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- 2021-06-16 发布
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2020 年重庆市名校联盟高考数学二诊试卷(文科)(A 卷)
一、单项选择题(本大题共 12小题,共 60.0分)
1. 若集合 ൌ ሼ ݔ ሼ 晦 1i, ൌ ሼݔ 晦 ሼ i,则 ൌ 䁧
A. ሼ ݔ ሼ i B. ሼ ݔ ሼ 晦 iݔ
C. ሼݔ 晦 ሼ 晦 1i D. ሼ 1 晦 ሼ i
. 若复数 ൌ 㠳㈮‵
㠳1ݔ
,则 ൌ 䁧
A. ݔ 1 ㈮ 㠳 B. ݔ 1 ݔ 㠳 C. 1 ㈮ 㠳 D. 1 ݔ 㠳
. 观察下列不等式:
1 ㈮ 1
晦
,
1 ㈮ 1
㈮ 1
晦
,
1 ㈮
1
㈮
1
㈮
1
‵
晦
‵
照此规律,第五个不等式为䁧
A. 1 ㈮ 1
㈮ 1
㈮ 1
‵
㈮ 1
㈮ 1
晦 11
B. 1 ㈮ 1
㈮ 1
㈮ 1
‵
㈮ 1
㈮ 1
晦 1
C. 1 ㈮ 1
㈮ 1
㈮ 1
‵
㈮ 1
晦
D. 1 ㈮ 1
㈮ 1
㈮ 1
‵
㈮ 1
㈮ 1
㈮ 1
晦 1
E. 1 ㈮ 1
㈮ 1
㈮ 1
‵
㈮ 1
㈮ 1
晦 ݔ1
F. 1 ㈮ 1
㈮ 1
㈮ 1
‵
㈮ 1
㈮ 1
晦 11
‵. 三个数 ൌ logݔ . , ൌ , .ݔ ൌ 的大小关系为䁧.ݔ
A. 晦 晦 B. 晦 晦 C. 晦 晦 D. 晦 晦
. 某教育机构随机抽取某校 20个班级,调查各班级关注汉字听写大赛的学生人数,根据所得数据
按照ݔ , ݔ 1 , 1ݔ 1, ݔ 1, ݔ , ݔ , ݔ , ‵ݔ 进行分组,并绘制
成如图所示的频率分布直方图,则将所得数据绘制成的茎叶图可能是䁧
A. B.
C. D.
. 某多面体的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为 1,则该多面体的表面积为䁧
A. ㈮ ‵ ㈮ B. ㈮ ㈮ ‵ C. ㈮ D. ㈮ ‵
. 已知向量 ൌ 䁧 在向量 ൌ 䁧䁪 1 方向上的投影为 3,则 与 的夹角为䁧
A. 30 B. ݔ C. ݔ 或 ݔ 1 D. 或ݔ ݔ 1
. 已知函数 的图象向左平移
个单位后得到 䁧ሼ ൌ cos䁧 ሼ ㈮
的图
象,则 的值为䁧
A. ݔ
B. ݔ
C.
D.
. 在正方体 ݔܥ 1中,异面直线ܥ 1 1 1 AC与 1 1所成的夹角为䁧
A. ݔ B. ‵ C. ݔ D. ݔ
.ݔ1 设两个相互独立事件 A,B都不发生的概率为
1
,则 A与 B都发生的概率的取值范围是䁧
A. ݔ
B. 1
C.
D. ݔ ‵
11. 已知双曲线 C:ሼ
ݔ
ൌ 1䁧 ݔ 的右焦点为ݔ F,虚轴的一个端点为 A,若 AF与双曲线 C
的一条渐近线垂直,则双曲线的离心率为䁧
A. ㈮ 1 B. C. 1㈮
D.
