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- 2021-06-16 发布
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第8讲 曲线与方程
1.曲线与方程
在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.
那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.
2.曲线的交点
设曲线C1的方程为F1(x,y)=0,曲线C2的方程为F2(x,y)=0,则C1,C2的交点坐标即为方程组的实数解,若此方程组无解,则两曲线无交点.
3.求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系;
(2)设点——设轨迹上的任一点P(x,y);
(3)列式——列出动点P所满足的关系式;
(4)代换——依条件式的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x,y的方程式,并化简;
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.( )
(2)方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线.( )
(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.( )
(4)方程y=与x=y2表示同一曲线.( )
(5)y=kx与x=y表示同一直线.( )
答案:(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
(教材习题改编)曲线C:xy=2上任一点到两坐标轴的距离之积为( )
A.1 B.2
C. D.4
解析:选B.设M(x,y)是曲线xy=2上任一点,则M到两坐标轴的距离之积为|x||y|=|xy|=2,故选B.
已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM
延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是( )
A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0
C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0
解析:选D.由题意知,M为PQ中点,设Q(x,y),则P为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0得2x-y+5=0.
(教材习题改编)已知方程ax2+by2=2的曲线经过点A和B(1,1),则曲线方程为________.
解析:由题意得解得
所以曲线方程为x2+y2=2,
即x2+y2=1.
答案:x2+y2=1
平面上有三个不同点A(-2,y),B,C(x,y),若⊥,则动点C的轨迹方程为________.
解析:=,=,
由⊥,得·=0,
即2x+·=0,
所以动点C的轨迹方程为y2=8x(x≠0).
答案:y2=8x(x≠0)
定义法求轨迹方程
[典例引领]
已知A(-5,0),B(5,0),动点P满足||,||,8成等差数列,则点P的轨迹方程为________.
【解析】 由已知得||-||=8,
所以点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支,
且a=4,b=3,c=5,
所以点P的轨迹方程为-=1(x≥4).
【答案】 -=1(x≥4)
若将本例中的条件“||,||,8”改为“||,||,8”,求点P的轨迹方程.
解:由已知得||-||=8,
所以点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的左支,且a=4,b=3,c=5,
所以点P的轨迹方程为-=1(x≤-4).
定义法求轨迹方程
(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据曲线的方程,写出所求的轨迹方程;
(2)利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.
[通关练习]
1.(2018·豫北名校联考)已知△ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为__________________.
解析:设A(x,y),由题意可知D.又因为|CD|=3,所以+=9,即(x-10)2+y2=36,由于A、B、C三点不共线,所以点A不能落在x轴上,即y≠0,所以点A的轨迹方程为(x-10)2+y2=36(y≠0).
答案:(x-10)2+y2=36(y≠0)
2.(2018·江西红色七校模拟)已知动圆C过点A(-2,0),且与圆M:(x-2)2+y2=64相内切.求动圆C的圆心的轨迹方程.
解:圆M:(x-2)2+y2=64,圆心M的坐标为(2,0),半径R=8.因为|AM|=4|AM|.
所以圆心C的轨迹是中心在原点,焦点为A,M,长轴长为8的椭圆,设其方程为+=1(a>b>0),则a=4,c=2.所以b2=a2-c2=12.
所以动圆C的圆心的轨迹方程为+=1.
直接法求轨迹方程(高频考点)
直接法求点的轨迹方程是求轨迹方程的一种重要方法,也是高考考查的重要内容.直接法求点的轨迹方程,在高考中有以下两个命题角度:
(1)已知动点满足的关系式求轨迹方程(或判断轨迹);
(2)无明确等量关系求轨迹方程.
[典例引领]
角度一 已知动点满足的关系式求轨迹方程(或
判断轨迹)
已知点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且·=·,则动点P的轨迹C的方程为( )
A.x2=4y B.y2=3x
C.x2=2y D.y2=4x
【解析】 设点P(x,y),则Q(x,-1).
因为·=·,
所以(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2),
即2(y+1)=x2-2(y-1),
整理得x2=4y,
所以动点P的轨迹C的方程为x2=4y.
【答案】 A
角度二 无明确等量关系求轨迹方程
(2018·河北衡水中学调研)已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:直角顶点C的轨迹方程.
【解】 法一:设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.
因为AC⊥BC,所以kAC·kBC=-1,又kAC=,kBC=,所以·=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.
因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).
法二:设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2.由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点).
所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).
直接法求曲线方程的一般步骤
(1)建立合理的直角坐标系;
(2)设出所求曲线上点的坐标,把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程;
(3)化简整理这个方程,检验并说明所求的方程就是曲线的方程.
直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程,要注意“翻译”的等价性.
[提醒] 对方程化简时,只要前后方程解集相同,证明一步可以省略,必要时可说明x,y的取值范围.
[通关练习]
1.已知|AB|=2,动点P满足|PA|=2|PB|,则动点P的轨迹方程为________.
