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- 2021-06-16 发布
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- 1 -
数学模拟试题二
第 I 卷 选择题部分(共 60 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
1.设全集为 R ,集合 2| 4M x x , 0,1,2N ,则 M N ( )
A. 0,1,2 B. (0,2) C. ( 2,2) D. 0,1
【答案】D
【解析】
【分析】
可解出 M,然后进行交集的运算即可.
【详解】解:M={x|﹣2<x<2},N={0,1,2};
∴M∩N={0,1}.
故选 D.
【点睛】本题考查描述法、列举法的定义,以及交集的运算,属于基础题.
2.已知复数 1
1 iz
,则 z i 在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的除法运算化简,计算得到复数 z i 对应的点,则答案可求.
【详解】∵ 1 1
1 2
iz i
,
∴ 1 1=2 2
i iz i i .
∴ z i 在复平面内对应的点为 1 1,2 2
,
∴ z i 在复平面内对应的点位于第一象限.
故选:A.
【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,属于简单题.
- 2 -
3.近年来,随着“一带一路”倡议的推进,中国与沿线国家旅游合作越来越密切,中国到“一带
一路”沿线国家的游客人也越来越多,如图是 2013-2018 年中国到“一带一路”沿线国家的游客
人次情况,则下列说法正确的是( )
①2013-2018 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加
②2013-2018 年这 6 年中,2014 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小
③2016-2018 年这 3 年中,中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平
A. ①②③ B. ②③ C. ①② D. ③
【答案】A
【解析】
【分析】
根据折线图,分析图中的数据逐一判断即可.
【详解】由图中折线逐渐上升,即每年游客人次逐渐增多,故①正确;
由图在 2014 年中折线比较平缓,即 2014 年中游客人次增幅最小,故②正确;
根据图像在 2016-2018 年这 3 年中,折线的斜率基本相同,
故每年的增幅基本持平,故③正确;
故选:A
【点睛】本题考查了折线图,考查了统计与推理,属于基础题.
4.平面向量 a 与b 的夹角为 60,且 3a , b 为单位向量,则 2a b
( )
A. 3 B. 19 C. 19 D. 2 3
【答案】B
【解析】
【分析】
- 3 -
计算 2
2 19a b ,得到答案.
【详解】 22 2 2
2 2 = 4 4 9 6 4 19a b a b a a b b ,故 2 19a b
.
故选: B .
【点睛】本题考查了向量模的计算,意在考查学生的计算能力.
5.函数 ln | |( ) xf x x x
的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数 ( )y f x 为奇函数,图象关于原点对称,排除 B 项;又因为 (1) 0f ,排除 C 项;又
因为 (2) 0f ,排除 D 项,即可得到答案.
【 详 解 】 由 题 意 知 , 函 数 ln | |( ) xf x x x
, 满 足
ln | | ln | |( ) ( ) ( )x xf x x x f xx x
,
所以函数 ( )y f x 为奇函数,图象关于原点对称,所以 B 选项错误;
又因为 (1) 1 0f ,所以 C 选项错误;
又因为 ln 2(2) 2 02f ,所以 D 选项错误,故选 A.
【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题,其中解答中熟记函数的奇偶性的判定方法,
以及准确运算特殊点的函数值是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
- 4 -
6.已知角 的终边经过点 3, 4P ,则 tan2 ( )
A. 12
7 B. 12
7
C. 24
7 D. 24
7
【答案】C
【解析】
【分析】
利用任意角的三角函数的定义先求出 tan ,由二倍角的公式可求出 tan 2 的值.
【详解】解:角 的终边经过点 3, 4P ,
由任意角的三角函数的定义得: 4tan 3
,
故有 2
2tan 24tan 2 1 tan 7
.
故选:C.
【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义,二倍角公式的应用,考查计算能力.
7.已知双曲线
2 2
2 12
x y
a
的一条渐近线的倾斜角为
6
,则双曲线的离心率为( )
A. 2 3
3
B. 2 6
3
C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
求出双曲线的渐进线方程,可得到 a 值,再由 , ,a b c 的关系和离心率公式,即可得到答案.
【详解】双曲线
2 2
2 12
x y
a
的一条渐近线的倾斜角为
6
,
则 3tan 6 3
,
所以该条渐近线方程为 3
3y x ;
所以 2 3
3a
,
- 5 -
解得 6a ;
所以 2 2 6 2 2 2c a b ,
所以双曲线的离心率为 2 2 2 3
36
ce a
.
故选 A.