1 . 已知 ሼ 是函数 ሼ 的导函数,且对任意实数 x都有 ሼ ൌ ሼ ሼ㈮ ㈮ ሼ 䁧 是自然对数的
底数 , ݔ ൌ 1,对于函数 ሼ ,下列说法正确的是䁧
A. 无极值 B. 有极大值,无极小值
C. 有极小值,无极大值 D. 既有极大值又有极小值
二、填空题(本大题共 4小题,共 20.0分)
1. 等差数列 䁪i中,已知 ‵ ㈮ ൌ ,则 ൌ ______ .
1‵. 已知圆C:䁧ሼ ݔ 1 ㈮ 䁧 ݔ ൌ 1 ,若直线 ሼ㈮ ݔ ൌ 与圆C相交于A,B两点,且ݔ ,
则实数 a的值为_______.
1 . 已知三棱锥 ݔ 中,平面 ܥ 平面 BCD, ܥ ൌ ܥ ൌ ‵ ൌ ܥ ൌ ,则三
棱锥 ݔ .________的外接球的大圆面积为ܥ
1 . 已知函数 䁧ሼ ൌ ሼ ሼ ݔ ,若存在 ሼ 1 ,使得 䁧ሼ 晦 ,则实数 a的取值范围是______.
三、解答题(本大题共 7小题,共 82.0分)
1 . 已知 䁪是等差数列 䁪 的前 n项和,且 ൌ 䁪 ൌ 䁪 ㈮ 1䁧䁪 ᦙ
䁧1 求数列 䁪 的通项公式;
䁧 若 䁪 ൌ 䁪1ݔ,令 䁪 ൌ 䁪 䁪,求数列 䁪 的前 n项和 䁪
18. 已知底面为正三角形的三棱柱 ݔ 1 1 1中, 1 平面 ABC,D、E分别是 1 1, 1的中
点,F是 AB边上的点,且 ൌ ,连接 EF、DB、 1B、 1D.
䁧Ⅰ 求证:平面 ܥ 1 平面 1 1;
䁧Ⅱ 在线段 AC上,是否存在一点 M,使得平面 平面ܯܯ ܧ 若存在,请找出点,ܥ 1 M的位
置,并证明平面 平面ܯܯ ܧ .若不存在,请说明理由,ܥ 1
19. 某地教育研究中心为了调查该地师生对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法,对该市区
部分师生进行调查,先将调查结果统计如下:
赞成反对总计
教师 120
学生 40
总计 280 120
䁧1 请将表格补充完整,若该地区共有教师 30000人,以频率为概率,试估计该地区教师反对“高
考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数;
䁧 按照分层抽样从“反对”的人中先抽取 6人,再从中随机选出 3人进行深入调研,求深入调
研中恰有 1名学生的概率.
20. 已知函数 䁧ሼ ൌ ሼ1ݔ ݔ 䁧 ㈮ ሼ, 䁧ሼ ൌݔ 䁧1 ㈮ 䁪ሼ 䁧 .
䁧1 讨论函数 䁧ሼ 的单调性;
䁧 若对任意的 ሼ 1 ㈮ , 䁧ሼ 䁧ሼ 恒成立,求实数 a的取值范围.
21. 在直角坐标系 xOy中,设点 䁧 ݔ Q为, ݔ 䁧1, ݔ 1 的外心.已知 ㈮ ൌ . ܯܯ ,ݔ
䁧1 求点 C的轨迹 的方程
䁧 设经过 䁧ݔ 的直线交轨迹 与 E,H,直线 EH与直线 l: ൌ
交于点 M,点 P是直线
ൌ 上异于点 F的任意一点.若直线 PE,PH,PM的斜率分别为 1, , ,问是否存在实
数 t,使得
1
1
㈮ 1
ൌ
,若存在,求 t的值;若不存在,说明理由.
22. 在平面直角坐标系中,曲线 1:
ሼ ൌ ㈮ cosα
ൌ sinα 䁧 为参数 经过伸缩变换
ሼ’ ൌ ሼ
’ ൌ
后的曲线为 ,
以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
䁧1 求 的极坐标方程;
䁧 设曲线 的极坐标方程为ρsin䁧
ݔ ൌ 1,且曲线 与曲线 相交于 P,Q两点,求 PQ 的
值.