解析:如图所示,以AB的中点O为原点,直线AB为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).
设P(x,y),因为|PA|=2|PB|,
所以=2,
整理得x2+y2-x+1=0,
即+y2=.
所以动点P的轨迹方程为+y2=.
答案:+y2=
2.如图,过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴非负半轴于A点,l2交y轴非负半轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.
解:设点M坐标为(x,y).
因为M(x,y)为线段AB中点,
所以点A,B的坐标分别为A(2x,0),B(0,2y).
当x≠1时,因为l1⊥l2,且l1,l2过点P(2,4),
所以kPA·kPB=-1,
即·=-1(x≠1),
化简得x+2y-5=0(x≠1).
当x=1时,A,B分别为(2,0),(0,4),
所以线段AB的中点为(1,2),
满足方程x+2y-5=0(x≥0,y≥0).
综上得M的轨迹方程为x+2y-5=0(x≥0,y≥0).
相关点法(代入法)求轨迹方程
[典例引领]
(2017·高考全国卷Ⅱ节选)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.求点P的轨迹方程.
【解】 设P(x,y),M(x0,y0),
则N(x0,0),=(x-x0,y),
=(0,y0).
由= 得x0=x,y0=y.
因为M(x0,y0)在C上,
所以+=1.
因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.
设F(1,0),M点在x轴上,P点在y轴上,且=2,⊥,当点P在y轴上运动时,点N的轨迹方程为________.
解析:设M(x0,0),P(0,y0),N(x,y),
⊥,=(x0,-y0),=(1,-y0),
所以(x0,-y0)·(1,-y0)=0,
所以x0+y=0.
由=2得(x-x0,y)=2(-x0,y0),
所以
即所以-x+=0,
即y2=4x.
故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.
答案:y2=4x
求轨迹方程的常用方法
(1)直接法:根据题目条件,直译为关于动点的几何关系,再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简,即把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程.
(2)定义法:若动点轨迹满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量,求出动点的轨迹方程.
(3)相关点法:有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运
动的,如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程.
易错防范
(1)轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,前者指曲线的形状、位置、大小等特征,后者指方程(包括范围).
(2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
1.方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的曲线是( )
A.一条直线和一条双曲线
B.两条双曲线
C.两个点
D.以上答案都不对
解析:选C.(x-y)2+(xy-1)2=0⇔
故或
2.到点F(0,4)的距离比到直线y=-5的距离小1的动点M的轨迹方程为( )
A.y=16x2 B.y=-16x2
C.x2=16y D.x2=-16y
解析:选C.由条件知:动点M到F(0,4)的距离与到直线y=-4的距离相等,所以点M的轨迹是以F(0,4)为焦点,直线y=-4为准线的抛物线,其标准方程为x2=16y.
3.已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N.若2=λ·,其中λ为常数,则动点M的轨迹不可能是( )
A.圆 B.椭圆
C.抛物线 D.双曲线
解析:选C.以AB所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴,建立坐标系,设M(x,y),A(-a,0),B(a,0),则N(x,0).
因为2=λ·,
所以y2=λ(x+a)(a-x),即λx2+y2=λa2,
当λ=1时,轨迹是圆;
当λ>0且λ≠1时,轨迹是椭圆;
当λ<0时,轨迹是双曲线;
当λ=0时,轨迹是直线.
综上,动点M的轨迹不可能是抛物线.
4.设线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,且|AB|=5,=+,则点M的轨迹方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
解析:选A.设M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),
由=+,得(x,y)=(x0,0)+(0,y0),
则解得
由|AB|=5,得+=25,
化简得+=1.
5.若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0),距离之差的绝对值为8,则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是( )
A.x+y=5 B.x2+y2=9
C.+=1 D.x2=16y
解析:选B.因为M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8,所以M的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线,方程为-=1.
A项,直线x+y=5过点(5,0),满足题意,为“好曲线”;B项,x2+y2=9的圆心为(0,0),半径为3,与M的轨迹没有交点,不满足题意;C项,+=1的右顶点为(5,0),满足题意,为“好曲线”;D项,方程代入-=1,可得y-=1,即y2-9y+9=0,所以Δ>0,满足题意,为“好曲线”.
6.在平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足向量在向量上的投影为-,则点P的轨迹方程是________.
解析:由=-,知x+2y=-5,即x+2y+5=0.
答案:x+2y+5=0
7.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,0),B(2,2),若点C满足=+t(-),其中t∈R,则点C的轨迹方程是________.
解析:设C(x,y),则=(x,y),+t(-)=(1+t,2t),所以消去参数t得点C的轨迹方程为y=2x-2.
答案:y=2x-2
8.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是________.
解析:设抛物线焦点为F,过A,B,O作准线的垂线AA1,BB1,OO1,则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,所以|FA|+|FB|=4,故F点的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).所以抛物线的焦点轨迹方程为+=1(y≠0).
答案:+=1(y≠0)
9.如图所示,已知圆A:(x+2)2+y2=1与点B(2,0),分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.
