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  • 2021-06-16 发布

2020年重庆市名校联盟高考数学二诊试卷(文科)(A卷) (含答案解析)

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2020 年重庆市名校联盟高考数学二诊试卷(文科)(A 卷) 一、单项选择题(本大题共 12小题,共 60.0分) 1. 若集合 ൌ ሼ ݔ ሼ 晦 1i, ൌ ሼݔ 晦 ሼ i,则 ൌ 䁧 A. ሼ ݔ ሼ i B. ሼ ݔ ሼ 晦 iݔ C. ሼݔ 晦 ሼ 晦 1i D. ሼ1 晦 ሼ i . 若复数 ൌ 㠳㈮‵ 㠳1ݔ ,则 ൌ 䁧 A. ݔ 1 ㈮ ൅㠳 B. ݔ 1 ݔ ൅㠳 C. 1 ㈮ ൅㠳 D. 1 ݔ ൅㠳 ൅. 观察下列不等式: 1 ㈮ 1 晦 ൅ , 1 ㈮ 1 ㈮ 1 ൅ 晦 ൅ , 1 ㈮ 1 ㈮ 1 ൅ ㈮ 1 ‵ 晦 ‵ 照此规律,第五个不等式为䁧 A. 1 ㈮ 1 ㈮ 1 ൅ ㈮ 1 ‵ ㈮ 1 ㈮ 1 晦 11 B. 1 ㈮ 1 ㈮ 1 ൅ ㈮ 1 ‵ ㈮ 1 ㈮ 1 晦 1൅ C. 1 ㈮ 1 ㈮ 1 ൅ ㈮ 1 ‵ ㈮ 1 晦 D. 1 ㈮ 1 ㈮ 1 ൅ ㈮ 1 ‵ ㈮ 1 ㈮ 1 ㈮ 1 晦 1൅ E. 1 ㈮ 1 ㈮ 1 ൅ ㈮ 1 ‵ ㈮ 1 ㈮ 1 晦 ݔ1 F. 1 ㈮ 1 ㈮ 1 ൅ ㈮ 1 ‵ ㈮ 1 ㈮ 1 晦 11 ‵. 三个数 ൌ logݔ., ൌ ,൅.ݔ ൌ ൅的大小关系为䁧.ݔ A. 晦 晦 B. 晦 晦 C. 晦 晦 D. 晦 晦 . 某教育机构随机抽取某校 20个班级,调查各班级关注汉字听写大赛的学生人数,根据所得数据 按照ݔ,ݔ1,1ݔ1,ݔ1,ݔ,൅ݔ,൅ݔ൅,൅‵ݔ进行分组,并绘制 成如图所示的频率分布直方图,则将所得数据绘制成的茎叶图可能是䁧 A. B. C. D. . 某多面体的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为 1,则该多面体的表面积为䁧 A. ㈮ ‵ ㈮ ൅ B. ㈮ ㈮ ‵ ൅ C. ㈮ ൅ D. ㈮ ‵ . 已知向量 ൌ 䁧 ൅൅在向量 ൌ 䁧䁪1方向上的投影为 3,则与的夹角为䁧 A. 30 B. ݔ C. ൅ݔ或 ݔ1 D. 或ݔ ݔ1 . 已知函数 的图象向左平移 个单位后得到 䁧ሼ ൌ cos䁧ሼ ㈮ 的图 象,则的值为䁧 A. ݔ ൅ B. ݔ ൅ C. ൅ D. ൅ . 在正方体 ݔܥ 1中,异面直线ܥ111 AC与11所成的夹角为䁧 A. ൅ݔ B. ‵ C. ݔ D. ݔ .ݔ1 设两个相互独立事件 A,B都不发生的概率为 1 ,则 A与 B都发生的概率的取值范围是䁧 A. ݔ B. 1 C. ൅ D. ݔ ‵ 11. 已知双曲线 C:ሼ ݔ ൌ 1䁧 ݔ 的右焦点为ݔ F,虚轴的一个端点为 A,若 AF与双曲线 C 的一条渐近线垂直,则双曲线的离心率为䁧 A. ㈮ 1 B. C. 1㈮ D. ൅ 1. 