【点睛】本题考查双曲线的方程与性质,考查离心率的求法,考查学生基本的运算能力,属
于基础题,
8.已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yG a ba b
的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆于 A,B 两点.若 AB
的中点坐标为(1,-1),则 G 的方程为( )
A.
2 2
145 36
x y B.
2 2
136 27
x y C.
2 2
127 18
x y D.
2 2
118 9
x y
【答案】D
【解析】
【分析】
设出 ,A B 两点的坐标,利用点差法求得 ,a b 的关系式,结合 2 2 2a b c 求得 2 2,a b ,进而求
得椭圆 E 的方程.
【详解】设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ,则
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
1
1
x y
a b
x y
a b
,两式相减并化简得
2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
y y y yb
a x x x x
,
即 2 2
2 2
2 2
0 11 1 1 21 3 1 2 2
b b a ba a
,
由于 2 2 2a b c 且 3c ,由此可解得 2 218, 9a b ,
故椭圆 E 的方程为
2 2
118 9
x y .
- 6 -
故选:D.
【点睛】本小题主要考查点差法解决椭圆中的中点弦问题,属于基础题.
二、多项选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选
项中,有多项符合题目要求.全部选对得 5 分,部分选对得 3 分,有选错的得 0 分.
9.若函数 1xf x e 与 g x ax 的图象恰有一个公共点,则实数 a 可能取值为( )
A. 2 B. 0 C. 1 D. 1
【答案】BCD
【解析】
【分析】
作出 1xf x e 的图像,利用数形结合可判断 0a 满足恰有一个公共点;当 0a 时,需
直线与曲线相切即可.
【详解】
由 1xf x e 与 g x ax 恒过 0,0 ,如图,
当 0a 时,两函数图象恰有一个公共点,
当 0a 时,函数 1xf x e 与 g x ax 的图象恰有一个公共点,
则 g x ax 为 1xf x e 的切线,且切点为 0,0 ,
由 xf x e ,所以 00 1a f e ,
综上所述, 0, 1a 或1.
故选:BCD
【点睛】本题考查了指数函数图像、导数的几何意义,考查了数形结合在解题中的应用,属
于基础题.
- 7 -
10.设正项等差数列 na 满足 2
1 10 2 92 20a a a a ,则( )
A. 2 9a a 的最大值为10 B. 2 9a a 的最大值为 2 10
C. 2 2
2 9
1 1
a a
的最大值为 1
5 D. 4 4
2 9a a 的最小值为 200
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质,求得 2 9,a a 的关系式,由此结合基本不等式,判断出正确选项.
【详解】因为正项等差数列 na 满足 2
1 10 2 92 20a a a a ,
所以 2
2 9 2 92 20a a a a ,
即 2 2
2 9 20a a .
①
2 2
2 9
2 9
20 102 2
a aa a ,当且仅当 2 9 10a a 时成立,故 A 选项正确.
②由于
2 2 2
2 9 2 9 102 2
a a a a
,所以 2 9
2 910, 2 102
a a a a ,当且仅当
2 9 10a a 时成立,故 B 选项正确.
③
2 2
2 9
22 2 2 2 2 2 22 22 9 2 9 2 9 2 9
1 1 20 20 20 1
10 5
2
a a
a a a a a a a a
,当且仅当 2 9 10a a 时成立,
所以 2 2
2 9
1 1
a a
的最小值为 1
5
,故 C 选项错误.
④结合①的结论,有 24 4 2 2 2 2 2 2 2
2 9 2 9 2 9 2 92 400 2 400 2 10 200a a a a a a a a ,
当且仅当 2 9 10a a 时成立,故 D 选项正确.
故选:ABD
【点睛】本小题主要考查等差数列的性质,考查基本不等式求最值,属于中档题.
11.过抛物线 2: 8C y x 的焦点 F 且斜率为 3 的直线l 与抛物线交于 ,P Q 两点( P 在第一象
- 8 -
限),以 ,PF QF 为直径的圆分别与 y 轴相切于 ,A B 两点,则下列结论正确的是( )
A. 抛物线 2: 8C y x 的焦点 F 坐标为 (2,0) B. 32| | 3PQ
C. M 为抛物线C 上的动点, (2,1)N ,则 min(| | | |) 6MF MN D. 8 3| | 3AB
【答案】ABD
【解析】
【分析】
A,由抛物线方程可得焦点坐标;B,由题意可得直线 PQ 的方程与抛物线联立求出 P,Q 的
坐标,进而可得 PQ 的长度;C,由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离距离可得
|MF|+|MN|的最小值;D,由题意可得 A,B 的坐标,进而求出 AB 的值;然后判断所给命题的
真假.
