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  • 2021-06-16 发布

【数学】2019届高考一轮复习北师大版理9-8曲线与方程学案

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第8讲 曲线与方程 ‎1.曲线与方程 在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系:‎ ‎(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;‎ ‎(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.‎ 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.‎ ‎2.曲线的交点 设曲线C1的方程为F1(x,y)=0,曲线C2的方程为F2(x,y)=0,则C1,C2的交点坐标即为方程组的实数解,若此方程组无解,则两曲线无交点.‎ ‎3.求动点的轨迹方程的一般步骤 ‎(1)建系——建立适当的坐标系;‎ ‎(2)设点——设轨迹上的任一点P(x,y);‎ ‎(3)列式——列出动点P所满足的关系式;‎ ‎(4)代换——依条件式的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x,y的方程式,并化简;‎ ‎(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.(  )‎ ‎(2)方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线.(  )‎ ‎(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.(  )‎ ‎(4)方程y=与x=y2表示同一曲线.(  )‎ ‎(5)y=kx与x=y表示同一直线.(  )‎ 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×‎ ‎ (教材习题改编)曲线C:xy=2上任一点到两坐标轴的距离之积为(  )‎ A.1             B.2‎ C. D.4‎ 解析:选B.设M(x,y)是曲线xy=2上任一点,则M到两坐标轴的距离之积为|x||y|=|xy|=2,故选B.‎ ‎ 已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM 延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是(  )‎ A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0‎ C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0‎ 解析:选D.由题意知,M为PQ中点,设Q(x,y),则P为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0得2x-y+5=0.‎ ‎ (教材习题改编)已知方程ax2+by2=2的曲线经过点A和B(1,1),则曲线方程为________.‎ 解析:由题意得解得 所以曲线方程为x2+y2=2,‎ 即x2+y2=1.‎ 答案:x2+y2=1‎ ‎ 平面上有三个不同点A(-2,y),B,C(x,y),若⊥,则动点C的轨迹方程为________.‎ 解析:=,=,‎ 由⊥,得·=0,‎ 即2x+·=0,‎ 所以动点C的轨迹方程为y2=8x(x≠0).‎ 答案:y2=8x(x≠0)‎ ‎      定义法求轨迹方程 ‎ [典例引领]‎ ‎ 已知A(-5,0),B(5,0),动点P满足||,||,8成等差数列,则点P的轨迹方程为________.‎ ‎【解析】 由已知得||-||=8,‎ 所以点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支,‎ 且a=4,b=3,c=5,‎ 所以点P的轨迹方程为-=1(x≥4).‎ ‎【答案】 -=1(x≥4)‎ ‎ ‎ 若将本例中的条件“||,||,8”改为“||,||,8”,求点P的轨迹方程.‎ 解:由已知得||-||=8,‎ 所以点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的左支,且a=4,b=3,c=5,‎ 所以点P的轨迹方程为-=1(x≤-4).‎ 定义法求轨迹方程 ‎(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据曲线的方程,写出所求的轨迹方程;‎ ‎(2)利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.(2018·豫北名校联考)已知△ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为__________________.‎ 解析:设A(x,y),由题意可知D.又因为|CD|=3,所以+=9,即(x-10)2+y2=36,由于A、B、C三点不共线,所以点A不能落在x轴上,即y≠0,所以点A的轨迹方程为(x-10)2+y2=36(y≠0).‎ 答案:(x-10)2+y2=36(y≠0)‎ ‎2.(2018·江西红色七校模拟)已知动圆C过点A(-2,0),且与圆M:(x-2)2+y2=64相内切.求动圆C的圆心的轨迹方程.‎ 解:圆M:(x-2)2+y2=64,圆心M的坐标为(2,0),半径R=8.因为|AM|=4|AM|.‎ 所以圆心C的轨迹是中心在原点,焦点为A,M,长轴长为8的椭圆,设其方程为+=1(a>b>0),则a=4,c=2.所以b2=a2-c2=12.