已知 ሼ 是函数 ሼ 的导函数,且对任意实数 x都有 ሼ ൌ ሼ ሼ㈮ ൅ ㈮ ሼ 䁧是自然对数的 底数, ݔ ൌ 1,对于函数 ሼ ,下列说法正确的是䁧 A. 无极值 B. 有极大值,无极小值 C. 有极小值,无极大值 D. 既有极大值又有极小值 二、填空题(本大题共 4小题,共 20.0分) 1൅. 等差数列䁪i中,已知‵ ㈮ ൌ ,则 ൌ ______ . 1‵. 已知圆C:䁧ሼ ݔ 1 ㈮ 䁧 ݔ ൌ 1,若直线ሼ㈮ ݔ ൌ 与圆C相交于A,B两点,且ݔ , 则实数 a的值为_______. 1. 已知三棱锥 ݔ 中,平面 ܥ 平面 BCD, ܥ ൌ ܥ ൌ ‵ ൌ ܥ ൌ ൅,则三 棱锥 ݔ .________的外接球的大圆面积为ܥ 1. 已知函数 䁧ሼ ൌ ሼ ሼ ݔ ,若存在 ሼ 1,使得 䁧ሼ 晦 ,则实数 a的取值范围是______. 三、解答题(本大题共 7小题,共 82.0分) 1. 已知䁪是等差数列 䁪 的前 n项和,且൅ ൌ ൅䁪 ൌ 䁪 ㈮ 1䁧䁪 ᦙ 䁧1求数列 䁪 的通项公式; 䁧若䁪 ൌ ൅䁪1ݔ,令 䁪 ൌ 䁪䁪,求数列 䁪 的前 n项和䁪 18. 已知底面为正三角形的三棱柱 ݔ 111中,1 平面 ABC,D、E分别是11,1的中 点,F是 AB边上的点,且 ൌ ൅,连接 EF、DB、1B、1D. 䁧Ⅰ求证:平面 ܥ1 平面 11; 䁧Ⅱ在线段 AC上,是否存在一点 M,使得平面 平面ܯܯܧ 若存在,请找出点,ܥ1 M的位 置,并证明平面 平面ܯܯܧ .若不存在,请说明理由,ܥ1 19. 某地教育研究中心为了调查该地师生对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法,对该市区 部分师生进行调查,先将调查结果统计如下: 赞成反对总计 教师 120 学生 40 总计 280 120 䁧1请将表格补充完整,若该地区共有教师 30000人,以频率为概率,试估计该地区教师反对“高 考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数; 䁧按照分层抽样从“反对”的人中先抽取 6人,再从中随机选出 3人进行深入调研,求深入调 研中恰有 1名学生的概率. 20. 已知函数 䁧ሼ ൌ ሼ1ݔ ݔ 䁧㈮ ሼ,䁧ሼ ൌݔ 䁧1 ㈮ 䁪ሼ䁧 . 䁧1讨论函数 䁧ሼ的单调性; 䁧若对任意的 ሼ 1 ㈮ ,䁧ሼ 䁧ሼ恒成立,求实数 a的取值范围. 21. 在直角坐标系 xOy中,设点 䁧 ݔ Q为,ݔ䁧1,ݔ1 的外心.已知 ㈮ ൌ .ܯܯ,ݔ 䁧1求点 C的轨迹的方程 䁧设经过 䁧ݔ 的直线交轨迹与 E,H,直线 EH与直线 l: ൌ ൅ 交于点 M,点 P是直线 ൌ 上异于点 F的任意一点.若直线 PE,PH,PM的斜率分别为1,,൅,问是否存在实 数 t,使得 1 1 ㈮ 1 ൌ ൅ ,若存在,求 t的值;若不存在,说明理由. 22. 在平面直角坐标系中,曲线1: ሼ ൌ ൅ ㈮ ൅cosα ൌ sinα 䁧为参数经过伸缩变换 ሼ’ ൌ ሼ ൅ ’ ൌ 后的曲线为, 以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系. 