(1)△PAB的周长为10;
(2)圆P与圆A外切,且过B点(P为动圆圆心);
(3)圆P与圆A外切,且与直线x=1相切(P为动圆圆心).
解:(1)根据题意,知|PA|+|PB|+|AB|=10,即|PA|+|PB|=6>4=|AB|,故P点轨迹是椭圆,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,b=.
因此其轨迹方程为+=1(y≠0).
(2)设圆P的半径为r,则|PA|=r+1,|PB|=r,
因此|PA|-|PB|=1.
由双曲线的定义知,P点的轨迹为双曲线的右支,
且2a=1,2c=4,即a=,c=2,b=,因此其轨迹方程为4x2-y2=1.
(3)依题意,知动点P到定点A的距离等于到定直线x=2的距离,故其轨迹为抛物线,且开口向左,p=4.
因此其轨迹方程为y2=-8x.
10.(2018·郑州市第一次质量预测)已知坐标平面上动点M(x,y)与两个定点P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|.
(1)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;
(2)记(1)中轨迹为C,过点N(-2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8,求直线l的方程.
解:(1)由题意,得=5,即=5,
化简,得x2+y2-2x-2y-23=0,
所以点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25.
轨迹是以(1,1)为圆心,以5为半径的圆.
(2)当直线l的斜率不存在时,l:x=-2,
此时所截得的线段长度为2=8,
所以l:x=-2符合题意.
当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0,圆心(1,1)到直线l的距离d=,
由题意,得+42=52,解得k=.
所以直线l的方程为x-y+=0,
即5x-12y+46=0.
综上,直线l的方程为x=-2或5x-12y+46=0.
1.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,点M在AB上,且AM=,点P在平面ABCD内,且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为1,则动点P的轨迹是( )
A.直线 B.圆
C.双曲线 D.抛物线
解析:选D.在平面ABCD内过点P作PF⊥AD,垂足为F,过点F在平面AA1D1D内作FE⊥A1D1,垂足为E,连接PE,则有PE⊥A1D1,即PE为点P到A1D1的距离.
由题意知|PE|2-|PM|2=1,
又因为|PE|2=|PF|2+|EF|2,所以|PF|2+|EF|2-|PM|2=1,
即|PF|2=|PM|2,即|PF|=|PM|,
所以点P满足到点M的距离等于点P到直线AD的距离.
由抛物线的定义知点P的轨迹是以点M为焦点,AD为准线的抛物线,
所以点P的轨迹为抛物线.
2.如图,已知△ABC的两顶点坐标A(-1,0),B(1,0),圆E是△ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等),动点C的轨迹为曲线M.则曲线M的方程为________.
解析:由题知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4>|AB|,所以曲线M是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点).设曲线M:+=1(a>b>0,y≠0),则a2=4,b2=a2-=3,所以曲线M:+=1(y≠0)为所求.
答案:+=1(y≠0)
3.(2018·唐山模拟)已知P为圆A:(x+1)2+y2=8上的动点,点B(1,0).线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M,记点M的轨迹为Γ.
(1)求曲线Γ的方程;
(2)当点P在第一象限,且cos∠BAP=时,求点M的坐标.
解:(1)圆A的圆心为A(-1,0),半径等于2.
由已知|MB|=|MP|,
于是|MA|+|MB|=|MA|+|MP|=2>2=|AB|,
故曲线Γ是以A,B为焦点,以2为长轴长的椭圆,
即a=,c=1,b=1,
所以曲线Γ的方程为+y2=1.
(2)由cos∠BAP=,|AP|=2,得P.
于是直线AP的方程为y=(x+1).
由
整理得5x2+2x-7=0,解得x1=1,x2=-.
由于点M在线段AP上,
所以点M坐标为.
4.(2018·安徽安庆模拟)已知抛物线x2=2py(p>0),F为其焦点,过点F的直线l交抛物线于A、B两点,过点B作x轴的垂线,交直线OA于点C,如图所示.
(1)求点C的轨迹M的方程;
(2)直线n是抛物线不与x轴重合的切线,切点为P,轨迹M与直线n交于点Q,求证:以线段PQ为直径的圆过点F.
解:(1)依题意可得,直线l的斜率存在,故设其方程为y=kx+,又设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x,y),
由⇒x2-2pkx-p2=0⇒x1·x2=-p2.
易知直线OA:y=x=x,直线BC:x=x2,
由得y==-,
即点C的轨迹M的方程为y=-.
(2)证明:由题意知直线n的斜率存在.
设直线n的方程为y=k1x+m.
由⇒x2-2pk1x-2pm=0⇒Δ=4p2k+8pm.
因为直线n与抛物线相切,所以Δ=0⇒pk+2m=0,可得P(pk1,-m).
又由⇒Q,
所以·=·=-(p+2m)+pm+=0⇒FP⊥FQ,
所以以线段PQ为直径的圆过点F.