‎ 所以动圆C的圆心的轨迹方程为+=1.‎ ‎      直接法求轨迹方程(高频考点)‎ 直接法求点的轨迹方程是求轨迹方程的一种重要方法,也是高考考查的重要内容.直接法求点的轨迹方程,在高考中有以下两个命题角度:‎ ‎(1)已知动点满足的关系式求轨迹方程(或判断轨迹);‎ ‎(2)无明确等量关系求轨迹方程.‎ ‎ [典例引领]‎ ‎ 角度一 已知动点满足的关系式求轨迹方程(或 判断轨迹)‎ ‎ 已知点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且·=·,则动点P的轨迹C的方程为(  )‎ A.x2=4y       B.y2=3x C.x2=2y D.y2=4x ‎【解析】 设点P(x,y),则Q(x,-1).‎ 因为·=·,‎ 所以(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2),‎ 即2(y+1)=x2-2(y-1),‎ 整理得x2=4y,‎ 所以动点P的轨迹C的方程为x2=4y.‎ ‎【答案】 A 角度二 无明确等量关系求轨迹方程 ‎ (2018·河北衡水中学调研)已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:直角顶点C的轨迹方程.‎ ‎【解】 法一:设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.‎ 因为AC⊥BC,所以kAC·kBC=-1,又kAC=,kBC=,所以·=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.‎ 因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).‎ 法二:设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2.由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点).‎ 所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).‎ 直接法求曲线方程的一般步骤 ‎(1)建立合理的直角坐标系;‎ ‎(2)设出所求曲线上点的坐标,把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程;‎ ‎(3)化简整理这个方程,检验并说明所求的方程就是曲线的方程.‎ 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程,要注意“翻译”的等价性.‎ ‎[提醒] 对方程化简时,只要前后方程解集相同,证明一步可以省略,必要时可说明x,y的取值范围.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.已知|AB|=2,动点P满足|PA|=2|PB|,则动点P的轨迹方程为________.‎ 解析:如图所示,以AB的中点O为原点,直线AB为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).‎ 设P(x,y),因为|PA|=2|PB|,‎ 所以=2,‎ 整理得x2+y2-x+1=0,‎ 即+y2=.‎ 所以动点P的轨迹方程为+y2=.‎ 答案:+y2= ‎2.如图,过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴非负半轴于A点,l2交y轴非负半轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.‎ 解:设点M坐标为(x,y).‎ 因为M(x,y)为线段AB中点,‎ 所以点A,B的坐标分别为A(2x,0),B(0,2y).‎ 当x≠1时,因为l1⊥l2,且l1,l2过点P(2,4),‎ 所以kPA·kPB=-1,‎ 即·=-1(x≠1),‎ 化简得x+2y-5=0(x≠1).‎ 当x=1时,A,B分别为(2,0),(0,4),‎ 所以线段AB的中点为(1,2),‎ 满足方程x+2y-5=0(x≥0,y≥0).‎ 综上得M的轨迹方程为x+2y-5=0(x≥0,y≥0).‎ ‎      相关点法(代入法)求轨迹方程 ‎ [典例引领]‎ ‎ (2017·高考全国卷Ⅱ节选)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.求点P的轨迹方程.‎ ‎【解】 设P(x,y),M(x0,y0),‎ 则N(x0,0),=(x-x0,y),‎ =(0,y0).‎ 由= 得x0=x,y0=y.‎ 因为M(x0,y0)在C上,‎ 所以+=1.‎ 因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.‎ ‎  ‎ ‎ 设F(1,0),M点在x轴上,P点在y轴上,且=2,⊥,当点P在y轴上运动时,点N的轨迹方程为________.‎ 解析:设M(x0,0),P(0,y0),N(x,y),‎ ⊥,=(x0,-y0),=(1,-y0),‎ 所以(x0,-y0)·(1,-y0)=0,‎ 所以x0+y=0.‎ 由=2得(x-x0,y)=2(-x0,y0),‎ 所以 即所以-x+=0,‎ 即y2=4x.‎ 故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.‎ 答案:y2=4x ‎ 求轨迹方程的常用方法 ‎(1)直接法:根据题目条件,直译为关于动点的几何关系,再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简,即把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程.