䁧1求的极坐标方程; 䁧设曲线൅的极坐标方程为ρsin䁧 ݔ ൌ 1,且曲线൅与曲线相交于 P,Q两点,求PQ的 值. 23. 已知函数 䁧ሼ ൌ ሼ ㈮ 1 ݔ ‵ ݔ ሼ. 䁧1求不等式 䁧ሼ 1 ൅ 䁧ሼ ݔ 1的解集; 䁧若函数 䁧ሼ的最大值为 m,且 ㈮ ൌ ܾ䁧 ݔ 求,ݔ ㈮ 1 的最小值. 【答案与解析】 1.答案:C 解析:解: ൌ ሼ ݔ ሼ 晦 1i, ൌ ሼݔ 晦 ሼ i, ൌ ሼݔ 晦 ሼ 晦 1i. 故选:C. 由 A与 B,求出两集合的交集即可. 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.答案:A 解析: 本题考查复数的四则运算和共轭复数的概念,属基础题 解: ൌ 㠳㈮‵ 㠳1ݔ ൌ 䁧㠳㈮‵䁧ݔ㠳1ݔ 䁧㠳1ݔ䁧ݔ㠳1ݔ ൌ 㠳ݔݔ ൌݔ 1 ݔ ൅㠳,则 ൌݔ 1 ݔ ൅㠳. 故选 A. 3.答案:A 解析: 本题考查归纳推理及等差数列的通项公式,解题关键是把每一个不等式与之对应的自然数联系起来, 得到规律. 解析: 解:每个式子左边的项数就是最后一项分母的底数,也是右边分数的分母,右边分数的分母组成以 3为首项,2为公差的等差数列, 因此第 n个不等式是 1 ㈮ 1 ㈮㈮ 1 䁧䁪㈮1 晦 ൅㈮䁧䁪1ݔ 䁪㈮1 ൌ 䁪㈮1 䁪㈮1, 所以第五个不等式为 1 ㈮ 1 ㈮ 1 ൅ ㈮ 1 ‵ ㈮ 1 ㈮ 1 晦 11 . 故选 A. 4.答案:A 解析: 本题考查利用指数对数函数的性质比较大小,属基础题. 根据指数对数函数的性质可得 ݔ 晦 晦 1, 晦 ,ݔ 1,进而得到结论. 解:根据指数函数 ൌ ݔ,൅ሼ是单调减函数.ݔ 晦 ൌ ൅.ݔ 晦 ݔ൅.ݔ ൌ 1, ݔ 晦 晦 1; 根据对数函数 ൌ logሼ是单调增函数, , 晦 ;ݔ 根据 ൌ ሼ是单调增函数,ݔ.൅ ,ݔ ൌ ൅.ݔ ݔ ൌ 1,即 1, 所以 晦 晦 . 故选 A. 5.答案:A 解析: 题主要考查茎叶图的识别和判断,利用频分布直方图计算相应的频数是解决本题的关键,比较基础. 根据频率分布直方图,分别计算每一组的频数即可得到结论. 解析: 解:由频率分布直方图可知: 的频数为ݔ ݔ 1ݔ.ݔ ൌ 1 个, 的频数为ݔ1 ݔ 1ݔ.ݔ ൌ 1个, 1频数为ݔ1 ݔ ‵ݔ.ݔ ൌ ‵个, 频数为ݔ1 ݔ ݔ.ݔ ൌ 个, 频数为ݔ ݔ ‵ݔ.ݔ ൌ ‵个, ൅ݔ频数为 ݔ ൅ݔ.ݔ ൌ ൅个, ൅ݔ൅频数为 ݔ ൅ݔ.ݔ ൌ ൅个, ൅‵ݔ频数为 ݔ ݔ.ݔ ൌ 个, 则对应的茎叶图为 A, 故选 A. 6.答案:A 解析:解:由题意可知几何体的三棱锥,是正方体的一部分,棱长为 2, 所以,几何体的表面积为: 1 ㈮ 1 ㈮ 1 䁧 ݔ 䁧 ൌ ㈮ ‵ ㈮ ൅. 故选:A. 判断几何体的形状,画出直观图,然后求解表面积. 本题考查空间几何体的三视图求解几何体的表面积,判断几何体的形状是解题的关键. 7.答案:A 解析: 本题考查向量的投影,属于简单题. 向量 ൌ 䁧 ൅൅在向量 ൌ 䁧䁪1方向上的投影为 cos ൌ ൅,求出 ,即可求解. 解:设与的夹角为, 由题知 cos ൌ ൅, 又 ൌ ൅ ㈮ ൅ ൌ ൅, cos ൌ ൅ ൅ ൌ ൅ , ݔ1ݔ , ൌ ൅ݔ. 