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- 2021-06-16 发布
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讲练测之核心热点 【江苏版】
热点二十一 平面几何问题
【名师精讲指南篇】
【高考真题再现】
例1 【2013江苏高考】、分别与圆相切于、,经过圆心,且,求证:
.
[答案]连结,∵和分别与圆相切于、,∴,
又,∴,∴,而,
∴.
例2 【2014江苏高考】如图,是圆的直径,是圆上位于异侧的两点,证明
【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析:这两个角直接证明相等不太可能,我们可以通过第三个角过渡,即证明他们都与第三个角相等,在本题中一个等腰三角形说明,另一方面与是同弧所对的圆周角,相等,故结论得证.
试题解析:由题意,,又∵,∴,∴.
例3 【2015江苏高考】如图,在中,,的外接圆圆O的弦交于点D
求证:∽
【答案】详见解析
【热点深度剖析】
1. 江苏近几年的高考,几何证明选讲主要考查相似三角形的判定与性质定理、圆的切线的判定与性质定理、圆周角定理、弦切角定理、切割线定理和圆的内接四边形问题等..
2. 平行截割定理是平行线等分线段定理的一般情形,是研究相似形最重要和最基本的理论,其证明体现了化归的思想,把它应用在三角形上就得到了定理的一个重要推论,这个推论是判定三角形相似的理论基础。本讲的内容在初中已经通过观察、实验和操作的方法初步了解,这里不仅是对初中知识的深化,更侧重于逻辑推理与抽象思维.
3.预计16年考查平行线分线段成比例定理、相似三角形、射影定理在解决平面几何中应用的可能性较大.
【最新考纲解读】
内 容
要 求
备注
A
B
C
√
几何证明
选讲
相似三角形的判定与性质定理
对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次(在表中分别用A、B、C表示).
了解:要求对所列知识的含义有最基本的认识,并能解决相关的简单问题.
理解:要求对所列知识有较深刻的认识,并能解决有一定综合性的问题.
掌握:要求系统地掌握知识的内在联系,并能解决综合性较强的或较为困难的问题.
射影定理
√
圆的切线的判定与性质定理
√
圆周角定理,弦切角定理
√
相交弦定理、割线定理、切割线定理
√
圆内接四边形的判定与性质定理
√
【重点知识整合】
1、比例线段有关定理
(1)平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰。
(2)平分线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。
推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
2、相似三角形的判定及性质
(1)相似三角形的判定:
定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)。
判定定理1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。简述为:两角对应相等,两三角形相似。
判定定理2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。
判定定理3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。简述为:三边对应成比例,两三角形相似。
(2)相似三角形的性质:
性质1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比;
性质:2:相似三角形周长的比等于相似比;
性质3:相似三角形面积的比等于相似比的平方。
注:相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方。
3、直角三角形的射影定理
射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。
4、圆周角定理
圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。
圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数。
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等。
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。
5、圆内接四边形的性质与判定定理
定理1:圆的内接四边形的对角互补。
定理2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
圆内接四边形判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆。
推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆。
6、圆的切线的性质及判定定理
切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
7、弦切角的性质
弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
8、与圆有关的比例线段(圆幂定理)
iyuan u 相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。
资*源 库割线定理:从园外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
【应试技巧点拨】
一、1相似三角形的判定与性质的应用
判定两个三角形相似的方法:两角对应相等,两三角形相似;两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;三边对应成比例,两三角形相似;相似三角形的定义.
2证明线段成比例,若已知条件中没有平行线,但有三角形相似的条件(如角相等,有相等的比例式等),常考虑相似三角形的性质构造比例式或利用中间比求解.
3相似三角形的性质应用可用来考查与相似三角形相关的元素,如两个三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的面积等.
二、四点共圆的证明方法
(1)求证四边形的一个外角等于与它不相邻的内角;(2)当它们在一条线段同侧时,可证它们对此线段张角相等,也可以证明它们与某一定点距离相等;如两点在一条线段异侧,则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补。
三、平面几何中有关角与比例线段问题的求解方法
(1)与切线有关的角度问题,应考虑应用弦切角的性质定理求解;
(2)与切线有关的比例式或线段问题,应注意利用弦切角,确定三角形相似的条件,若条件不明显需添加辅助线.
(3)与圆有关的等积线段或成比例的线段,常利用圆周角或弦切角证明三角形相似,在相似三角形中寻找比例线段;也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例,在实际应用中,一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理,涉及两条割线就要想到割线定理,见到切线和割线时要注意应用切割线定理.