23. 已知函数 䁧ሼ ൌ ሼ ㈮ 1 ݔ ‵ ݔ ሼ .
䁧1 求不等式 䁧ሼ 1
䁧ሼ ݔ 1 的解集;
䁧 若函数 䁧ሼ 的最大值为 m,且 ㈮ ൌ ܾ䁧 ݔ 求, ݔ
㈮ 1
的最小值.
【答案与解析】
1.答案:C
解析:解: ൌ ሼ ݔ ሼ 晦 1i, ൌ ሼݔ 晦 ሼ i,
ൌ ሼݔ 晦 ሼ 晦 1i.
故选:C.
由 A与 B,求出两集合的交集即可.
此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2.答案:A
解析:
本题考查复数的四则运算和共轭复数的概念,属基础题
解: ൌ 㠳㈮‵
㠳1ݔ
ൌ 䁧 㠳㈮‵ 䁧ݔ㠳1ݔ
䁧㠳1ݔ 䁧ݔ㠳1ݔ
ൌ 㠳ݔ ݔ
ൌݔ 1 ݔ 㠳,则 ൌݔ 1 ݔ 㠳.
故选 A.
3.答案:A
解析:
本题考查归纳推理及等差数列的通项公式,解题关键是把每一个不等式与之对应的自然数联系起来,
得到规律.
解析:
解:每个式子左边的项数就是最后一项分母的底数,也是右边分数的分母,右边分数的分母组成以
3为首项,2为公差的等差数列,
因此第 n个不等式是 1 ㈮ 1
㈮ ㈮ 1
䁧䁪㈮1
晦 ㈮䁧䁪1ݔ
䁪㈮1
ൌ 䁪㈮1
䁪㈮1,
所以第五个不等式为 1 ㈮ 1
㈮ 1
㈮ 1
‵
㈮ 1
㈮ 1
晦 11
.
故选 A.
4.答案:A
解析:
本题考查利用指数对数函数的性质比较大小,属基础题.
根据指数对数函数的性质可得 ݔ 晦 晦 1, 晦 ,ݔ 1,进而得到结论.
解:根据指数函数 ൌ ݔ,ሼ是单调减函数.ݔ 晦 ൌ .ݔ 晦 ݔ.ݔ ൌ 1, ݔ 晦 晦 1;
根据对数函数 ൌ log ሼ是单调增函数, , 晦 ;ݔ
根据 ൌ ሼ是单调增函数,ݔ. ,ݔ ൌ .ݔ ݔ ൌ 1,即 1,
所以 晦 晦 .
故选 A.
5.答案:A
解析:
题主要考查茎叶图的识别和判断,利用频分布直方图计算相应的频数是解决本题的关键,比较基础.
根据频率分布直方图,分别计算每一组的频数即可得到结论.
解析:
解:由频率分布直方图可知:
的频数为ݔ ݔ 1ݔ.ݔ ൌ 1 个,
的频数为ݔ 1 ݔ 1ݔ.ݔ ൌ 1个,
1 频数为ݔ 1 ݔ ‵ݔ.ݔ ൌ ‵个,
频数为ݔ 1 ݔ ݔ.ݔ ൌ 个,
频数为ݔ ݔ ‵ݔ.ݔ ൌ ‵个,
ݔ 频数为 ݔ ݔ.ݔ ൌ 个,
ݔ 频数为 ݔ ݔ.ݔ ൌ 个,
‵ݔ 频数为 ݔ ݔ.ݔ ൌ 个,
则对应的茎叶图为 A,
故选 A.
6.答案:A
解析:解:由题意可知几何体的三棱锥,是正方体的一部分,棱长为
2,
所以,几何体的表面积为:
1
㈮ 1
㈮ 1
䁧 ݔ 䁧 ൌ ㈮ ‵ ㈮ .
故选:A.
判断几何体的形状,画出直观图,然后求解表面积.
本题考查空间几何体的三视图求解几何体的表面积,判断几何体的形状是解题的关键.
7.答案:A
解析:
本题考查向量的投影,属于简单题.