故选 A. 8.答案:C 解析: 本题主要考查函数 ൌ 㠳䁪䁧ሼܣ ㈮ 的图象变换规律和诱导公式,属于基础题. 利用 ൌ 㠳䁪䁧ሼܣ ㈮ 的图象变换规律和诱导公式即可求得的值. 解:函数 的图象向左平移 个单位长度, 得到函数 的图象, 又 , 所以 , 晦 ,则 ൌ ൅, 故选 C. 9.答案:B 解析: 本题主要考查的是异面直线所成角的求法,属于基础题. 可根据正方体的特征得出异面直线 与11所成的角等于直线 与 AB所成的角,即可求解. 解:在正方体 ݔܥ 1中,由于ܥ111 ,11ܯܯ 所以异面直线 与11所成的角等于直线 AC与 AB所成的角, 即为异面直线 与11所成的角䁧或其补角, 在 中, ൌ ‵, 故异面直线 AC与11所成的夹角为 ‵, 故选 B. 10.答案:D 解析: 本题主要考查了对立事件、独立事件发生的概率计算及基本不等式的运用,属于中档题. 设事件 A,B发生的概率分别为 䁧 ൌ ሼ,䁧 ൌ ,则 䁧 ൌ 䁧䁧,代入由基本不等式求 解即可. 解:设事件 A,B发生的概率分别为 䁧 ൌ ሼ,䁧 ൌ , 则 䁧 ൌ 䁧䁧 ൌ 䁧1 ݔ ሼ䁧1 ݔ ൌ 1 , 即 1 ㈮ ሼ ൌ 1 ㈮ ሼ ㈮ 1 ㈮ ሼ,当且仅当 ሼ ൌ 时取“ൌ”, 所以 ሼ ൅ 或 ሼ ‵ ൅ 䁧舍去, 所以 ݔ ሼ ‵ . 所以 䁧 ൌ 䁧䁧 ൌ ሼ ݔ ‵ . 故选 D. 11.答案:C 解析: 本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件:斜率之积为 ݔ 1,考查运算能力,属于中档题. 设出 䁧ݔ,䁧ݔ,双曲线 C的一条渐近线 ൌ ሼ,运用两点的斜率公式和两直线垂直的条件: 斜率之积为ݔ 1,结合双曲线的 a,b,c的关系和离心率公式计算即可得到所求值. 解:由题意可设 䁧ݔ,䁧ݔ, 若 AF与双曲线 C的一条渐近线 ൌ ሼ垂直, 可得 ݔݔ ݔݔ ൌݔ 1, 即为 ൌ ,由 ൌ ݔ , 即有 ݔ ݔ ൌ ,ݔ 由 ൌ 可得 ݔ ݔ 1 ൌ ,ݔ 解得 ൌ 1㈮ 䁧负的舍去, 故选:C. 12.答案:D 解析: 本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值. 解:因为对任意实数 x都有 䁧ሼ ൌ ሼ䁧ሼ ㈮ ൅ ㈮ 䁧ሼ,即 ሼ ݔ ሼ ሼ ൌ ሼ㈮ ൅, 所以 ሼ ሼ ൌ ሼ ㈮ ൅,即 ሼ ሼ ൌ ሼ ㈮ ൅ሼ㈮ ,c为常数, 所以 ሼ ൌ ሼ ㈮ ൅ሼ㈮ ሼ. 又因为 䁧ݔ ൌ 1, 所以 ݔ ൌ ݔ ㈮ ൅ ݔ ㈮ ݔ ൌ 1,解得 ൌ 1, 所以 ሼ ൌ ሼ ㈮ ൅ሼ㈮ 1 ሼ,则 ሼ ൌ ሼ ㈮ ሼ㈮ ‵ ሼ. 当 ሼ ݔ ݔ ‵ ݔ 1 ㈮ 时, ሼ 当,ݔ ሼ ݔ ‵ ݔ 1 时, ሼ 晦 ,ݔ 所以函数 䁧ሼ在 ݔ ݔ ‵ ݔ 1 ㈮ 上单调递增,在 ݔ ‵ ݔ 1 上单调递减, 所以 ሼ ൌݔ ‵是极大值点,ሼ ൌݔ 1是极小值点, 所以函数 䁧ሼ既有极大值又有极小值. 故选 D. 13.答案:32 解析:解:等差数列䁪i中‵ ㈮ ൌ , ൌ 䁧1㈮ ൌ ‵䁧1 ㈮ ൌ ‵䁧‵ ㈮ ൌ ൅ 故答案为:32 由等差数列的性质和求和公式可得 ൌ ‵䁧‵ ㈮ ,代值计算可得. 