m＝1或m＝2.故实数m的值是1或2.‎ ‎5.设i为虚数单位，若关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为n，则m＝________.‎ 答案　1‎ 解析　关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为n，可得n2－(2＋i)n＋1＋mi＝0.‎ 所以 所以m＝n＝1.‎ ‎1.复数的代数形式 ＝a＋bi(a，b∈R)是解决问题的基础，明确其实部、虚部.‎ ‎2.根据复数为实数、虚数、纯虚数，复数相等的充要条件，可将问题实数化.‎ 一、选择题 ‎1.设复数 满足i ＝1，其中i为虚数单位，则 等于(　　)‎ A.－i B.i C.－1 D.1‎ 答案　A 解析　∵i2＝－1，∴－i2＝i·(－i)＝1，∴ ＝－i.‎ ‎2.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝‎0”‎是“复数a－bi为纯虚数”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件[ : |xx| ]‎ 答案　B 解析　若复数a－bi为纯虚数，则a＝0且b≠0，故ab＝0.而由ab＝0不一定能得到复数a－bi是纯虚数，故“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的必要不充分条件.‎ ‎3.设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(　　)‎ A.－3 B.－‎2 ‎ C.2 D.3‎ 答案　A 解析　∵(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(‎2a＋1)i，∴a－2＝‎2a＋1，解得a＝－3，故选A.‎ ‎4.若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为(　　)‎ A. B‎.2 C.0 D.1‎ 答案　D 解析　由复数相等的充要条件知，‎ 解得 ‎∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.‎ ‎5.如果 ＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为(　　)‎ A.1 B‎.0 C.－1 D.－1或1‎ 答案　B 解析　由题意知∴m＝0.‎ ‎6.若sin 2θ－1＋i(cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为(　　)‎ A.2 π－( ∈ ) B.2 π＋( ∈ )‎ C.2 π±( ∈ ) D.π＋( ∈ )‎ 答案　B[ :学 ]‎ 解析　由题意，得解得( ∈ )，∴θ＝2 π＋， ∈ .‎ 二、填空题 ‎7.若实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是________.‎ 答案　1‎ 解析　因为实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，所以x＋xi＋y－yi＝2，可得所以x＝y＝1，所以xy＝1.‎ ‎8.若复数m－3＋(m2－9)i≥0，则实数m的值为________.‎ 答案　3‎ 解析　依题意知解得 即m＝3.‎ ‎9.已知 1＝－‎4a＋1＋(‎2a2＋‎3a)i， 2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若 1＞ 2，则a的取值集合为________.‎ 答案　{0}‎ 解析　由 1＞ 2，得解得a＝0，‎ 故a的取值集合为{0}.‎ ‎10.在给出的下列几个命题中，正确命题的个数为________.‎ ‎①若x是实数，则x可能不是复数；‎ ‎②若 是虚数，则 不是实数；‎ ‎③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；‎ ‎④－1没有平方根.‎ 答案　1‎ 解析　因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错.‎ 三、解答题 ‎11.当实数m为何值时，复数 ＝(m2＋m－6)i＋是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？‎ 解　(1)由得m＝2.‎ ‎∴当m＝2时， 是实数.‎ ‎(2)由得即m≠2且m≠－3.‎ ‎∴当m≠2且m≠－3时， 是虚数.‎ ‎(3)由得即m＝3或m＝4.‎ ‎∴当m＝3或m＝4时， 是纯虚数.‎ ‎12.已知复数 1＝m＋(4－m2)i， 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i，λ，m∈R，θ∈， 1＝ 2，求λ的取值范围.‎ 解　由 1＝ 2，λ，m∈R，可得 整理，得λ＝4sin2θ－3sin θ＝42－.[ :学 ]‎ ‎∵θ∈，∴sin θ∈[0,1]，∴λ∈[－，1].‎ ‎13.已知关于m的一元二次方程m2＋m＋‎2mi－xy＋(x＋y)i＝0(x，y∈R).当方程有实根时，试确定点(x，y)所形成的轨迹.‎ 解　不妨设方程的实根为m，‎ 则m2＋m＋‎2mi＝xy－(x＋y)i.‎ ‎∵x，y，m∈R，∴ 由②，得m＝－.‎ 代入①，得2－＝xy，‎ ‎∴(x－1)2＋(y－1)2＝2，‎ ‎∴点(x，y)的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2，其轨迹是以(1,1)为圆心，为半径的圆.‎