【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第4章第6节正弦定理、余弦定理学案 11页

第六节　正弦定理、余弦定理 ‎[最新考纲]　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．‎ ‎1．正弦、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R.‎ a2＝b2＋c2－2bccos_A；‎ b2＝c2＋a2－2cacos_B；‎ c2＝a2＋b2－2abcos_C 变形 ‎(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，‎ c＝2Rsin C；‎ ‎(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；‎ ‎(3)＝＝2R.‎ cos A＝；‎ cos B＝；‎ cos C＝ ‎2．三角形常用面积公式 ‎(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；‎ ‎(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；‎ ‎(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．‎ ‎1．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.‎ ‎2．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；‎ b＝acos C＋ccos A；‎ c＝bcos A＋acos B.‎ ‎3．内角和公式的变形 ‎(1)sin(A＋B)＝sin C；‎ ‎(2)cos(A＋B)＝－cos C.‎ ‎4．角平分线定理：‎ 在△ABC中，若AD是角A的平分线，如图，则＝.‎ 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　)‎ ‎(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.(　　)‎ ‎(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　)‎ ‎(4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ 二、教材改编 ‎1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　)‎ A．2　 B．1‎ C． D． D　[由＝得b＝＝＝×2＝.]‎ ‎2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有(　　)‎ A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定 B　[∵bsin A＝24sin 45°＝12，‎ ‎∴12＜18＜24，即bsin A＜a＜b.‎ ‎∴此三角形有两解．]‎ ‎3．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________．‎ 等腰三角形或直角三角形　[由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin ‎2A＝sin 2B，‎ 所以‎2A＝2B或‎2A＝π－2B，‎ 即A＝B或A＋B＝，‎ 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]‎ ‎4．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于_____．‎ ‎2　[因为＝，‎ 所以sin B＝1，所以 B＝90°，‎ 所以AB＝2，‎ 所以S△ABC＝×2×2＝2.]‎ 考点1　利用正、余弦定理解三角形问题 ‎　解三角形的常见题型及求解方法 ‎(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c.‎ ‎(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C.‎ ‎(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.‎ ‎(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由＝可求出c，而通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．‎ ‎　(1)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别 为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)‎ A．6　 B．5‎ C．4 D．3‎ ‎(2)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin‎2A－sin Bsin C.‎ ‎①求A；‎ ‎②若a＋b＝‎2c，求sin C.‎ ‎(1)A　[∵asin A－bsin B＝4csin C，‎ ‎∴由正弦定理得a2－b2＝‎4c2，即a2＝‎4c2＋b2.‎ 由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，∴＝6.‎ 故选A.]‎ ‎(2)[解]　①由已知得sin2B＋sin‎2C－sin‎2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.‎ 由余弦定理得cos A＝＝.‎ 因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.‎ ‎②由①知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－.‎ 由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝，‎ 故sin C＝sin(C＋60°－60°)‎ ‎＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°‎ ‎＝.‎ ‎　解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据．‎ ‎[教师备选例题]‎ ‎(2018·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(‎2A－B)的值．‎ ‎[解]　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，‎ 可得bsin A＝asin B，‎ 又由bsin A＝acos，得asin B＝acos，‎ 即sin B＝cos，可得tan B＝.‎ 又因为B∈(0，π)，可得B＝.‎ ‎(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.‎ 由bsin A＝acos，可得sin A＝.‎ 因为a＜c，故cos A＝.‎ 因此sin ‎2A＝2sin Acos A＝，‎ cos ‎2A＝2cos‎2A－1＝，‎ 所以，sin(‎2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝×－×＝.‎ ‎　1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝________.‎ 　[∵bsin A＋acos B＝0，∴＝.由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝.]‎ ‎2．在△ABC中，AB＝4，AC＝7，BC边上中线AD＝，则BC＝________.‎ ‎9　[设BD＝DC＝x，∠ADC＝α，∠ADB＝π－α，‎ 在△ADC中，72＝x2＋2－2x×cos α，①‎ 在△ABD中，42＝x2＋2－2x×cos(π－α)，②‎ ‎①＋②得x＝，∴BC＝9.]‎ ‎3．(2019·贵阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.‎ ‎(1)求边长a；‎ ‎(2)求AB边上的高CD的长．‎ ‎[解]　(1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4，‎ 由余弦定理cos C＝得cos 120°＝，即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去)，所以a＝3.