本题考查等差数列的求和公式和性质,属基础题. 14.答案:ݔ 1 解析: 本题考查点到直线的距离,直线与圆的位置关系,由题求出圆 C的圆心,半径,由直线 ሼ㈮ ݔ ൌ ݔ 与圆 C相交于 A,B两点,且 ,得到 AB,由此利用圆心 1 到直线 ሼ㈮ ݔ ൌ 的距离ݔ 为 ൌ ㈮ݔ ㈮1 ൌ ,即可求出 a,属中档题. 解:由题知圆 C的圆心为 1 ,半径为 ൌ ‵, 直线 ሼ㈮ ݔ ൌ 与圆ݔ C相交于 A,B两点,且 , ൌ ‵ ㈮ ‵ ൌ ‵ , 圆心 1 到直线 ሼ㈮ ݔ ൌ 的距离为ݔ ൌ ㈮ݔ ㈮1 ൌ , ൌݔ 1. 故答案为ݔ 1. 15.答案: 解析: 本题考查球内接多面体及其度量,考查空间想象能力,计算能力,解答的关键是确定球心位置,利 用已知三棱锥的特点是解决问题关键,属于难题. 利用已知三棱锥 ݔ 的特点ܥ ൌ ൌ 先确定,ܥ 的外心ܥ O,及外接圆的半径,然后 证明 O也是三棱锥 ݔ .的外接球的球心,即可解答ܥ 解析: 解:如图取 BD的中点 E,连接 AE,CE. 则 ܧ ܧ,ܥ .ܥ 平面 ܥ 平面 BCD, 平面 ܥ 平面 ܥ ൌ ,ܥ ܧ 平面 BCD, 又 ܧ 平面 BCD, ܧ .ܧ 设 的外接圆的圆心为ܥ O,半径为 r. ൌ ,ܥ 圆心 O在 AE所在的直线上. ൌ ܧ ㈮ ܧ ൌ ܧ ㈮ 䁧ݔ .ܧ 在 ܥ,中ܥ ൌ 1㈮ 1 ൌ ‵ , ܧ ൌ ܧ ൌ . 在 ܧ,中ܧ ൌ ݔ1 ൌ , ൌ ㈮ 䁧 ݔ ,解得 ൌ ൅. ܧ ൌ 1. 在 ,中ܧ ൌ ܧ ㈮ ܧ ൌ ൅, ൌ ൌ ൌ ܥ ൌ ൅. 点 O是三棱锥 ݔ 的外接球的球心,则球半径ܥ ൌ ൅. 大圆面积 ൌ ൌ . 故答案为 . 16.答案:䁧 ݔ 1 解析: 本题考查由导数求函数的单调性、最值,求解不等式存在性问题,属于中档题. 由题意可得 ሼ 晦 可得ݔ 晦 ሼ൅ ݔ ሼ 晦 ,即为ݔ ሼ ݔ ሼ 晦ݔ 晦ݔ ሼ ㈮ ሼ ,等价为 ݔ ሼ ݔ ሼ ܾ㠳䁪 晦 ݔ 晦 ݔ ሼ ㈮ ሼ ܾሼ ,分别判断不等式左右两边函数的单调性,求得最值,解不等式即可得到 a的 范围. 解:当 ሼ 1 时, ሼ ൌ ሼ൅ ݔ ሼ ,由 ሼ 晦 可得ݔ 晦 ሼ൅ ݔ ሼ 晦 , 即为ݔ ሼ ݔ ሼ 晦ݔ 晦ݔ ሼ ㈮ ሼ , 设 ሼ ൌݔ ሼ ݔ ሼ ,导数为 ሼ ൌݔ ሼ㈮ ሼ , 当 ሼ 1 时, ሼ 即,ݔ 䁧ሼ递减,䁧可由单调性的定义得到,可得 ሼ ܾ㠳䁪 ൌݔ ‵ ݔ 1 ൌݔ , 即有ݔ ݔ ,即 晦 ; 设 ሼ ൌݔ ሼ ㈮ ሼ ,导数为 ሼ ൌݔ ሼݔ ሼ , 当 ሼ 1 时, ሼ 晦 即,ݔ 䁧ሼ递减,䁧可由减㈮减ൌ减得到, 可得 ሼ ܾሼ ൌݔ 1 ㈮ ൌ 1.即有ݔ 晦 1,即 ݔ 1. 综上可得,a的范围是ݔ 1 晦 晦 . 故答案为:䁧 ݔ 1. 17.