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  • 2021-06-16 发布

高考数学玩转压轴题专题2_5最值位置不迷惑单调区间始与末1

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专题 2.5 最值位置不迷惑 单调区间始与末 【题型综述】 函数的最值 函数的最值,即函数图象上最高点的纵坐标是最大值,图象上最低点的纵坐标是最小值,对于最值,我 们有如下结论:一般地,如果在区间[ , ]a b 上函数  y f x 的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有 最大值与最小值. 设函数  f x 在[ , ]a b 上连续,在 ( , )a b 内可导,求  f x 在[ , ]a b 上的最大值与最小值的步骤为: (1)求  f x 在 ( , )a b 内的极值; (2)将函数  f x 的各极值与端点处的函数值 ( )f a , ( )f b 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一 个是最小值. 函数的最值与极值的关系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言,最值是对函数的定义区间[ , ]a b 的整体而言; (2)在函数的定义区间[ , ]a b 内,极大(小)值可能有多个(或者没有),但最大(小)值只有一个(或 者没有); (3)函数 f (x)的极值点不能是区间的端点,而最值点可以是区间的端点; (4)对于可导函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 【典例指引】 例 1.已知函数   cosxf x e x x  . (1)求曲线  y f x 在点   0, 0f 处的切线方程; (2)求函数  f x 在区间 π0, 2      上的最大值和最小值. 【思路引导】 (1)求切线方程首先求导,然后将切点的横坐标代入导函数得切线斜率,然后根据点斜式写直线方程即可, (2)求函数在某区间的最值问题,先求出函数的单调区间,然后根据函数在所给区间的单调性确定最值的 取值地方从而计算得出最值 点评:对于导数的几何意义的应用问题,特别是导数切线方程的求法一定要做到非常熟练,这是必须得分 题,而对于函数最值问题首先要能准确求出函数的单调区间,然后根据所给区间确定函数去最值的点即可 得到最值 例 2.设函数    ln , 2 1xf x x g x xe x    . (1)关于 x 的方程   2 10 3f x x m   在区间 1,3 上有解,求 m 的取值范围; (2)当 0x  时,    g x a f x  恒成立,求实数 a 的取值范围. 【思路引导】 (1)方程   2 10 3f x x m   等价于   2 7ln 3h x x x x m    ,利用导数研究函数的单调性,结合函数 图象可得 m 的取值范围;(2)    g x a f x  恒成立等价于       ln 1xF x g x f x x e x x a        恒成立,两次求导,求得  F x 的最小值为零,从而可得实数 a 的取值范围. 试题解析:(1)方程   2 10 3f x x x m   即为 2 7ln 3x x x m   ,令    2 7ln 03h x x x x x    ,则     3 1 2 31 7' 2 3 3 x xh x xx x       , 当  1,3x 时,    ' ,h x h x 随 x 变化情况如表: x 1 31, 2      3 2 3 ,32      3  'h x  0   h x 4 3 ↗ 极大值 ↘ ln3 2    4 4 3 3 51 , 3 ln3 2 , ln3 3 2 2 4h h h         , 当  1,3x 时,   3 5ln3 2,ln 2 4h x       , m 的取值范围是 3 5ln3 2,ln 2 4      . 例 3.已知函数    3 22 3 12h x x x x m m R     的一个极值为 2 . (1)求实数 m 的值; (2)若函数  h x 在区间 3, 2k     上的最大值为 18,求实数 k 的值. 【思路引导】 (1)由题意得     2' 6 6 12 6 2 1h x x x x x      ,函数  h x 有两个极值为  2h  和令  1h ,从而 得到实数 m 的值;(2)研究函数  h x 在区间 3, 2k     上的单调性,明确函数的最大值,建立关于实数 k 的方 程,解之即可. 试题解析:(1)由    3 22 3 12h x x x x m m R     ,得     2' 6 6 12 6 2 1h x x x x x      , 令  ' 0h x  ,得 2x   或 1x  ;令  ' 0h x  ,得 2 1x   ; 令  ' 0h x  ,得 2x   或 1x  .所以函数  h x 有两个极值为  2h  和令  1h . 若  2 2h    ,得      3 22 2 3 2 12 2 2m           ,解得 22m   ; 若  1 2h   ,得 3 22 1 3 1 12 1 2m        ,解得 5m  ; 综上,实数 m 的值为 22 或 5. (2)由(1)得,  'h x ,  h x 在区间 3, 2     上的变化情况如下表所示: 【同步训练】 1.已知函数     11 lnxf x a e x a a     ( 0a  且 1a  ), e 为自然对数的底数. (Ⅰ)当 a e 时,求函数  y f x 在区间  0,2x 上的最大值; (Ⅱ)若函数  f x 只有一个零点,求 a 的值. 【思路引导】 (1)由导函数的解析式可得        2 max 1max 0 , 2 3f x f f e e e     . (2)由  ' 0f x  ,得 logax e ,分类讨论 1a  和 0 1a  两种情况可得 1a e  . (Ⅱ)     11 lnxf x a e x a a     ,    ' ln ln lnx xf x a a e a a a e    , 令  ' 0f x  ,得 logax e ,则 ①当 1a  时, ln 0a  , x  ,logae logae  log ,ae   'f x  0   f x 极小值 所以当 logax e 时,  f x 有最小值    min 1log lnaf x f e e a a     , 因 为 函 数  f x 只 有 一 个 零 点 , 且 当 x   和 x   时 , 都 有  f x   , 则  min 1ln 0f x e a a     ,即 1ln 0e a a   , 因为当 1a  时, ln 0a  ,所以此方程无解. ②当 0 1a  时, ln 0a  , x  ,logae logae  log ,ae   'f x  0   f x 极小值 点评:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在 历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出 ,本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看,对 导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联 系. (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数. (3)利用导数求函数的最值(极 值),解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用. 2.已知函数 f(x)=(x-k)ex, (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值. 【思路引导】 (1)f′(x)=(x﹣k+1)ex,令 f′(x)=0,得 x=k﹣1.由此能求出 f(x)的单调区间. (2)当 k﹣1≤0 时,函数 f(x)在区间[0,1]上递增,f(x)min=f(0)=﹣k;当 1<k≤2 时,函数 f(x) 在区间[0,k﹣1]上递减,(k﹣1,1]上递增, ;当 k>2 时,函数 f(x)在区间[0, 1]上递减,f(x)min=f(1)=(1﹣k)e. 试题解析:(1)f′(x)=(x-k+1)ex. 令 f′(x)=0,得 x=k-1. 当 x 变化时,f(x)与 f′(x)的变化情况如下: x (-∞,k-1) (k-1) (k-1,+∞) f′(x) - 0 + f(x) -ek-1 所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞). (2)当 k-1≤0,即 k≤1 时,函数 f(x)在[0,1]上单调递增, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(0)=-k. 当 0