【考场经验分享】
1.目标要求:几何证明选讲主要考查相似三角形的判定与性质定理、圆的切线的判定与性质定理、圆周角定理、弦切角定理、切割线定理和圆的内接四边形问题等.
2.注意问题:证明过程严密性
3.经验分享:一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理,涉及两条割线就要想到割线定理,见到切线和割线时要注意应用切割线定理.
【名题精选练兵篇】
1.【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】[选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)
如图,是直角,圆与射线相切于点,与射线相交于两点.求证:平分.
【答案】详见解析
【解析】
试题分析:由是切线,是直角得,因此.半径 得,因此, 即平分.
2.【镇江市2016届高三年级第一次模拟考试】在直径是AB的半圆上有两点M,N,设AN与BM的交点是P.
求证:AP·AN+BP·BM=AB2.
(第21—A题图)
【答案】略.
【解析】证明:作PE⊥AB于E,
因为AB为直径,
所以∠ANB=∠AMB=90°(2分)
所以P,E,B,N四点共圆,P,E,A,M四点共圆.(6分)
(8分)
(1)+(2)得AB(AE+BE)=AP·AN+BP·BM(9分)
即AP·AN+BP·BM=AB2(10分)
(第21题A图)
3.【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】(选修4—1:几何证明选讲)
如图,为⊙的直径,直线与⊙相切于点,,,、为垂足,连接. 若,,求的长.
【答案】
【解析】
试题分析:由弦切角定理得,从而可得,即,因此可得,即,
,再由三角形相似得,解出
试题解析:因为与相切于,所以, …………2分
又因为为的直径,所以.
又,所以,所以,所以.…4分
又,,所以.
所以,所以, ……… 6分
又,所以. ………10分
4.【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】如图,四边形 ABDC内接于圆,BD=CD,过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点.
(1)求证:;
(2)若BD⊥AB,BC=BE,AE=2,求AB的长.
资*源 库【答案】(1)详见解析(2)
(2)解:因为BD⊥AB,所以AC⊥CD,AC=AB. …………………………………6分
因为BC=BE,所以∠BEC=∠BCE=∠EAC,所以AC=EC. ………………………7分
由切割线定理得EC2=AEBE,即AB2=AE( AE-AB),
即AB2+2 AB-4=0,解得AB=. …………………………………10分
5.【泰州市2016届高三第一次模拟考试】(几何证明选讲,本题满分10分)如图,圆是的外接圆,点是劣弧的中点,连结并延长,与以为切点的切线交于点,求证:.
【答案】详见解析
【解析】
试题分析:由弦切角定理得,因此~,从而,又等弧对等弦,所以,即.
试题解析:证明:连结,因为为圆的切线,
所以,
又是公共角,所以~, ……………5分
所以 ,
因为点是劣弧的中点,所以,即. ……………10分
6.【连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015一模】选修4-1:几何证明选讲
(本小题满分10分)
如图,0是△ABC的外接圆,AB = AC,延长BC到点D,使得CD = AC,连结AD交O于点E.求证:BE平分ABC
【答案】详见解析
【解析】
试题分析:证明BE平分ABC就是证明,可利用等弦对等角,,因为,所以,,从而
试题解析:因为,所以.………………………………………………2分
因为,所以.……………………………………………4分
因为,所以.………………………………………6分
因为, ………………………………………8分
所以,即平分.………………………………………10分
考点:等弦对等角
7.【南京盐城2015一模】(选修4—1:几何证明选讲)
如图,已知点为的斜边的延长线上一点,且与的外接圆相切,过点作的垂线,垂足为,若,,求线段的长.
【答案】
【解析】
资*源 库 iyuan u
考点:切割线定理
8.【泰州2015一模】(本小题满分10分,几何证明选讲)
如图,与圆相切于点,是的中点,过点引圆的割线,与圆相交于点
,连结.
求证:.
