数学北师大版（2019）必修第二册：6-5-1 直线与平面垂直 学案与作业 13页

§5 垂 直 关 系 5.1 直线与平面垂直 (15 分钟 30 分) 1.下列说法正确的是 ( ) A.垂直于同一条直线的两直线平行 B.垂直于同一条直线的两直线垂直 C.垂直于同一个平面的两直线平行 D.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行 【解析】选 C.垂直于同一条直线的两直线可能平行、可能相交、可能 异面,故 A,B错误;由线面垂直的性质定理知 C 正确;D中这条直线可能 在平面内,故 D错误. 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线 l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1,则有 ( ) A.B1B⊥l B.B1B∥l C.B1B 与 l 异面 D.B1B 与 l 相交 【解析】选 B.因为 B1B⊥平面 A1C1,又 l⊥平面 A1C1,则 l∥B1B. 3.如图,▱ADEF 的边 AF⊥平面 ABCD,且 AF=2,CD=3,则 CE= ( ) A.2 B.3 C. D. 【解析】选 D.因为四边形 ADEF 为平行四边形, 所以 AF∥DE 且 AF=DE. 因为 AF⊥平面 ABCD,所以 DE⊥平面 ABCD. 所以 DE⊥DC. 因为 AF=2,所以 DE=2. 又 CD=3,所以 CE= = = . 4.一条与平面α相交的线段,其长度为 10 cm,两端点到平面的距离分 别是 2 cm,3 cm,这条线段与平面α所成的角大小是________. 【解析】如图,作出 AC⊥α,BD⊥α,则 AC∥BD,AC,BD确定的平面与平 面α交于 CD,且 CD与 AB 相交于 O,AB=10,AC=3,BD=2,则 AO=6,BO=4,所 以∠AOC=∠BOD=30°. 答案:30° 5.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E 是 BC1的中点,则直线 DE 与平面 ABCD 所成角的正切值为________. 【解析】取 BC的中点 F,连接 EF,DF. 则 EF∥C1C,且 EF= C1C=1. 又因为 C1C⊥平面 ABCD,所以 EF⊥平面 ABCD. 所以∠EDF 为直线 DE 与平面 ABCD 所成的角. 又因为 DF= = , 所以 tan∠EDF= = = . 答案: 6.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥ 平面 BB1C1C. (1)证明:B1C⊥AB; (2)若 AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求点 B1到平面 ABC 的距离. 【解析】(1)连接 BC1,则 O为 B1C 与 BC1的交点. 因为侧面 BB1C1C 为菱形,所以 B1C⊥BC1. 又 AO⊥平面 BB1C1C,所以 B1C⊥AO. 由于 BC1∩AO=O,故 B1C⊥平面 ABO. 又因为 AB⊂平面 ABO,所以 B1C⊥AB. (2)作 OD⊥BC,垂足为 D,连接 AD.作 OH⊥AD,垂足为 H. 由于 BC⊥AO,BC⊥OD,且 AO∩OD=O, 故 BC⊥平面 AOD,所以 OH⊥BC. 又 OH⊥AD,且 AD∩BC=D,所以 OH⊥平面 ABC. 因为∠CBB1=60°,所以△CBB1为等边三角形,又 BC=1,可得 OD= . 因为 AC⊥AB1,所以 OA= B1C= . 由 OH·AD=OD·OA,且 AD= = , 得 OH= . 又 O为 B1C 的中点, 所以点 B1到平面 ABC 的距离为 2OH= . (30 分钟 60 分) 一、单选题(每小题 5分,共 20 分) 1.正方体 ABCD-A1B1C1D1中与 AD1垂直的平面是 ( ) A.平面 DD1C1C B.平面 A1DB C.平面 A1B1C1D1 D.平面 A1DB1 【解析】选 D.因为 AD1⊥A1D,AD1⊥A1B1,A1D∩A1B1=A1,所以 AD1⊥平面 A1DB1. 2.如图,α∩β=l,点 A,C∈α,点 B∈β,且 BA⊥α,BC⊥β,那么直线 l 与直线 AC的关系是 ( ) A.异面 B.平行 C.垂直 D.不确定 【解析】选 C.因为 BA⊥α,α∩β=l,l⊂α,所以 BA⊥l. 同理 BC⊥l.又 BA∩BC=B,所以 l⊥平面 ABC.因为 AC⊂平面 ABC,所以 l ⊥AC. 3.