【详解】A,由题意可得抛物线的焦点 F(2,0),所以 A 正确;
B,由题意设直线 PQ 的方程为:y 3 (x﹣2),
与抛物线联立整理可得:3x2﹣20x+12=0,解得:x 2
3
或 6,
代入直线 PQ 方程可得 y 分别为: 4 3
3
,4 3 ,
由题意可得 P(6,4 3 ),Q( 2
3
, 4 3
3
);
所以|PQ|=6 2
3
4 32
3
,所以 B 正确;
C,如图 M 在抛物线上,ME 垂直于准线交于 E,可得|MF|=ME|,
所以|MF|+|MN|=|ME|+|MN|≥NE=2+2=4,当 N,M,E 三点共线时,|MF|+|MN|最小,且最小
值为 4,所以 C 不正确;
D,因为 P(6,4 3 ),Q( 2
3
, 4 3
3
),所以 PF,QF 的中点分别为:(3,2 3 ),( 1
3
,
2 3
3
),
所以由题意可得 A(0,2 3 ),B(0, 2 3
3
),
- 9 -
所以|AB|=2 2 3 8 33 3 3
,所以 D 正确;
故选:ABD.
【点睛】本题主要考查抛物线的性质,考查直线和抛物线的位置关系,考查抛物线的最值的
解答,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于中档题.
12.在边长为 2 的等边三角形 ABC 中,点 ,D E 分别是边 ,AC AB 上的点,满足 //DE BC 且
AD
AC
,( 01 , ),将 ADE 沿直线 DE 折到 A DE△ 的位置.在翻折过程中,下列结论
不成立的是( )
A. 在边 A E 上存在点 F ,使得在翻折过程中,满足 //BF 平面 A CD
B. 存在 10
2
, ,使得在翻折过程中的某个位置,满足平面 A BC 平面 BCDE
C. 若 1
2
,当二面角 A DE B 为直二面角时,| | 10
4A B
D. 在翻折过程中,四棱锥 A BCDE 体积的最大值记为 f , f 的最大值为 2 3
9
【答案】ABC
【解析】
【分析】
对于 A.在边 A E 上点 F,在 A D 上取一点 N,使得 / /FN ED ,在 ED 上取一点 H,使得
/ /NH EF ,作 / /HG BE 交 BC 于点 G,即可判断出结论.
对于 B, 10
2
, ,在翻折过程中,点 A在底面 BCDE 的射影不可能在交线 BC 上,即可
判断出结论.
- 10 -
对于C, 1
2
,当二面角 A DE B 为直二面角时,取ED的中点M,可得 AM 平面 BCDE .
可得 2 2A B AM BM ,结合余弦定理即可得出.
对于 D.在翻折过程中,取平面 AED 平面 BCDE ,四棱锥 A BCDE 体积
31 33 BCDEf S , 01 , ,利用导数研究函数的单调性即可得出.
【详解】对于 A.在边 A E 上点 F,在 A D 上取一点 N,使得 / /FN ED ,在 ED 上取一点 H,
使得 / /NH EF ,作 / /HG BE 交 BC 于点 G,如图所示,
则可得 FN 平行且等于 BG ,即四边形 BGNF 为平行四边形,
∴ / /NG BE ,而 GN 始终与平面 ACD 相交,
因此在边 A E 上不存在点 F,使得在翻折过程中,满足 //BF 平面 A CD ,A 不正确.
对于 B, 10
2
, ,在翻折过程中,点 A在底面 BCDE 的射影不可能在交线 BC 上,因此
不满足平面 A BC 平面 BCDE ,因此 B 不正确.
对于 C. 1
2
,当二面角 A DE B 为直二面角时,取 ED 的中点 M,如图所示:
可得 AM 平面 BCDE ,
则 2 2 2 23 1 1 10 10( ) 1 ( ) 2 1 cos1202 2 2 2 4A B AM BM ,因此 C
- 11 -
不正确;
对于 D.在翻折过程中,取平面 AED⊥平面 BCDE,四棱锥 A BCDE 体积
31 33 BCDEf S , 01 , , 21 3f ,可得 3
3
时,函数 f
取得最大值 3 1 2 313 3 9f
,因此 D 正确.
综上所述,不成立的为 ABC.
故选:ABC.
【点睛】本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、
余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值,考查了推理能力空间想象能力与计算能
力,属于难题.