‎ ‎(2)定义法:若动点轨迹满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量,求出动点的轨迹方程.‎ ‎(3)相关点法:有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运 动的,如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程.‎ ‎ 易错防范 ‎(1)轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,前者指曲线的形状、位置、大小等特征,后者指方程(包括范围).‎ ‎(2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.                                            ‎ ‎1.方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的曲线是(  )‎ A.一条直线和一条双曲线 B.两条双曲线 C.两个点 D.以上答案都不对 解析:选C.(x-y)2+(xy-1)2=0⇔ 故或 ‎2.到点F(0,4)的距离比到直线y=-5的距离小1的动点M的轨迹方程为(  )‎ A.y=16x2         B.y=-16x2‎ C.x2=16y D.x2=-16y 解析:选C.由条件知:动点M到F(0,4)的距离与到直线y=-4的距离相等,所以点M的轨迹是以F(0,4)为焦点,直线y=-4为准线的抛物线,其标准方程为x2=16y.‎ ‎3.已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N.若2=λ·,其中λ为常数,则动点M的轨迹不可能是(  )‎ A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线 解析:选C.以AB所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴,建立坐标系,设M(x,y),A(-a,0),B(a,0),则N(x,0).‎ 因为2=λ·,‎ 所以y2=λ(x+a)(a-x),即λx2+y2=λa2,‎ 当λ=1时,轨迹是圆;‎ 当λ>0且λ≠1时,轨迹是椭圆;‎ 当λ<0时,轨迹是双曲线;‎ 当λ=0时,轨迹是直线.‎ 综上,动点M的轨迹不可能是抛物线.‎ ‎4.设线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,且|AB|=5,=+,则点M的轨迹方程为(  )‎ A.+=1 B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ 解析:选A.设M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),‎ 由=+,得(x,y)=(x0,0)+(0,y0),‎ 则解得 由|AB|=5,得+=25,‎ 化简得+=1.‎ ‎5.若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0),距离之差的绝对值为8,则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是(  )‎ A.x+y=5         B.x2+y2=9‎ C.+=1 D.x2=16y 解析:选B.因为M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8,所以M的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线,方程为-=1.‎ A项,直线x+y=5过点(5,0),满足题意,为“好曲线”;B项,x2+y2=9的圆心为(0,0),半径为3,与M的轨迹没有交点,不满足题意;C项,+=1的右顶点为(5,0),满足题意,为“好曲线”;D项,方程代入-=1,可得y-=1,即y2-9y+9=0,所以Δ>0,满足题意,为“好曲线”.‎ ‎6.在平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足向量在向量上的投影为-,则点P的轨迹方程是________.‎ 解析:由=-,知x+2y=-5,即x+2y+5=0.‎ 答案:x+2y+5=0‎ ‎7.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,0),B(2,2),若点C满足=+t(-),其中t∈R,则点C的轨迹方程是________.‎ 解析:设C(x,y),则=(x,y),+t(-)=(1+t,2t),所以消去参数t得点C的轨迹方程为y=2x-2.‎ 答案:y=2x-2‎ ‎8.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是________.‎ 解析:设抛物线焦点为F,过A,B,O作准线的垂线AA1,BB1,OO1,则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,所以|FA|+|FB|=4,故F点的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).所以抛物线的焦点轨迹方程为+=1(y≠0).‎ 答案:+=1(y≠0)‎ ‎9.如图所示,已知圆A:(x+2)2+y2=1与点B(2,0),分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.‎ ‎(1)△PAB的周长为10;‎ ‎(2)圆P与圆A外切,且过B点(P为动圆圆心);‎ ‎(3)圆P与圆A外切,且与直线x=1相切(P为动圆圆心).