答案:解:䁧1设等差数列 䁪 的公差为 d, 则有 ൅1 ㈮ ൅ ൌ ൅ 䁧1 ㈮ 1 ㈮ 䁪ݔ 1 ൌ 1 ㈮ 䁪ݔ 1 ㈮ 1 ,解得 1 ൌ ݔ ൌ 1 所以䁪 ൌ 1 ㈮ 䁪ݔ 1 ൌ 䁪 ݔ 1; 䁧由䁧1知,䁪 ൌ 䁪䁪 ൌ 䁪ݔ 1 ൅䁪1ݔ, 则䁪 ൌ 1 ㈮ ㈮ ൅ ㈮ ㈮ 䁪 ൌ ݔ ൅ݔ ㈮ 1 ൅1 ㈮ ൅ ㈮ ㈮ 䁪ݔ 1 ൅䁪1ݔ 所以 ൅䁪 ൌ ݔ ൅1 ㈮ 1 ൅ ㈮ ൅൅ ㈮ ㈮ 䁪ݔ ൅䁪1ݔ ㈮ 䁪ݔ 1 ൅䁪, 以上两式相减得: ݔ 䁪 ൌ ൅1 ㈮ ൅ ㈮ ㈮ ൅䁪1ݔ ݔ 䁪ݔ 1 ൅䁪 ൌ ൅ 1 ݔ ൅䁪1ݔ 1 ݔ ൅ ݔ 䁪 ݔ 1 ൅䁪 ൌ 1 ൅䁪 ݔ ൅ ݔ 䁪 ݔ 1 ൅䁪 ൌ ൅ ݔ 䁪 ൅䁪 ݔ ൅ , 所以䁪 ൌ 䁪 ݔ ൅ ‵ ൅䁪 ㈮ ൅ ‵ . 解析:本题考查了等差数列通项公式,等差数列求和公式的运用,错位相减法求和,属于中档题. 䁧1根据 ,建立方程组,求出首项和公差即可得到数列 䁪 的通项公 式; 䁧由䁧1可得䁪 ൌ 䁪䁪 ൌ 䁪ݔ 1 ൅䁪1ݔ,然后用错位相减法求和即可得到答案. 18.答案:证明:䁧Ⅰ由题意可知,平面 11 平面111, 因为 111为等边三角形,且 D为11的中点, 故 C1ܥ 11. 因为平面 11 平面111 ൌ 11, 故 C1ܥ 平面 11, 因为1ܥ 平面 ,ܥ1 故平面 ܥ1 平面 11. 䁧Ⅱ当点 M为线段 AC的中点时,平面 平面ܯܯܧ 1D. 如图,取 AB中点 O,连接 CO,DO,取 AC中点 M,连接 EM,MF, 由三棱柱性质可知,四边形1ܥ为平面四边形, 因为 ൌ ൅,且 O为线段 AB中点, 故 F为线段 AO中点, 又 M为线段 AC中点,故 故,ܯܯܥ又1,ܯܯ ,ܥ1ܯܯ 因为 平面 ܥ1,ܥ1 平面 故,ܥ1 平面ܯܯ ,ܥ1 连接1,同理可得 平面ܯܯܧ ,ܥ1 因为 ܧ ൌ ܧ, 平面 FEM, 平面 FEM, 故平面 平面ܯܯܧ 1D. 解析:䁧Ⅰ由题意可证明1ܥ 11,又平面 11 平面111 ൌ 11,可证1ܥ 平面 11, 即可证明平面 ܥ1 平面 11. 䁧Ⅱ取 AB中点 O,连接 CO,DO,取 AC中点 M,连接 EM,MF,可证四边形1ܥ为平面四边 形,F为线段 AO中点,可证 平面ܯܯ有,ܥ1ܯܯ 连接1,同理可得,ܥ1 平面ܯܯܧ ,ܥ1 由 ܧ ൌ ܧ, 平面 FEM, 平面 FEM,即可证明平面 平面ܯܯܧ 1D. 本题主要考查了面面垂直的判定定理和性质定理,线面平行的判定定理,面面平行的判定定理,考 查了转化与化归思想,空间想象能力和推论论证能力,属于中档题. 19.答案:解:䁧1表格补充如下: 赞成反对总计 教师 120 80 200 学生 160 40 200 总计 280 120 400 故可以估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数为 ൅ݔݔݔݔ ݔ ݔݔ ൌ ;ݔݔݔ1 䁧由分层抽样可知,所抽取的 6人中的 2名学生记为 a,b, 4名教师记为 1,2,3,4, 随机选出 3人进行深入调研,不同选法有: 䁧b,1,䁧b,,䁧b,൅,䁧b,‵,䁧1,, 䁧1,൅,䁧1,‵,䁧2,൅,䁧2,‵,䁧3,‵, 䁧1,,䁧1,൅,䁧1,‵,䁧2,൅,䁧2,‵, 䁧3,‵,䁧12,൅,䁧12,‵,䁧13,‵,䁧3,‵,共 20种, 恰有 1名学生的选法有: 䁧1,,䁧1,൅,䁧1,‵,䁧2,൅, 䁧2,‵,䁧3,‵,䁧1,,䁧1,൅, 䁧1,‵,䁧2,൅,䁧2,‵,䁧3,‵,共 12种, 故深入调研中恰有 1名学生的概率 ൌ 1 ݔ ൌ ൅ . 