第 II 卷 非选择题部分(共 90 分)
三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.若直线 2y x b 是曲线 2 lny a x 的切线,且 0a ,则实数 b 的最小值是______.
【答案】 2
【解析】
【分析】
求出 2 lny a x 的导数,设切线为 ( , )m n ,由切点处的导数值为切线斜率求出 m a ,再由
切点坐标可把b 表示为 a 的函数,再利用导数可求得b 的最小值.
【详解】 2 lny a x 的导数为 2ay x
,由于直线 2y x b 是曲线 2 lny a x 的切线,设
切点为 ,m n ,则 2 2a
m
,
∴ m a ,又 2 2 lnm b a m ,∴ 2 ln 2b a a a ( 0a ), 2 ln 1 2 2lnb a a ,
当 1a 时, 0b ,函数 b 递增,当 0 1a 时, 0b ,函数 b 递减,
∴ 1a 为极小值点,也为最小值点,∴b 的最小值为 2ln1 2 2 .
故答案为: 2 .
【点睛】本题考查导数的几何意义,考查用导数求函数的最值.在求切线方程时要注意“在”
某点处的切线与“过”某点的切线.如果是过某点的切线可设切点坐标为 0 0( , )x y ,利用导数
- 12 -
几何意义求出切点坐标.
14.已知函数 1( ) cos2 2 sin cos2 2 2 4
x x af x x a ( 0 2x )的最大值为 3 2
4
a ,则实数
a 的取值范围是______________.
【答案】 2a
【解析】
【分析】
通过换元法将 f x 的最值问题转化为 2 1( ) ,0 14 2
ag t t at t 的最值,利用二次函
数的性质列不等式求解即可.
【详解】解:由已知 2 21 1( ) 1 2sin sin sin sin2 4 4 2
a af x x a x x a x
令 sin 0,1t x ,
则 2 1( ) ,0 14 2
ag t t at t ,
因为 1 3 2(1) 1 4 2 4
a ag a ,
则 ( )g t 在区间 0,1 的右端点取最大值,
故 12
a ,则 2a .
故答案为: 2a .
【点睛】本题考查二次型三角函数的最值问题,通过换元法可将问题简单化,是一道基础题.
15.点 ,A B 是抛物线 2: 2 ( 0)C y px p 上的两点,F 是抛物线C 的焦点,若 120AFB ,
AB 中点 D 到抛物线C 的准线的距离为 d ,则
| |
d
AB
的最大值为_______.
【答案】 3
3
【解析】
【分析】
过 , ,A B D 作 准 线 的 垂 线 , 垂 足 分 别 为 , ,N P M , 则
1 1( ) ( )2 2d MD AN BP AF BF ,在 ABF 中寻找它们的关系,求出比值的最
- 13 -
大值。
【详解】
如图,过 , ,A B D 作准线的垂线,垂足分别为 , ,N P M ,则
1 1( ) ( )2 2d MD AN BP AF BF ,
ABF 中,
2 2 2 2 cos120AB AF BF AF BF 2 2AF BF AF BF
2 2 2 23( ) ( ) ( ) ( )2 4
AF BFAF BF AF BF AF BF AF BF
,当且仅当
AF BF 时取等号。
∴ 4 2 3
3 3
AF BF
AB
,
| |
d
AB
1 3
2 3
AF BF
AB
,即 d
AB 的最大值为 3
3
。
故答案为: 3
3
。
【点睛】本题考查抛物线的定义,在抛物线中涉及到抛物线上的点到焦点的距离或弦中点到
准线的距离,可作出抛物线上点到准线的距离,让它们进行转化,象本题,弦中点到准线距
离最终转化为弦的两顶点到焦点的距离之和,然后在三角形中由余弦定理建立联系。
16.在四棱锥 P ABCD 中,PA 平面 ABCD , 2AP ,点 M 是矩形 ABCD 内(含边界)
的动点,且 1AB , 3AD ,直线 PM 与平面 ABCD 所成的角为
4
.记点 M 的轨迹长度为
,则 tan ______;当三棱锥 P ABM 的体积最小时,三棱锥 P ABM 的外接球的表
面积为______.
- 14 -
【答案】 (1). 3 (2). 8
【解析】
【分析】
先根据已知条件判断出点 M 的轨迹为圆弧,再求此时的 ,即可求出 tan 3 ;判断三棱
锥 P ABM 的体积最小时即点 M 位于 F 时,此时三棱锥 P ABM 的外接球球心为 PF 的
中点,所以半径为 PF 的一半,从而可得外接球的表面积.