‎ 解:(1)根据题意,知|PA|+|PB|+|AB|=10,即|PA|+|PB|=6>4=|AB|,故P点轨迹是椭圆,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,b=.‎ 因此其轨迹方程为+=1(y≠0).‎ ‎(2)设圆P的半径为r,则|PA|=r+1,|PB|=r,‎ 因此|PA|-|PB|=1.‎ 由双曲线的定义知,P点的轨迹为双曲线的右支,‎ 且2a=1,2c=4,即a=,c=2,b=,因此其轨迹方程为4x2-y2=1.‎ ‎(3)依题意,知动点P到定点A的距离等于到定直线x=2的距离,故其轨迹为抛物线,且开口向左,p=4.‎ 因此其轨迹方程为y2=-8x.‎ ‎10.(2018·郑州市第一次质量预测)已知坐标平面上动点M(x,y)与两个定点P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|.‎ ‎(1)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;‎ ‎(2)记(1)中轨迹为C,过点N(-2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8,求直线l的方程.‎ 解:(1)由题意,得=5,即=5,‎ 化简,得x2+y2-2x-2y-23=0,‎ 所以点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25.‎ 轨迹是以(1,1)为圆心,以5为半径的圆.‎ ‎(2)当直线l的斜率不存在时,l:x=-2,‎ 此时所截得的线段长度为2=8,‎ 所以l:x=-2符合题意.‎ 当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-3=k(x+2),‎ 即kx-y+2k+3=0,圆心(1,1)到直线l的距离d=,‎ 由题意,得+42=52,解得k=.‎ 所以直线l的方程为x-y+=0,‎ 即5x-12y+46=0.‎ 综上,直线l的方程为x=-2或5x-12y+46=0.‎ ‎1.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,点M在AB上,且AM=,点P在平面ABCD内,且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为1,则动点P的轨迹是(  )‎ A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线 解析:选D.在平面ABCD内过点P作PF⊥AD,垂足为F,过点F在平面AA1D1D内作FE⊥A1D1,垂足为E,连接PE,则有PE⊥A1D1,即PE为点P到A1D1的距离.‎ 由题意知|PE|2-|PM|2=1,‎ 又因为|PE|2=|PF|2+|EF|2,所以|PF|2+|EF|2-|PM|2=1,‎ 即|PF|2=|PM|2,即|PF|=|PM|,‎ 所以点P满足到点M的距离等于点P到直线AD的距离.‎ 由抛物线的定义知点P的轨迹是以点M为焦点,AD为准线的抛物线,‎ 所以点P的轨迹为抛物线.‎ ‎2.如图,已知△ABC的两顶点坐标A(-1,0),B(1,0),圆E是△ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等),动点C的轨迹为曲线M.则曲线M的方程为________.‎ 解析:由题知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4>|AB|,所以曲线M是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点).设曲线M:+=1(a>b>0,y≠0),则a2=4,b2=a2-=3,所以曲线M:+=1(y≠0)为所求.‎ 答案:+=1(y≠0)‎ ‎3.(2018·唐山模拟)已知P为圆A:(x+1)2+y2=8上的动点,点B(1,0).线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M,记点M的轨迹为Γ.‎ ‎(1)求曲线Γ的方程;‎ ‎(2)当点P在第一象限,且cos∠BAP=时,求点M的坐标.‎ 解:(1)圆A的圆心为A(-1,0),半径等于2.‎ 由已知|MB|=|MP|,‎ 于是|MA|+|MB|=|MA|+|MP|=2>2=|AB|,‎ 故曲线Γ是以A,B为焦点,以2为长轴长的椭圆,‎ 即a=,c=1,b=1,‎ 所以曲线Γ的方程为+y2=1.‎ ‎(2)由cos∠BAP=,|AP|=2,得P.‎ 于是直线AP的方程为y=(x+1).‎ 由 整理得5x2+2x-7=0,解得x1=1,x2=-.‎ 由于点M在线段AP上,‎ 所以点M坐标为.‎ ‎4.(2018·安徽安庆模拟)已知抛物线x2=2py(p>0),F为其焦点,过点F的直线l交抛物线于A、B两点,过点B作x轴的垂线,交直线OA于点C,如图所示.‎ ‎(1)求点C的轨迹M的方程;‎ ‎(2)直线n是抛物线不与x轴重合的切线,切点为P,轨迹M与直线n交于点Q,求证:以线段PQ为直径的圆过点F.‎ 解:(1)依题意可得,直线l的斜率存在,故设其方程为y=kx+,又设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x,y),‎ 由⇒x2-2pkx-p2=0⇒x1·x2=-p2.‎ 易知直线OA:y=x=x,直线BC:x=x2,‎ 由得y==-,‎ 即点C的轨迹M的方程为y=-.‎ ‎(2)证明:由题意知直线n的斜率存在.‎ 设直线n的方程为y=k1x+m.‎ 由⇒x2-2pk1x-2pm=0⇒Δ=4p2k+8pm.‎ 因为直线n与抛物线相切,所以Δ=0⇒pk+2m=0,可得P(pk1,-m).‎ 又由⇒Q,‎ 所以·=·=-(p+2m)+pm+=0⇒FP⊥FQ,‎ 所以以线段PQ为直径的圆过点F.‎