解析:本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用. 䁧1表格补充完整,由此可以估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数. 䁧由分层抽样可知,所抽取的 6人中的 2名学生记为 a,b,4名教师记为 1,2,3,4,随机选出 3 人进行深入调研,利用列举法能求出深入调研中恰有 1名学生的概率. 20.答案:解:䁧1易知函数 䁧ሼ ൌ ሼ1ݔ ݔ 䁧㈮ ሼ的定义域为 R, 则 䁧ሼ ൌ ሼ1ݔ ݔ 䁧㈮ , 当ݔ 䁧㈮ 即,ݔ ݔ 时,䁧ሼ 对任意ݔ ሼ 恒成立, 故函数 䁧ሼ为 R上的增函数; 当ݔ 䁧㈮ 晦 即,ݔ ݔ 时,令 䁧ሼ 晦 得,ݔ , 令 䁧ሼ 得,ݔ , 故函数 䁧ሼ在 上单调递减,在 上单调递增, 综上,当 ݔ 时,䁧ሼ在 R上单调递增; 当 ݔ 时,䁧ሼ在 上单调递减, 在 上单调递增; 䁧由 䁧ሼ 䁧ሼ,即 ሼ1ݔ ݔ 䁧㈮ ሼ ݔ 䁧1 ㈮ 䁪ሼ, 得 䁪ሼ ㈮ ሼ1ݔ ݔ 䁧㈮ ሼ ㈮ ,ݔ 令 䁧ሼ ൌ 䁪ሼ ㈮ ሼ1ݔ ݔ 䁧㈮ ሼ ㈮ , 则 䁧ሼ ൌ ሼ ㈮ ሼ1ݔ ݔ 䁧㈮ ൌ ሼሼݔ1ݔ䁧㈮ሼ㈮ ሼ , 由䁧1知,函数 ൌ ሼ1ݔ ݔ ሼ在区间1 ㈮上单调递增, 当 ሼ 1时,ሼ1ݔ ݔ ሼ ݔ ݔ ൌ 即在1,ݔ ㈮ 上恒有ሼ1ݔ ሼ, 在1 ㈮ 上, ሼ ሼݔ䁧㈮ሼ㈮ ሼ ൌ ሼݔ ሼ1ݔ ሼ , 当 时,䁧ሼ 在区间1ݔ ㈮上恒成立, 即 䁧ሼ在1 ㈮上单调递增, 䁧ሼ 䁧1 ൌ ;䁧符合题意ݔ 当 时,由 ሼ ൌ ሼሼݔ1ݔ䁧㈮ሼ㈮ ሼ , 设 ሼ ൌ ሼሼݔ1ݔ䁧㈮ሼ㈮ ሼ , 得 ሼ ൌݔ ሼ ㈮ ሼ1ݔ, 可知 ሼ 在1 ㈮上单调递增, 又 1 ൌ ݔ 晦 ,ݔ ൌ 1ݔ ݔ 1 ,ݔ 故 ሼ 在 1 上存在唯一零点ሼݔ, 当 ሼ 䁧1ሼݔ时, ሼ 晦 即,ݔ 䁧ሼ在䁧1ሼݔ上单调递减, 此时 ሼ 晦 1 ൌ ,ݔ 所以 䁧ሼ在 ሼ 䁧1ሼݔ上单调递减, 此时 䁧ሼ 晦 䁧1 ൌ ;与已知矛盾䁧不符合题意ݔ 综上,实数 a的取值范围为䁧 ݔ . 解析:本题主要考查了导数的运用,运用导数研究函数的单调性和最值,涉及导数中的不等式恒成 立问题,考查了分类讨论思想,属于较难题. 䁧1先求出函数 䁧ሼ的导函数,然后对 a分类讨论,确定导函数符号即可得到函数 䁧ሼ的单调性; 䁧根据 䁧ሼ 䁧ሼ,得到 䁪ሼ ㈮ ሼ1ݔ ݔ 䁧㈮ ሼ ㈮ 令,ݔ 䁧ሼ ൌ 䁪ሼ ㈮ ሼ1ݔ ݔ 䁧㈮ ሼ ㈮ , 则 䁧ሼ ൌ ሼ ㈮ ሼ1ݔ ݔ 䁧㈮ ൌ ሼሼݔ1ݔ䁧㈮ሼ㈮ ሼ ,然后对 a分类讨论,讨论函数的单调性和最值,即 可得到实数 a的取值范围. 21.答案:解:䁧1设 䁧ሼ, ㈮ ൌ 则,ݔ 䁧 ሼ ൅ ൅ ,䁧ݔ ൅ , 根据 ൌ , 可得ሼ ㈮ ൅ ൌ 1䁧 .ݔ 䁧当直线 EF的斜率不存在时, ൌ . 当直线 EF的斜率存在时,设斜率为 .