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- 2021-06-16 发布
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选修4-4 坐标系与参数方程
第1讲 坐标系
[最新考纲]
1.理解坐标系的作用.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
2.会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.
3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.
知 识 梳 理
1.极坐标系
(1)极坐标系的建立:在平面上取一个定点O,叫做极点,从O点引一条射线Ox,叫做极轴,再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个极坐标系.
设M是平面内一点,极点O与点M的距离OM叫做点M的极径,记为ρ,以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记作M(ρ,θ).
(2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(ρ,θ),则它们之间的关系为x=ρcos θ,y=ρsin_θ.另一种关系为ρ2=x2+y2,tan θ=.
2.直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin (θ0-α).
几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点:θ=θ0和θ=π-θ0;
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a;
(3)直线过M且平行于极轴:ρsin θ=b.
3.圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r的圆方程为
ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ-r2=0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)当圆心位于极点,半径为r:ρ=r;
(2)当圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acos_θ;
(3)当圆心位于M,半径为a:ρ=2asin_θ.
诊 断 自 测
1.点P的直角坐标为(-,),那么它的极坐标可表示为________.
解析 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式.
答案
2.若曲线的极坐标方程为ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________.
解析 ∵ρ=2sin θ+4cos θ,
∴ρ2=2ρsin θ+4ρcos θ.
∴x2+y2=2y+4x,
即x2+y2-2y-4x=0.
答案 x2+y2-4x-2y=0
3.(2018·西安五校一模)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ=2sin θ与ρcos θ=-1的交点的极坐标为________.
解析 ρ=2sin θ的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,ρcos θ
=-1的直角坐标方程为x=-1,联立方程,得解得即两曲线的交点为(-1,1),又0≤θ<2π,因此这两条曲线的交点的极坐标为.
答案
4.在极坐标系中,直线l的方程为ρsin θ=3,则点到直线l的距离为________.
解析 ∵直线l的极坐标方程可化为y=3,点化为直角坐标为(,1),
∴点到直线l的距离为2.
答案 2
5.在极坐标系中,圆ρ=4sin θ的圆心到直线θ=(ρ∈R)的距离是________.
解析 将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解,极坐标系中的圆ρ=4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为:x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4,其圆心为(0,2),直线θ=转化为平面直角坐标系中的方程为y=x,即x-3y=0.
∴圆心(0,2)到直线x-3y=0的距离为
=.
答案
考点一 极坐标与直角坐标的互化
【例1】 (1)把点M的极坐标化成直角坐标;
(2)把点M的直角坐标(-,-1)化成极坐标.
解 (1)∵x=-5cos =-,y=-5sin =-,
∴点M的直角坐标是.
(2)ρ===2,
tan θ==.
∵点M在第三象限,ρ>0,∴最小正角θ=.
因此,点M的极坐标是.
规律方法 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯一.
(2)在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性.
【训练1】 (1)把点M的极坐标化成直角坐标;
(2)把点P的直角坐标(,-)化成极坐标.(ρ>0,0≤θ<2π)
解 (1)x=8cos =-4,y=8sin =4,
因此,点M的直角坐标是(-4,4).
(2)ρ==2,tan θ==-,
又因为点在第四象限,得θ=.
因此,点P的极坐标为.
考点二 直角坐标方程与极坐标方程的互化
【例2】 在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M,N分别为曲线C与x轴,y轴的交点.
(1)写出曲线C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;
(2)设M,N的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
解 (1)∵ρcos=1,
∴ρcos θ·cos +ρsin θ·sin =1.
又,∴x+y=1.
即曲线C的直角坐标方程为x+y-2=0.
令y=0,则x=2;令x=0,则y=.
∴M(2,0),N.
∴M的极坐标为(2,0),N的极坐标为.
(2)M,N连线的中点P的直角坐标为,
P的极角为θ=.
∴直线OP的极坐标方程为θ=(ρ∈R).
规律方法 直角坐标方程与极坐标方程的互化,关键要掌握好互化公式,研究极坐标系下图形的性质,可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境.
【训练2】 ⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ.
(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过⊙O1,⊙O2交点的直线的直角坐标方程.
解 以极点的原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.
(1)ρ=4cos θ,两边同乘以ρ,得ρ2=4ρcos θ;
ρ=-4sin θ,两边同乘以ρ,得ρ2=-4ρsin θ.
由ρcos θ=x,ρsin θ=y,ρ2=x2+y2,
得⊙O1,⊙O2的直角坐标方程分别为
x2+y2-4x=0和x2+y2+4y=0.