向量 ൌ 䁧 在向量 ൌ 䁧䁪 1 方向上的投影为 cos ൌ ,求出 ,即可求解.
解:设 与 的夹角为 ,
由题知 cos ൌ ,
又 ൌ
㈮ ൌ ,
cos ൌ
ൌ
,
ݔ 1ݔ ,
ൌ ݔ .
故选 A.
8.答案:C
解析:
本题主要考查函数 ൌ 㠳䁪䁧 ሼܣ ㈮ 的图象变换规律和诱导公式,属于基础题.
利用 ൌ 㠳䁪䁧 ሼܣ ㈮ 的图象变换规律和诱导公式即可求得 的值.
解:函数 的图象向左平移
个单位长度,
得到函数 的图象,
又
,
所以 , 晦 ,则 ൌ
,
故选 C.
9.答案:B
解析:
本题主要考查的是异面直线所成角的求法,属于基础题.
可根据正方体的特征得出异面直线 与 1 1所成的角等于直线 与 AB所成的角,即可求解.
解:在正方体 ݔܥ 1中,由于ܥ 1 1 1 , 1 1ܯܯ
所以异面直线 与 1 1所成的角等于直线 AC与 AB所成的角,
即 为异面直线 与 1 1所成的角䁧或其补角 ,
在 中, ൌ ‵ ,
故异面直线 AC与 1 1所成的夹角为 ‵ ,
故选 B.
10.答案:D
解析:
本题主要考查了对立事件、独立事件发生的概率计算及基本不等式的运用,属于中档题.
设事件 A,B发生的概率分别为 䁧 ൌ ሼ, 䁧 ൌ ,则 䁧 ൌ 䁧 䁧 ,代入由基本不等式求
解即可.
解:设事件 A,B发生的概率分别为 䁧 ൌ ሼ, 䁧 ൌ ,
则 䁧 ൌ 䁧 䁧 ൌ 䁧1 ݔ ሼ 䁧1 ݔ ൌ 1
,
即 1 ㈮ ሼ ൌ 1
㈮ ሼ ㈮ 1
㈮ ሼ ,当且仅当 ሼ ൌ 时取“ൌ”,
所以 ሼ
或 ሼ ‵
䁧舍去 ,
所以 ݔ ሼ ‵
.
所以 䁧 ൌ 䁧 䁧 ൌ ሼ ݔ ‵
.
故选 D.
11.答案:C
解析:
本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件:斜率之积为
ݔ 1,考查运算能力,属于中档题.
设出 䁧ݔ , 䁧ݔ ,双曲线 C的一条渐近线 ൌ
ሼ,运用两点的斜率公式和两直线垂直的条件:
斜率之积为ݔ 1,结合双曲线的 a,b,c的关系和离心率公式计算即可得到所求值.
解:由题意可设 䁧ݔ , 䁧ݔ ,
若 AF与双曲线 C的一条渐近线 ൌ
ሼ垂直,
可得
ݔݔ
ݔݔ
ൌݔ 1,
即为 ൌ ,由 ൌ ݔ ,
即有 ݔ ݔ ൌ ,ݔ
由 ൌ
可得 ݔ ݔ 1 ൌ ,ݔ
解得 ൌ 1㈮
䁧负的舍去 ,
故选:C.
12.答案:D
解析:
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值.
解:因为对任意实数 x都有 䁧ሼ ൌ ሼ䁧 ሼ ㈮ ㈮ 䁧ሼ ,即
ሼ ݔ ሼ
ሼ
ൌ ሼ㈮ ,
所以
ሼ
ሼ
ൌ ሼ ㈮ ,即
ሼ
ሼ
ൌ ሼ ㈮ ሼ㈮ ,c为常数,
所以 ሼ ൌ ሼ ㈮ ሼ㈮ ሼ.
又因为 䁧ݔ ൌ 1,
所以 ݔ ൌ ݔ ㈮ ݔ ㈮ ݔ ൌ 1,解得 ൌ 1,
所以 ሼ ൌ ሼ ㈮ ሼ㈮ 1 ሼ,则 ሼ ൌ ሼ ㈮ ሼ㈮ ‵ ሼ.