【详解】如图,因为 PA 平面 ABCD ,垂足为 A ,
则 PMA 为直线 PM 与平面 ABCD 所成的角,
所以
4PMA .因为 2AP ,所以 2AM ,
所以点 M 位于底面矩形 ABCD 内的以点 A 为圆心, 2 为半径的圆上,
记点 M 的轨迹为圆弧 EF .连接 AF ,则 2AF .
因为 1AB , 3AD ,所以
6AFB FAE ,
则弧 EF 的长度 26 3
,所以 tan 3 .
当点 M 位于 F 时,三棱锥 P ABM 的体积最小,
又
2PAF PBF ,
∴三棱锥 P ABM 的外接球球心为 PF 的中点.
因为 2 22 2 2 2PF ,
所以三棱锥 P ABM 的外接球的表面积 2
4 2 8S .
故答案为: 3 ;8
【点睛】本题考查了由线面垂直得到线面角,判断出动点轨迹,外接球的半径及表面积的计
- 15 -
算,属于较难题.
四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
17.已知递增等差数列 na 满足 1 5 10a a , 2 4 21a a ,数列 nb 满足
22log 1, *n nb a n N .
(1)求 nb 的前 n 项和 nS ;
(2)若 1 2( 1)n nT nb n b b ,求数列 nT 的通项公式.
【答案】(1) 2 1n
nS (2) 12 2n
nT n+ - -=
【解析】
【分析】
(1)根据等差数列公式计算得到 2 1na n , 12n
nb ,得到答案.
(2)化简得到 1 2n nT S S S ,代入数据计算得到答案.
【详解】(1)设数列{ }na 公差为 ( 0)d d ,由 1
1 1
2 4 10
( )( 3 ) 21
a d
a d a d
,
解得: 1 11 9
2 2
a a
d d
或 (舍去),所以 2 1na n , 1
2log 1, 2n
n nb n b .
2 1 2 12 1
n
n
nS .
(2) 1 2( 1) ...n nT nb n b b ,
1 1 2 1 2 3 1 2( ) ( ) ( )n nT b b b b b b b b b
2
1 2 (2 1) (2 1) + 2 1)n
nS S S (
2 12(2 1)(2 2 +2 2 22 1
n
n nn n n ) .
【点睛】本题考查了等差数列通项公式,等比数列求和,分组求和法,意在考查学生对于数
列公式方法的综合应用.
18.已知在 ABC 中, sin sina A c C ,且 2 2 2sin sin sinB A C .
- 16 -
(1)判断 ABC 的形状;
(2)若 D 为 BC 的中点,BE AD,垂足为 E,延长 BE 交 AC 于 F,求证: ADB FDC .
【答案】(1)等腰直角三角形;(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)由正弦定理得 2 2 2 2 2,a c b a c ,进而可得 ABC 的形状;
(2)以 B 为坐标原点,BC、BA 所在直线分别为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系,利用向量
夹角的坐标运算得出 cos FDC , cos ADB ,可得相等.
【详解】解:(1)由正弦定理得:sin ,sin ,2 2
a bA BR R
sin 2
cC R
,其中 R 为 ABC 外
接圆的半径.
∵ sin sina A c C ,且 2 2 2sin sin sinB A C ,
∴
2 2
a ca cR R
, 2 2 2( ) ( ) ( )2 2 2
b a c
R R R
,
∴ 2 2 2 2 2,a c b a c ,
∴ 0, 90a c B ,
∴ ABC 为等腰直角三角形;
(2)以 B 为坐标原点,BC、BA 所在直线分别为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系.
设 A(0,2),C(2,0),则 D(1,0), (2, 2)AC
.
设 AF AC
,则 (0 2) (2 , 2 ) 2 2 2BF BA AF , ( , ),
又因为 1,2DA , BF DA
,
所以 0BF DA
,
所以 -2 2 2 2 0 ( ) ,
解得 2
3
,
所以 4 2( , )3 3BF ,
所以 1 2( , )3 3DF BF BD ,又因为 (1 0)DC , ,
- 17 -
所以
5cos 5
DF DCFDC
DF DC
,
又因为 5cos 5
BDADB AD
,且 ADB , (0, )FDC ,
所以 ADB FDC .
【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用,考查向量坐标运算研究三角形中的角,是中档
题.