(2020·新高考全国Ⅰ卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利 用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个 球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成 角,点 A处的水平面是指过点 A且与 OA垂直的平面,在点 A处放置一个 日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点 A 处的纬度为北纬 40°,则晷针 与点 A 处水平面所成的角为 ( ) A.20° B.40° C.50° D.90° 【命题意图】本题考查直线与平面所成的角、线面垂直的定义以及数 学文化,考查学生的空间想象能力,体现了直观想象和数学运算等核心 素养. 【解析】选 B. 晷针与晷面垂直,而晷面与赤道所在平面平行,所以晷针 与赤道所在平面垂直,进而可知晷针与 OA的夹角是 50°,又 OA 垂直点 A 处的水平面,则晷针与点 A 处的水平面所成的角为 40°. 【补偿训练】 1.已知在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,则点 C 到平面 BDD1B1的距 离为 ( ) A.1 B. C.2 D.2 【解析】选 B.如图,连接 AC,DB 交于点 O, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, 因为 DB⊥AC,BB1⊥AC,BB1∩DB=B, 所以 AC⊥平面 BDD1B1. 所以点 C到平面 BDD1B1的距离为 CO, CO= AC= . 2.在△ABC 中∠ACB=90°,AB=8,∠BAC=60°,PC⊥平面 ABC,PC=4,M 是 AB 边上的一动点,则 PM 的最小值为 ( ) A.2 B.7 C. D. 【解析】选 A.如图所示, 因为 PC⊥平面 ABC,所以 PC⊥ CM,则△ PCM 是直角三角形,故 PM 2 =PC 2 +CM 2 , 所以当 CM⊥AB 时,CM 最小, 此时 PM 也最小.由条件知 AC=4,BC=4 , 故 CM 的最小值为 2 , 又 PC=4,则 PM 的最小值为 =2 . 4.如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为 G,H.为使 PQ⊥GH,则需增加的一个条件是 ( ) A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH 【解析】选 B.因为 EG⊥平面α,PQ⊂平面α, 所以 EG⊥PQ.若 EF⊥平面β,则由 PQ⊂平面β,得 EF⊥PQ. 又 EG 与 EF 为相交直线,所以 PQ⊥平面 EFHG,所以 PQ⊥GH. 【误区警示】做此题进行加条件时,四个选项需要逐一分析,要认真领 会线面垂直的性质和判定定理的内容. 二、多选题(每小题 5分,共 10 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的得 0 分) 5.下列命题正确的是 ( ) A. ⇒b⊥α B. ⇒a∥b C. ⇒b∥α D. ⇒b⊥α 【解析】选 AB.由性质定理可得 A,B正确. 6.如图,四棱锥 S-ABCD 底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中正 确的有 ( ) A.AC⊥SB B.AB∥平面 SCD C.SA 与平面 ABCD 所成的角是∠SAD D.AB 与 SC 所成的角等于 DC与 SC 所成的角 【解析】选 ABCD.因为 SD⊥平面 ABCD,AC⊂平面 ABCD,所以 SD⊥AC. 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 BD⊥AC, 又 SD∩BD=D,所以 AC⊥平面 SBD,而 SB⊂平面SBD,所以 AC⊥SB,故①正 确. 因为 AB∥CD,AB⊄ 平面 SDC,CD⊂平面 SDC, 所以 AB∥平面 SCD,故②正确. 因为 SD⊥平面 ABCD,所以 SA 在底面上的射影为 AD, 所以 SA 与底面 ABCD 所成的角为∠SAD,③正确. 因为 AB∥CD,故④也正确. 三、填空题(每小题 5分,共 10 分) 7.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB1 与平面 ADD1A1 所成的角等于 ________;AB1与平面 DCC1D1所成的角等于________. 【解析】∠B1AA1为 AB1与平面 ADD1A1所成的角,即 45°;AB1与平面 DCC1D1 平行,即所成的角为 0°. 答案:45° 0° 【补偿训练】 在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,当底面四边形 ABCD 满足条件 ________时,有 A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考 虑所有可能的情况). 