当 ሼ ݔ ݔ ‵ ݔ 1 ㈮ 时, ሼ 当,ݔ ሼ ݔ ‵ ݔ 1 时, ሼ 晦 ,ݔ
所以函数 䁧ሼ 在 ݔ ݔ ‵ ݔ 1 ㈮ 上单调递增,在 ݔ ‵ ݔ 1 上单调递减,
所以 ሼ ൌݔ ‵是极大值点,ሼ ൌݔ 1是极小值点,
所以函数 䁧ሼ 既有极大值又有极小值.
故选 D.
13.答案:32
解析:解: 等差数列 䁪i中 ‵ ㈮ ൌ ,
ൌ
䁧 1㈮
ൌ ‵䁧 1 ㈮
ൌ ‵䁧 ‵ ㈮ ൌ
故答案为:32
由等差数列的性质和求和公式可得 ൌ ‵䁧 ‵ ㈮ ,代值计算可得.
本题考查等差数列的求和公式和性质,属基础题.
14.答案:ݔ 1
解析:
本题考查点到直线的距离,直线与圆的位置关系,由题求出圆 C的圆心,半径,由直线 ሼ㈮ ݔ ൌ ݔ
与圆 C相交于 A,B两点,且 ,得到 AB,由此利用圆心 1 到直线 ሼ㈮ ݔ ൌ 的距离ݔ
为 ൌ ㈮ݔ
㈮1
ൌ ,即可求出 a,属中档题.
解:由题知圆 C的圆心为 1 ,半径为 ൌ ‵,
直线 ሼ㈮ ݔ ൌ 与圆ݔ C相交于 A,B两点,且 ,
ൌ ‵ ㈮ ‵ ൌ ‵ ,
圆心 1 到直线 ሼ㈮ ݔ ൌ 的距离为ݔ ൌ ㈮ݔ
㈮1
ൌ ,
ൌݔ 1.
故答案为ݔ 1.
15.答案:
解析:
本题考查球内接多面体及其度量,考查空间想象能力,计算能力,解答的关键是确定球心位置,利
用已知三棱锥的特点是解决问题关键,属于难题.
利用已知三棱锥 ݔ 的特点ܥ ൌ ൌ 先确定,ܥ 的外心ܥ O,及外接圆的半径,然后
证明 O也是三棱锥 ݔ .的外接球的球心,即可解答ܥ
解析:
解: 如图取 BD的中点 E,连接 AE,CE.
则 ܧ ܧ ,ܥ .ܥ
平面 ܥ 平面 BCD,
平面 ܥ 平面 ܥ ൌ ,ܥ
ܧ 平面 BCD,
又 ܧ 平面 BCD,
ܧ .ܧ
设 的外接圆的圆心为ܥ O,半径为 r.
ൌ ,ܥ
圆心 O在 AE所在的直线上.
ൌ ܧ ㈮ ܧ ൌ ܧ ㈮ 䁧ݔ . ܧ
在 ܥ ,中ܥ ൌ 1 ㈮ 1 ൌ ‵ ,
ܧ ൌ ܧ ൌ .
在 ܧ ,中ܧ ൌ ݔ 1 ൌ ,
ൌ ㈮ 䁧 ݔ ,解得 ൌ .
ܧ ൌ 1.
在 , 中ܧ ൌ ܧ ㈮ ܧ ൌ ,
ൌ ൌ ൌ ܥ ൌ .
点 O是三棱锥 ݔ 的外接球的球心,则球半径ܥ ൌ .
大圆面积 ൌ ൌ .
故答案为 .
16.答案:䁧 ݔ 1
解析:
本题考查由导数求函数的单调性、最值,求解不等式存在性问题,属于中档题.