19.如图,在四棱锥 A DBCE 中,底面 DBCE 是等腰梯形, 2BC DE , BD DE CE ,
ADE 是等边三角形,点 F 在 AC 上,且 3AC AF .
(1)证明: AD //平面 BEF .
(2)若平面 ADE 平面 BCED ,求二面角 F BE C 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) 13
13
【解析】
【分析】
(1)连接 DC 交 BE 于点 G ,通过证明 DA // FG ,即可推证线面平行;
(2)取 DE 中点为O ,以O 为坐标原点建立空间直角坐标系,求得对应平面的法向量,利用
向量法求二面角的余弦值即可.
【详解】(1)连接 DC 交 BE 于点 G ,连接 FG .
- 18 -
∵在等腰梯形 DBCE 中, BD DE CE , 2BC DE ,
BC // DE ,∴ 2CG BC
DG DE
,∵ 3AC AF ,∴ 2CF
AF
,
∴ CF CG
AF DG
,∴ AD // FG ,
又 AD 平面 BEF , FG 平面 BEF ,
∴ AD //平面 BEF .
(2)取 DE 的中点O , BC 的中点 H ,连接 AO ,OH ,显然 AO DE .
又平面 ADE 平面 BCED ,平面 ADE 平面 BCED DE ,
所以 AO 平面 BCED .
因为O 、 H 分別为 DE 、 BC 的中点,且在等腰梯形 DBCE 中, 2BC DE ,
所以OH DE .以O 为原点建立如所示的空间直角坐标系 O xyz ,
设 2 0BC a a ,则 3, ,02B a a
,
3, ,02C a a
, ,0,02
aE
, 30,0, 2A a
,
∴ 3 3, ,02 2
aBE a
,
∴ 2
3BF BC CF BC CA
- 19 -
2 3 3 4 3 32 ,0,0 , , , ,3 2 2 3 3 3a a a a a a a
易得 0,0,1u 为平面 BEC 的一个法向量,
设平面 FBE 的一个法向量为 1 1 1, ,v x y z ,
可得 0
0
v BE
v BF
,故
1 1
1 1 1
3 3 02 2
4 3 3 03 3 3
a x ay
ax ay az
,
令 1 3y ,可得 1 3x , 1 1z ,则 3,3, 1v
.
设二面角 F BE C 的平面角为 ,则 1 13cos 131 13
u v
u v
,
即二面角 F BE C 的余弦值为 13
13
.
【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行,利用向量法求二面角的大小,属综合中档题.
20.已知椭圆C 的中心在原点O ,焦点在 x 轴上, 0,2D 为椭圆C 短轴的一个端点, 1F 、 2F
为椭圆的左、右焦点,线段 2DF 的延长线与椭圆C 相交于点 E ,且 2 23DF EF .
(1)求椭圆C 的方程;
(2)如图,点 A 为椭圆上一动点(非长轴端点), 2AF 的延长线与椭圆交于 B 点, AO 的延
长线与椭圆交于C 点,求 ABC 面积的最大值.
【答案】(1)
2 2
18 4
x y ;(2) 4 2 .
【解析】
【分析】
- 20 -
(1)根据椭圆短轴顶点求得b ;结合 2 23DF EF ,求得点 E 的坐标,根据点 E 的坐标满
足椭圆方程,结合 2 2 2a b c ,求得 ,a c ,则椭圆方程即可求解;
(2)根据直线斜率是否存在,进行分类讨论;当直线 AB 斜率存在时,设出直线方程,联立
椭圆方程,利用韦达定理,求得弦长 AB ,求得 O 到直线 AB 的距离,即可求得C 到直线 AB
的距离,利用面积公式,结合均值不等式,即可容易求得面积的最值.
【详解】(1)设椭圆C 的方程为
2 2
2 2 1 0x y a ba b
,右焦点 2 ,0F c ,
因为 0,2D 为椭圆短轴的一个端点,则 2b .
因为 2 23DF EF ,
故可得 23DF F E ,设点 E 坐标为 ,x y ,
即 , 2 3 ,c x c y ,解得 4 2,3 3
cx y .
则点 4 2,3 3
cE .
因为点 E 在椭圆上,则
2
2
16 1 19 9
c
a
,即 2 22a c .
又 2 2 4c a ,则 2 22 4a a ,得 2 8a ,
所以椭圆C 的标准方程是
2 2
18 4
x y .