‎ ‎(2)法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，‎ 由三角形的面积公式得 absin∠ACB＝c×CD，‎ 所以CD＝＝＝，‎ 即AB边上的高CD＝.‎ 法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，‎ 由正弦定理得＝＝，‎ 即sin A＝，‎ 在Rt△ACD中，CD＝ACsin A＝5×＝，‎ 即AB边上的高CD＝.‎ 考点2　与三角形面积有关的问题 ‎　三角形面积公式的应用原则 ‎(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A ‎，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．‎ ‎(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．‎ ‎　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.‎ ‎(1)求c；‎ ‎(2)[一题多解]设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．‎ ‎[解]　(1)由已知条件可得tan A＝－，A∈(0，π)，所以A＝，在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos ，即c2＋‎2c－24＝0，‎ 解得c＝－6(舍去)，或c＝4.‎ ‎(2)法一：如图，由题设可得∠CAD＝，‎ 所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝，‎ 故△ABD面积与△ACD面积的比值为＝1，又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，‎ 所以△ABD的面积为.‎ 法二：由余弦定理得cos C＝，‎ 在Rt△ACD中，cos C＝，‎ 所以CD＝，所以AD＝，DB＝CD＝，‎ 所以S△ABD＝S△ACD＝×2××sin C＝×＝.‎ 法三：∠BAD＝，由余弦定理得cos C＝，‎ 所以CD＝，所以AD＝，‎ 所以S△ABD＝×4××sin∠DAB＝.‎ ‎　(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积；(3)若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解．‎ ‎[教师备选例题]‎ 已知△ABC的面积为3，AC＝2，BC＝6，延长BC至D，使∠ADC＝45°.‎ ‎(1)求AB的长；‎ ‎(2)求△ACD的面积．‎ ‎[解]　(1)因为S△ABC＝×6×2×sin∠ACB＝3，所以sin∠ACB＝，∠ACB＝30°或150°，‎ 又∠ACB＞∠ADC，且∠ADC＝45°，所以∠ACB＝150°，‎ 在△ABC中，由余弦定理得AB2＝12＋36－2×2×6cos 150°＝84，所以AB＝＝2.‎ ‎(2)在△ACD中，因为∠ACB＝150°，∠ADC＝45°，‎ 所以∠CAD＝105°，‎ 由正弦定理得＝，‎ 所以CD＝3＋，‎ 又∠ACD＝180°－150°＝30°，‎ 所以S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD＝×2×(3＋)×＝.‎ ‎　1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c.若b＝6，a＝‎2c，B＝，则△ABC的面积为____________．‎ ‎6　[法一：因为a＝‎2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(‎2c)2＋c2－2×‎2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsin B＝×4×2×sin ＝6.‎ 法二：因为a＝‎2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(‎2c)2＋c2－2×‎2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6.]‎ ‎2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.‎ ‎(1)证明：A＝2B；‎ ‎(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．‎ ‎[解]　(1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)‎ ‎＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，‎ 于是sin B＝sin(A－B)．‎ 又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，‎ 所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，‎ 因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.‎ ‎(2)由S＝，得absin C＝，‎ 故有sin Bsin C＝sin A＝sin 2B＝sin Bcos B，‎ 由sin B≠0，得sin C＝cos B.‎ 又B，C∈(0，π)．所以C＝±B.‎ 当B＋C＝时，A＝；‎ 当C－B＝时，A＝.‎ 综上，A＝或A＝.‎ 考点3　判断三角形的形状 ‎　判断三角形形状的2种思路 ‎(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．‎ ‎(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．‎ ‎　设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 B　[由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin‎2A，‎ ‎∴sin(B＋C)＝sin‎2A，‎ 即sin(π－A)＝sin‎2A，sin A＝sin‎2A.‎ ‎∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，‎ 即A＝，∴△ABC为直角三角形．]‎ ‎[母题探究]‎ ‎1．(变条件)本例中，若将条件变为2sin Acos B＝sin C，判断△ABC的形状．‎ ‎[解]　∵2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，‎ ‎∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，‎ ‎∴sin(A－B)＝0.‎ 又A，B为△ABC的内角．‎ ‎∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．‎ ‎2．(变条件)本例中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断△ABC的形状．‎ ‎[解]　∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝，‎ 又0＜C＜π，∴C＝，‎ 又由2cos Asin B＝sin C得sin(B－A)＝0，∴A＝B，‎ 故△ABC为等边三角形．‎ ‎　在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应提取公因式，以免漏解．‎ ‎　1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是(　　)‎ A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 C　[因为＝，所以＝.所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝.因为A∈(0，π)，所以A＝.所以△ABC是等边三角形．]‎ ‎2．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝‎2c，则△ABC的形状是(　　)‎ A．等边三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 C　[因为＋＝‎2c，所以由正弦定理可得＋＝2sin C，而＋≥2＝2，当且仅当sin A＝sin B时取等号．所以2sin C≥2，即sin C≥1.又sin C≤1，故可得sin C＝1，所以C＝90°.又因为sin A＝sin B，所以A＝B.故三角形为等腰直角三角形．故选C.]‎