由题意可得 ሼ 晦 可得ݔ 晦 ሼ ݔ ሼ 晦 ,即为ݔ ሼ ݔ
ሼ
晦ݔ 晦ݔ ሼ ㈮
ሼ
,等价为 ݔ ሼ ݔ
ሼ ܾ㠳䁪
晦
ݔ 晦 ݔ ሼ ㈮
ሼ ܾ ሼ
,分别判断不等式左右两边函数的单调性,求得最值,解不等式即可得到 a的
范围.
解:当 ሼ 1 时, ሼ ൌ ሼ ݔ ሼ ,由 ሼ 晦 可得ݔ 晦 ሼ ݔ ሼ 晦 ,
即为ݔ ሼ ݔ
ሼ
晦ݔ 晦ݔ ሼ ㈮
ሼ
,
设 ሼ ൌݔ ሼ ݔ
ሼ
,导数为 ሼ ൌݔ ሼ㈮
ሼ
,
当 ሼ 1 时, ሼ 即,ݔ 䁧ሼ 递减,䁧可由单调性的定义得到 ,可得 ሼ ܾ㠳䁪 ൌݔ ‵ ݔ 1 ൌݔ ,
即有ݔ ݔ ,即 晦 ;
设 ሼ ൌݔ ሼ ㈮
ሼ
,导数为 ሼ ൌݔ ሼݔ
ሼ
,
当 ሼ 1 时, ሼ 晦 即,ݔ 䁧ሼ 递减,䁧可由减㈮减ൌ减得到 ,
可得 ሼ ܾ ሼ ൌݔ 1 ㈮ ൌ 1.即有ݔ 晦 1,即 ݔ 1.
综上可得,a的范围是ݔ 1 晦 晦 .
故答案为:䁧 ݔ 1 .
17.答案:解:䁧1 设等差数列 䁪 的公差为 d,
则有
1 ㈮
ൌ 䁧 1 ㈮
1 ㈮ 䁪ݔ 1 ൌ 1 ㈮ 䁪ݔ 1 ㈮ 1
,解得
1 ൌ ݔ
ൌ 1
所以 䁪 ൌ 1 ㈮ 䁪ݔ 1 ൌ 䁪 ݔ 1;
䁧 由䁧1 知, 䁪 ൌ 䁪 䁪 ൌ 䁪ݔ 1 䁪1ݔ,
则 䁪 ൌ 1 ㈮ ㈮ ㈮ ㈮ 䁪
ൌ ݔ ݔ ㈮ 1 1 ㈮ ㈮ ㈮ 䁪ݔ 1 䁪1ݔ
所以 䁪 ൌ ݔ 1 ㈮ 1 ㈮ ㈮ ㈮ 䁪ݔ 䁪1ݔ ㈮ 䁪ݔ 1 䁪,
以上两式相减得:
ݔ 䁪 ൌ 1 ㈮ ㈮ ㈮ 䁪1ݔ ݔ 䁪ݔ 1 䁪
ൌ
1 ݔ 䁪1ݔ
1 ݔ
ݔ 䁪 ݔ 1 䁪
ൌ
1
䁪 ݔ
ݔ 䁪 ݔ 1 䁪
ൌ
ݔ 䁪 䁪 ݔ
,
所以 䁪 ൌ
䁪
ݔ
‵
䁪 ㈮
‵
.
解析:本题考查了等差数列通项公式,等差数列求和公式的运用,错位相减法求和,属于中档题.
䁧1 根据 ,建立方程组,求出首项和公差即可得到数列 䁪 的通项公
式;
䁧 由䁧1 可得 䁪 ൌ 䁪 䁪 ൌ 䁪ݔ 1 䁪1ݔ,然后用错位相减法求和即可得到答案.
18.答案:证明:䁧Ⅰ 由题意可知,平面 1 1 平面 1 1 1,
因为 1 1 1为等边三角形,且 D为 1 1的中点,
故 C 1ܥ 1 1.
因为平面 1 1 平面 1 1 1 ൌ 1 1,
故 C 1ܥ 平面 1 1,
因为 1ܥ 平面 ,ܥ 1
故平面 ܥ 1 平面 1 1.