(2)①当直线 AB 的斜率不存在时,不
妨取 2, 2A , 2, 2B , 2, 2C ,
故 1 2 2 4 4 22ABCS ;
②当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 2y k x ,
1 1,A x y , 2 2,B x y ,
联立方程
2 2
2
18 4
y k x
x y
,化简得 2 2 2 22 1 8 8 8 0k x k x k ,
- 21 -
则 2 2 2 264 4 2 1 8 8 32 1 0k k k k ,
2
1 2 2
8
2 1
kx x k
,
2
1 2 2
8 8
2 1
kx x k
,
22
1 2 1 21 4A k x x xB x
22 2
2
2 2
8 8 81 42 1 2 1
k kk k k
2
2
14 2 2 1
k
k
,
点O 到直线 2y k x 的距离
2 2
2 2
1 1
k kd
k k
,
因为O 是线段 AC 的中点,所以点C 到直线 AB 的距离为
2
42
1
kd
k
,
∴
2
2 2
41 1 12 4 22 2 2 1 1ABC
kkS AB d k k
2 2
22
1
8 2
2 1
k k
k
,
∵
2 2 2 2 2 2
2 2 2 22 2 2
1 1 1 1
44 12 1 1
k k k k k k
k kk k k
,又 2 2 1k k ,所以等号不成立.
∴
2 2
22
1
8 2 4 2
2 1
ABC
k k
S
k
,
综上可得, ABCS 面积的最大值为 4 2 .
【点睛】本题考查椭圆方程的求解,以及椭圆中面积的范围问题,属综合中档题.
21.2019 年 7 月 1 日到 3 日,世界新能源汽车大会在海南博鳌召开,大会着眼于全球汽车产业
的转型升级和生态环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流,最新研发了一款新能源汽车,
并在出厂前对 100 辆汽车进行了单次最大续航里程(理论上是指新能源汽车所装载的燃料或
电池所能够提供给车行驶的最远里程)的测试.现对测试数据进行分析,得到如图的频率分
布直方图.
- 22 -
(1)估计这 100 辆汽车的单次最大续航里程的平均值 x (同一组中的数据用该组区间的中点
值代表);
(2)根据大量的汽车测试数据,可以认为这款汽车的单次最大续航量程 X 近似地服从正态分
布 2,N ,经计算第(1)问中样本标准差 s 的近似值为 50.用样本平均数 x 作为 的近
似值,用样本标准差 s 作为 的估计值,现任取一辆汽车,求它的单次最大续航里程恰在 250
千米到 400 千米之间的概率;
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车,现面向意向客户推出“玩游戏,送大奖”活动,
客户可根据抛掷硬币的结果,操控微型遥控车在方格图上行进,若遥控车最终停在“胜利大本
营”,则可获得购车优惠券.已知硬币出现正,反面的概率都是 1
2
,方格图上标有第 0 格、第
1 格、第 2 格……第 50 格.遥控车开始在第 0 格,客户每掷一次硬币,遥控车向前移动一次,
若掷出正面,遥控车向前移动一格(从 k 到 1k ),若掷出反面,遥控车向前移动两格(从 k
到 2k ),直到遥控车移到第 49 格(胜利大本营)或第 50 格(失败大本营)时,游戏结束.设
遥控车移到第 n 格的概率为 nP ,试证明 *
1 1 49, Nn nP P n n 是等比数列,并解释
此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.
参考数据:若随机变量 服从正态分布 2,N ,则 0.6827P ≤ ,
2 2 0.9545P ≤ , 3 3 0.9973P .
【答案】(1)300;(2) 0.8186 ;(3)见解析.
【解析】
【分析】
(1)利用频率分布直方图的平均数的计算方法即可得出 x .
(2)由 2300,50X N .利用正态分布的对称性可得 250 400XP .
- 23 -
(3)遥控车移到第 2 49n n 格的情况是下面两种,而且只有两种:①遥控车先到第 2n
格,又掷出反面,其概率为 2
1
2 nP .②遥控车先到第 1n 格,又掷出正面,其概率为 1
1
2 nP .可
得: 2 1
1 1
2 2n nnP P P ,即可得证数列 1n nP P 是等比数列,并计算获胜与失败的概率.
【详解】(1) 0.002 50 205 0.004 50 255 0.009 50 305 0.004 50 355x
0.001 50 405 300 (千米).
(2)由 2300,50X N .
∴ 0.9545 0.6827250 400 0.9545 0.81862XP .
(3)遥控车开始在第 0 格为必然事件, 0 1P .
第一次掷硬币出现正面,遥控车移到第一格,其概率为 1
2
,即 1
1
2P .