【解析】当 BD⊥AC 时,BD⊥AA1,AC∩AA1=A, 所以 BD⊥平面 AA1C,从而 BD⊥A1C, 又 B1D1∥BD,所以 A1C⊥B1D1. 答案:BD⊥AC 8.已知 m,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面. ①若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α; ②若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n; ③若 m⊂α,n⊂β,且α∥β,则 m∥n; ④若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面.其中为真命题的是 ________.(填序号) 【解析】①若 m∥α,m⊥n,则 n 与α位置关系不确定,故为假命题. ②若 n∥α,则α内存在直线 l与 n平行.因为 m⊥α,所以 m⊥l,所以 m ⊥n.故为真命题. ③若 m⊂α,n⊂β,且α∥β,则 m,n 可能异面.故为假命题. ④原命题的逆否命题为“若 m 与 n 垂直于同一平面,则 m,n 平行”,为 真命题,所以原命题为真命题,所以②④为真命题. 答案:②④ 四、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧棱长为 2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D 是 A1B1的中点,F是 BB1上的动点,AB1,DF 交于点 E,要使 AB1⊥平面 C1DF, 求线段 B1F 的长. 【解析】设 B1F=x,因为 AB1⊥平面 C1DF,DF⊂平面 C1DF,所以 AB1⊥DF. 由已知可得 A1B1= . 设 Rt△AA1B1斜边 AB1上的高为 h,则 DE= h. 又 2× =h ,所以 h= , DE= . 在 Rt△DB1E 中,B1E= = . 在Rt△DB1F中,由面积相等得 × = x,解得x= ,即线段 B1F 的长为 . 10.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形,PD⊥底面 ABCD.设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l. 证明:l⊥平面 PDC. 【证明】在正方形 ABCD 中,AD∥BC, 因为 AD⊄平面 PBC,BC⊂平面 PBC, 所以 AD∥平面 PBC, 又因为 AD⊂平面 PAD,平面 PAD∩平面 PBC=l,所以 AD∥l, 因为在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,所以AD⊥DC,所以 l⊥DC, 且 PD⊥平面 ABCD,所以 AD⊥PD,所以 l⊥PD, 因为 CD∩PD=D 所以 l⊥平面 PDC. 如图,直升机上一点 P 在地面α上的正射影是点 A(即 PA⊥α),从 点 P看地平面上一物体B(不同于 A),直线 PB垂直于飞机玻璃窗所在的 平面β. 求证:平面β必与平面α相交. 【证明】假设平面α与平面β平行. 因为 PA⊥平面α,所以 PA⊥平面β. 因为 PB⊥平面β,由线面垂直的性质定理,可得 PA∥PB,与已知 PA∩PB=P 矛盾, 所以平面β必与平面α相交. 【补偿训练】 如图,AEC是半径为a的半圆,AC为直径,点 E为弧AC的中点,点B 和点 C 为线段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FC⊥平面 BED,FB= a. (1)证明:EB⊥FD; (2)求点 B 到平面 FED 的距离. 【解析】(1)因为 FC⊥平面 BED,BE⊂平面 BED, 所以 EB⊥FC.又点 E 为弧 AC 的中点,B 为直径 AC 的中点,所以 EB⊥BC. 又因为 FC∩BC=C,所以 EB⊥平面 FBD. 因为 FD⊂平面 FBD,所以 EB⊥FD. (2)如图,在平面BEC内过C作CH⊥ED,连接FH.则由FC⊥平面BED知,ED ⊥平面 FCH. 因为 Rt△DHC∽Rt△DBE,所以 = . 在 Rt△DBE 中, DE= = = a, 所以 CH= = = a. 因为 FB= a,BC=a,所以 FC=2a. 在平面 FCH 内过 C作 CK⊥FH, 则 CK⊥平面 FED, 因为 FH 2 =FC 2 +CH 2 =4a 2 + = a 2 , 所以 FH= a. 所以 CK= = = a. 因为 C 是 BD 的中点, 所以 B 到平面 FED 的距离为 2CK= a. 关闭 Word 文档返回原板块