(2)由
①-②得-4x-4y=0,即x+y=0为所求直线方程.
考点三 曲线极坐标方程的应用
【例3】 (2018·广州调研)在极坐标系中,求直线ρsin=2被圆ρ=4截得的弦长.
解 由ρsin=2,得(ρsin θ+ρcos θ)=2可化为x+y-2=0.圆ρ=4可化为x
2+y2=16,由圆中的弦长公式得:2=2=4.故所求弦长为4.
规律方法 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.
【训练3】 (2018·江苏卷)在极坐标系中,已知圆C经过点P(,),圆心为直线ρsin=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.
解 在ρsin=-中令θ=0,得ρ=1,
所以圆C的圆心坐标为(1,0).
因为圆C经过点P,
所以圆C的半径
PC= =1,
于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ.
因忽视极坐标系下点的极坐标不唯一性致误
【典例】 (10分)在极坐标系下,若点P(ρ,θ)的一个极坐标为,求以为坐标的不同的点的极坐标.
[错解展示]
甲:解 化为直角坐标为(-2,2),故该点与原点的中点坐标为(-1,),化为极坐标为.
乙:解 ∵ρ=4,θ=,故=2,=,
因此所求极坐标为.
[规范解答] ∵为点P(ρ,θ)的一个极坐标.
∴ρ=4或ρ=-4. (2分)
当ρ=4时,θ=2kπ+(k∈Z),
∴=2,=kπ+(k∈Z). (4分)
当ρ=-4时,θ=2kπ+(k∈Z),
∴=-2,=kπ+(k∈Z). (6分)
∴有四个不同的点:
P1,P2(k∈Z),
P3,P4(k∈Z) (10分)
[反思感悟] 甲生解法中将直角坐标系的中点坐标公式应用于极坐标系中的中点,事实上(ρ,θ)与的关系并不是点(ρ,θ)与极点的中点为,从几何意义上讲点应满足该点的极角为θ的,极径为ρ的.乙生解法中满足的几何意义,但由于极坐标系内点的极坐标的不唯一性,还应就点(ρ,θ)的其他形式的极坐标进行讨论.
【自主体验】
下列各点中与极坐标不表示同一个点的极坐标是________.
① ② ③ ④
解析 因为与表示同一点的坐标有或,其中k∈Z,所以易得只有②不同.
答案 ②
第2讲 参数方程
[最新考纲]
1.了解参数方程,了解参数的意义.
2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.
3.掌握直线的参数方程及参数的几何意义,能用直线的参数方程解决简单的相关问题.
知 识 梳 理
1.曲线的参数方程
在平面直角坐标系xOy中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变量t的函数
并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线的参数方程,其中变量t称为参数.
2.一些常见曲线的参数方程
(1)过点P0(x0,y0),且倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数).
(2)圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为(θ为参数).
(3)椭圆方程+=1(a>b>0)的参数方程为(θ为参数).
(4)抛物线方程y2=2px(p>0)的参数方程为(t为参数).
诊 断 自 测
1.极坐标方程ρ=cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是________.
①直线、直线;②直线、圆;③圆、圆;④圆、直线.
解析 ∵ρcos θ=x,∴cos θ=代入到ρ=cos θ,得ρ=,∴ρ2=x,∴x2+y2=x表示圆.又∵相加得x+y=1,表示直线.
答案 ④
2.若直线(t为实数)与直线4x+ky=1垂直,则常数k=________.
解析 参数方程所表示的直线方程为3x+2y=7,由此直线与直线4x+ky=1垂直可得-×=-1,解得k=-6.
答案 -6
3.(2018·北京卷)直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为________.
解析 直线方程可化为x+y-1=0,曲线方程可化为x2+y2=9,圆心(0,0)到直线x+y-1=0的距离d==<3.∴直线与圆相交有两个交点.
答案 2
4.已知直线l:(t为参数)上到点A(1,2)的距离为4的点的坐标为________.
解析 设点Q(x,y)为直线上的点,
则|QA|=
==4,
解之得,t=±2,所以Q(-3,6)或Q(5,-2).
答案 (-3,6)和(5,-2)
5.(2018·广东卷)已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为________.
解析 由ρ=2cos θ知,ρ2=2ρcos θ
所以x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,
故其参数方程为(θ为参数).
答案 (θ为参数)
考点一 参数方程与普通方程的互化
【例1】 把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线;
(1)(t为参数);
(2)(t为参数);
(3)(t为参数).
解 (1)由x=1+t得t=2x-2.
∴y=2+(2x-2).
∴x-y+2-=0,此方程表示直线.