则直线 EH的方程为 ൌ ሼ㈮ ,点 M的坐标为䁧 ൅ . 把直线方程代入椭圆方程可得䁧 ㈮ ൅ሼ ㈮ ሼ ݔ 1 ൌ 设,ݔ 䁧ሼ11,䁧ሼ,䁧ܧ 䁧 .ݔ 则ሼ1 ㈮ ሼ ൌ ݔ ㈮൅ ,ሼ1ሼ ൌ 1ݔ ㈮൅ , 1 1 ൌ ሼ1ݔ ݔ1 ൌ ሼ1ݔ ሼ1 , 1 ൌ ሼݔ ሼ , 1 ൅ ൌ 1 ݔ . 又 1 1 ㈮ 1 ൌ ൅ , ሼ1ݔ ሼ1 ㈮ ሼݔ ሼ ൌ ݔ . 故存在常数 ൌ 满足条件. 解析:䁧1设 䁧ሼ, ㈮ ൌ 可得,ݔ 䁧 ሼ ൅ ൅ ,䁧ݔ ൅ ,根据 ൌ ,即可得出. 䁧当直线 EF的斜率不存在时, ൌ .当直线 EF的斜率存在时,设斜率为 .则直线 EH的方程为 ൌ ሼ㈮ ,点 M的坐标为䁧 ൅ .把直线方程代入椭圆方程可得䁧 ㈮ ൅ሼ ㈮ ሼݔ 1 ൌ 设,ݔ 䁧ሼ11,䁧ሼ,䁧ܧ 䁧 利用根与系数的关系可得.ݔ 1 1 ൌ ሼ1ݔ ݔ1 ൌ ሼ1ݔ ሼ1 , 1 ൌ ሼݔ ሼ , 1 ൅ ൌ 1 ݔ .又 1 1 ㈮ 1 ൌ ൅ ,即可得出. 本题综合考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切转化为方程联立可得根与系数的关 系、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.题目应该为 ㈮ ൌ 平行于ݔ AB 22.答案:解:䁧1 ሼ ൌ ሼ ൅ ൌ , ሼ ൌ ൅ሼ ൌ . ሼ ൌ ൅ ㈮ ൅ܣ ൌ 㠳䁪ܣ 䁧为参数, ൅ሼ ൌ ൅ ㈮ ൅ܣ ൌ 㠳䁪ܣ , ሼ ൌ 1 ㈮ ܣ ൌ 㠳䁪ܣ , 普通方程为 ሼ ݔ 1 ㈮ ൌ 1, 即的极坐标方程为 ൌ ;ܣ 䁧 㠳䁪ܣ ݔ ൌ 1, ൅直角坐标方程为 ሼ ݔ ൅ ݔ ൌ ,ݔ 是以䁧1ݔ为圆心,1为半径的圆, 圆心到直线൅的距离为: ൌ ݔݔݔ1 ൌ 1 , ൌ 1 ݔ 1 ൌ ൅. 解析:本题考查坐标系及参数方程. 䁧1求出的参数方程,即可求 C2的极坐标方程; 䁧是以䁧1ݔ为圆心,2为半径的圆,曲线൅的极坐标方程为ܣ㠳䁪䁧 ݔ ൌ 1,直角坐标方程为 ሼ ݔ ൅ ݔ ൌ .求出圆心到直线的距离,即可求的值,ݔ 23.答案:解:䁧1䁧ሼ ൌ ሼ ㈮ 1 ݔ ‵ ݔ ሼ ൌ ሼ ݔ ሼ 晦ݔ 1 ൅ሼݔ ൅ ݔ 1 ሼ ݔ ሼ ㈮ ሼ , 因为 䁧ሼ 1 ൅ 䁧ሼ ݔ 1, 所以 ሼ 晦ݔ 1 ሼ ݔ 1 ൅ 䁧ሼ ݔ 1或 ݔ 1 ሼ ൅ሼݔ ൅ 1 ൅ 䁧ሼ ݔ 1或 ሼ ݔ ሼ ㈮ 1 ൅ 䁧ሼ ݔ 1, 解得 1 ሼ 或 晦 ሼ ‵. 故不等式 䁧ሼ 1 ൅ 䁧ሼ ݔ 1的解集为1‵. 䁧由䁧1可知 䁧ሼ的最大值 ܾ ൌ 䁧 ൌ ൅. 因为 ㈮ ൌ ൅䁧 ݔ 所以,ݔ ㈮ 1 ൌ 1 ൅ 䁧 ㈮ 䁧 ㈮ 1 ൌ 1 ൅ 䁧 ㈮ ㈮ 1 ൅ 䁧 ㈮ ൌ ൅, 当且仅当 ൌ ൌ 1时,等号成立, 故 ㈮ 1 的最小值是 3. 解析:䁧1将函数 䁧ሼ化为分段函数的形式,再分类讨论去掉绝对值,解不等式组后取并集即可得到 解集; 䁧由䁧1知,㈮ ൌ ൅,再利用基本不等式即可求得所求式子的最小值. 本题考查绝对值不等式的解法以及利用基本不等式求最值,考查计算能力,属于基础题.