遥控车移到第 2 49n n 格的情况是下面两种,而且只有两种:
①遥控车先到第 2n 格,又掷出反面,其概率为 2
1
2 nP .
②遥控车先到第 1n 格,又掷出正面,其概率为 1
1
2 nP .
∴ 2 1
1 1
2 2n nnP P P .
∴ 1 1 2
1
2n n n nP P P P .
∴1 49n 时,数列 1n nP P 是等比数列,
首项为 1 0
1
2P P ,公比为 1
2
的等比数列.
∴ 1
11 2P , 1
2
2
1
2P P
,
3
3 2
1
2P P
,……, 1
1
2
n
n nP P
.
∴ 1 1 2 1 0 0n n n n nP P P P P P P P
11 1 1 12 2 2
n n
- 24 -
1
1
11 2 12 11 3 21 2
n
n
. 0,1, ,49n .
∴获胜的概率
50
49
2 113 2P
,
失败的概率
49 49
50 48
1 1 2 1 1 11 12 2 3 2 3 2P P
.
∴
50 49 48
49 50
2 1 1 1 1 11 1 1 03 2 3 2 3 2P P
.
∴获胜的概率大.
∴此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车.
【点睛】此题考查统计与概率相关知识,根据频率分布直方图求解平均数,利用正态分布求
解概率,利用递推数列关系建立等式解决概率相关问题,综合性强.
22.已知函数 2 lng x xx
, 2 lnmf x mx xx
, m R .
(1)求函数 g x 的极值;
(2)若 f x g x 在 1, 上为单调函数,求 m 的取值范围;
(3)设 2eh x x
,若在 1,e 上至少存在一个 0x ,使得 0 0 0f x g x h x 成立,求 m
的取值范围.
【答案】(1) 1 ln2g x 极小值 ,无极大值;(2) ,0 1, ;(3) 2[ 4 , )1
e
e
.
【解析】
【分析】
(1)求得 2
2xg x x
,即可判断 2x 为函数 g x 的极小值点,问题得解.
(2)“ f x g x 在 1, 上为单调函数”可转化为: '
f x g x 恒大于等于 0 或
者恒小于等于 0,即可转化为: 2 2 0mx x m 或 2 2 0mx x m 在 1, 上恒成立,再
转化为 2
2
1
xm x
在 1, 恒成立或 2
2
1
xm x
在 1, 恒成立,求得 2
2 0,11
x
x
,问题
得解.
- 25 -
(3)构造函数 F x f x g x h x ,对 m 的取值分类,当 0m 时,可判断 0F x
恒成立,即 0m 不满足题意,当 0m 时,利用导数可判断 F x 在 1,e 单调递增,结合
min 0F x ,由题意可得: max 4 0mF x me e
,问题得解
【详解】(1)因为 2 2
2 1 2xg x x x x
.由 2 2
2 1 2 0xg x x x x
得: 2x ,
当 2x 时, 0g x ,当 0 2x 时, 0g x
所以 2x 为函数 g x 的极小值点 2 1 ln2g x g 极小值 .
(2) 2lnmf x g x mx xx
,
2'
2
2mx x mf x g x x
.
因为 f x g x 在 1, 上为单调函数,
所以 2 2 0mx x m 或 2 2 0mx x m 在 1, 上恒成立,
2 2 0mx x m 等价于 2
2
1
xm x
在 1, 恒成立,
又 2
2 2 2 111 12
x
x x xx x
.当且仅当 1x 时,等号成立
1m
2 2 0mx x m 等价于 21 2m x x ,
即 2
2
1
xm x
在 1, 恒成立,而 2
2 0,1 , 01
x mx
.
综上,m 的取值范围是 ,0 1, .
(3)构造函数 22lnm eF x f x g x h x mx xx x
,
当 0m 时, 21, , 0, 2ln 0m ex e mx xx x
,
所以在 1,e 不存在 0x ,使得 0 0 0f x g x h x
当 0m 时,
2
2 2 2
2 2 2 2m e mx x m eF x m x x x x
因为 21, , 2 2 0, 0x e e x mx m ,所以 0F x 在 1,e 恒成立,
- 26 -
故 F x 在 1,e 单调递增,
所以 max 4mF x me e
,又 min 1 2 0F x F e
所以只需 4 0mme e
,解之得 2
4
1
em e
,
故 m 的取值范围是 2[ 4 , )1
e
e
.
【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的极值,还考查了导数与函数单调性的关系,考查
了构造思想及利用基本不等式求最值,考查了转化思想及计算能力,属于难题.
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