(2)由y=2+t得t=y-2,∴x=1+(y-2)2.
即(y-2)2=x-1,此方程表示抛物线.
(3)
∴①2-②2得x2-y2=4,此方程表示双曲线.
规律方法 参数方程化为普通方程:化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法,不要忘了参数的范围.
【训练1】 将下列参数方程化为普通方程.
(1)(θ为参数);
(2)(t为参数).
解 (1)由(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=2-(1-sin 2θ),
得y2=2-x.又x=1-sin 2θ∈[0,2],
得所求的普通方程为y2=2-x,x∈[0,2].
(2)由参数方程得et=x+y,e-t=x-y,
∴(x+y)(x-y)=1,即x2-y2=1.
考点二 直线与圆参数方程的应用
【例2】 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=2sin θ.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)设圆C与直线l交于点A,B,若点P的坐标为(3,),求|PA|+|PB|.
解 (1)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ.
∴x2+y2=2y,即x2+(y-)2=5.
(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程.
得2+2=5,即t2-3t+4=0.
由于Δ=(3)2-4×4=2>0,故可设t1,t2是上述方程的两实根,
所以
又直线l过点P(3,),
故由上式及t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3.
规律方法 (1)过定点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数),t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0,y0)的数量,即t=|PP0|时为距离.使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2,则|P1P2|=|t1-t2|,P1P2的中点对应的参数为(t1+t2).
(2)对于形如(t为参数),当a2+b2≠1时,应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.
【训练2】 已知直线l的参数方程为(参数t∈R),圆 C的参数方程为(参数θ∈[0,2π]),求直线l被
圆C所截得的弦长.
解 由消参数后得普通方程为2x+y-6=0,
由消参数后得普通方程为(x-2)2+y2=4,显然圆心坐标为(2,0),半径为2.由于圆心到直线2x+y-6=0的距离为d==,
所以所求弦长为2 =.
考点三 极坐标、参数方程的综合应用
【例3】 已知P为半圆C:(θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与C的弧的长度均为.
(1)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标;
(2)求直线AM的参数方程.
解 (1)由已知,点M的极角为,且点M的极径等于,故点M的极坐标为.
(2)点M的直角坐标为,A(1,0).
故直线AM的参数方程为(t为参数).
规律方法 涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程.
【训练3】 (2018·福建卷)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点A的极坐标为(,),直线l的极坐标方程为ρcos(θ-)=a,且点A在直线l上.
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;
(2)圆C的参数方程为(α为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.
解 (1)由点A(,)在直线ρcos(θ-)=a上,可得a=.
所以直线l的方程可化为ρcos θ+ρsin θ=2,
从而直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,
所以圆C的圆心为(1,0),半径r=1,
因为圆心C到直线l的距离d==<1,
所以直线l与圆C相交.
转化思想在解题中的应用
【典例】 已知圆锥曲线(θ是参数)和定点A(0, ),F1、F2是圆锥曲线的左、右焦点.
(1)求经过点F1且垂直于直线AF2的直线l的参数方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AF2
的极坐标方程.
[审题视点] (1)先将圆锥曲线参数方程化为普通方程,求出F1的坐标,然后求出直线的倾斜角度数,再利用公式就能写出直线l的参数方程.(2)直线AF2是已知确定的直线,利用求极坐标方程的一般方法求解.
解 (1)圆锥曲线化为普通方程+=1,所以F1(-1,0),F2(1,0),则直线AF2的斜率k=-,于是经过点F1且垂直于直线AF2的直线l的斜率k′=,直线l的倾斜角是30°,
所以直线l的参数方程是(t为参数),
即(t为参数).
(2)直线AF2的斜率k=-,倾斜角是120°,
设P(ρ,θ)是直线AF2上任一点,
则=,ρsin(120°-θ)=sin 60°,
则ρsin θ+ρcos θ=.
[反思感悟] (1)本题考查了极坐标方程和参数方程的求法及应用.重点考查了转化与化归能力.(2)当用极坐标或参数方程研究问题不很熟练时,可以转化成我们比较熟悉的普通方程求解.(3)本题易错点是计算不准确,极坐标方程求解错误.
【自主体验】
已知直线l的参数方程为(t为参数),P是椭圆+y2=1上任意一点,求点P到直线l的距离的最大值.
解 将直线l的参数方程(t为参数)转化为普通方程为x+2y=0,因为P为椭圆+y2=1上任意一点,
故可设P(2cos θ,sin θ),其中θ∈R.
因此点P到直线l的距离
d==.
所以当θ=kπ+,k∈Z时,
d取得最大值.