【答案】详见解析
【解析】
考点:切割线定理
9.【苏州2015一模】选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分)
如图,过圆O外一点P作圆O的切线PA,切点为A,连结OP与圆O交于点C,过C作AP的算线,垂足为D,若PA=12cm,PC=6cm,求CD的长。
【答案】
【解析】
试题分析:由切割线定理得 AP = PC × (PC + 2r ) 解得 r=9.再根据OA∥CD得
,从而CD
试题解析:设⊙O 半径为 r,由切割线定理得 AP = PC × (PC + 2r )
即12 = 6 ´ (6 + 2r ) ,解得 r=9.…………………………………………4 分
连结 OA,则有 OA ^ AP ,
又 CD ^ AP ,所以 OA∥CD.…………………………………………7 分
所以,即 CD cm.………………10 分
考点:切割线定理
10.【常州2015一模】选修4—1:几何证明选讲
已知AB是圆O的直径,P是上半圆上的任意一点,PC是的平分线,是下半圆的中点.
求证:直线PC经过点.
【答案】详见解析
【解析】
考点:等弧对应等角
11.【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】如图,,是半径为的圆的两条弦,它们相交于的中点,若, ,求的长.
【答案】
【解析】
试题分析:相交弦定理的直接应用.
试题解析:为中点,,, ………5分
又,由,得. ………10分
12.如图,点为锐角的内切圆圆心,过点作直线的垂线,垂足为,圆与边相切于点.若,求的度数.
【答案】.
【解析】
试题分析:可判断四点共圆,得,问题转化为求的度数,而,从而问题得以解决.
试题解析:由圆与边相切于点,得,因为,得,
所以四点共圆,所以. ……………………………………5分
又,
所以,由,得.……………10分
13.如图,MN为两圆的公共弦,一条直线与两圆及公共弦依次交于A,B,C,D,E,求证:AB·CD = BC·DE.
【答案】详见解析
【解析】
试题分析:由相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等,得,利用等量代换,得到结合要证的结论,将转化为变形即得结论.
试题解析:证明:由相交弦定理,得
……………3分
即……………6分
也即
……………10分
14如图,已知与圆相切于点,直径,连接交于点
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求证:.
【答案】证明:(Ⅰ)解法一:
∵PA与圆O相切于点A,∴
∵BC是圆O的直径,∴
∴∵,∴
又∵∴
∴PA=PD
解法二:
连接OA
【名师原创测试篇】
1.如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,DE⊥AC,交AC的延长线于点E,OE交AD于点F。
(I)求证:DE是⊙O的切线;
(II)若的值.
【答案】
【解析】连结OD,可得∠ODA=∠OAD=∠DAC …………………2分
∴OD//AE 又AE⊥DE …………………………………3分
∴OE⊥OD,又OD为半径
∴DE是的⊙O切线 ………………………5分
(II)解:过D作DH⊥AB于H,
则有∠DOH=∠CAB
…………6分
设OD=5x,则AB=10x,OH=2x,
由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x ……………8分
又由△AEF∽△DOF 可得
……………………………………………………10分
2.如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆.
(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;
(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.
解析:(1)因为CD为△ABC外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知=,故△CDB∽△AEF,
所以
∠DBC=∠EFA.因为B,E,F,C四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,
故∠EFA=∠CFE=90°.
所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圆的直径.
(2) 连结CE,因为∠CBE=90°,所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC2=DB·BA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.而DC2=DB·DA=3DB2,故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.
3.如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上两点,AC与BD相交于点E,GC,GD是圆O的切线,点F在DG的延长线上,且DG=GF.求证:
(1)D、E、C、F四点共圆;
(2)GE⊥AB.
.
(Ⅱ)延长GE交AB于H.
∵GD=GC=GF,∴点G是经过D,E,C,F四点的圆的圆心.
∴GE=GC,∴∠GCE=∠GEC. 又∵∠GCE+∠3=90°,∠1=∠3,
∴∠GEC+∠3=90°,∴∠AEH+∠1=90°,
∴∠EHA=90°,即GE⊥AB.
4.如图,⊙O和⊙O′相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连接DB并延长交⊙O于点E.证明:
(1)AC·BD=AD·AB;
(2)AC=AE.
解析:(1)由AC与⊙O′相切于A,得∠CAB=∠ADB,同理∠ACB=∠DAB,所以△ACB∽△DAB.
从而=,即AC·BD=AD·AB.
(2)由AD与⊙O相切于A,得∠AED=∠BAD.
又∠ADE=∠BDA,得△EAD∽△ABD.从而=,即AE·BD=AD·AB.
由结合(1)的结论知,AC=AE.
5.如图,的半径垂直于直径,为上一点,的延长线交于点, 过点的切线交的延长线于点.
【答案】(1)连结ON.因为PN切⊙O于N,所以,
所以.
因为,所以.
因为于O,所以,
所以,所以.
所以
(2),,.
因为,
所以