䁧Ⅱ 当点 M为线段 AC的中点时,平面 平面ܯܯ ܧ 1D.
如图,取 AB中点 O,连接 CO,DO,取 AC中点 M,连接 EM,MF,
由三棱柱性质可知,四边形 1ܥ 为平面四边形,
因为 ൌ ,且 O为线段 AB中点,
故 F为线段 AO中点,
又 M为线段 AC中点,故 故, ܯܯܥ又 1, ܯܯ ,ܥ 1ܯܯ
因为 平面 ܥ 1,ܥ 1 平面 故,ܥ 1 平面ܯܯ ,ܥ 1
连接 1 ,同理可得 平面ܯܯ ܧ ,ܥ 1
因为 ܧ ൌ ܧ, 平面 FEM, 平面 FEM,
故平面 平面ܯܯ ܧ 1D.
解析:䁧Ⅰ 由题意可证明 1ܥ 1 1,又平面 1 1 平面 1 1 1 ൌ 1 1,可证 1ܥ 平面 1 1,
即可证明平面 ܥ 1 平面 1 1.
䁧Ⅱ 取 AB中点 O,连接 CO,DO,取 AC中点 M,连接 EM,MF,可证四边形 1ܥ 为平面四边
形,F为线段 AO中点,可证 平面ܯܯ 有,ܥ 1ܯܯ 连接 1 ,同理可得,ܥ 1 平面ܯܯ ܧ ,ܥ 1
由 ܧ ൌ ܧ, 平面 FEM, 平面 FEM,即可证明平面 平面ܯܯ ܧ 1D.
本题主要考查了面面垂直的判定定理和性质定理,线面平行的判定定理,面面平行的判定定理,考
查了转化与化归思想,空间想象能力和推论论证能力,属于中档题.
19.答案:解:䁧1 表格补充如下:
赞成反对总计
教师 120 80 200
学生 160 40 200
总计 280 120 400
故可以估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数为 ݔݔݔݔ ݔ
ݔݔ
ൌ
;ݔݔݔ 1
䁧 由分层抽样可知,所抽取的 6人中的 2名学生记为 a,b,
4名教师记为 1,2,3,4,
随机选出 3人进行深入调研,不同选法有:
䁧 b,1 ,䁧 b, ,䁧 b, ,䁧 b,‵ ,䁧 1, ,
䁧 1, ,䁧 1,‵ ,䁧 2, ,䁧 2,‵ ,䁧 3,‵ ,
䁧 1, ,䁧 1, ,䁧 1,‵ ,䁧 2, ,䁧 2,‵ ,
䁧 3,‵ ,䁧1 2, ,䁧1 2,‵ ,䁧1 3,‵ ,䁧 3,‵ ,共 20种,
恰有 1名学生的选法有:
䁧 1, ,䁧 1, ,䁧 1,‵ ,䁧 2, ,
䁧 2,‵ ,䁧 3,‵ ,䁧 1, ,䁧 1, ,
䁧 1,‵ ,䁧 2, ,䁧 2,‵ ,䁧 3,‵ ,共 12种,
故深入调研中恰有 1名学生的概率 ൌ 1
ݔ
ൌ
.
解析:本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.
䁧1 表格补充完整,由此可以估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数.
䁧 由分层抽样可知,所抽取的 6人中的 2名学生记为 a,b,4名教师记为 1,2,3,4,随机选出 3
人进行深入调研,利用列举法能求出深入调研中恰有 1名学生的概率.
20.答案:解:䁧1 易知函数 䁧ሼ ൌ ሼ1ݔ ݔ 䁧 ㈮ ሼ的定义域为 R,
则 䁧ሼ ൌ ሼ1ݔ ݔ 䁧 ㈮ ,
当ݔ 䁧 ㈮ 即,ݔ ݔ 时, 䁧ሼ 对任意ݔ ሼ 恒成立,
故函数 䁧ሼ 为 R上的增函数;
当ݔ 䁧 ㈮ 晦 即,ݔ ݔ 时,令 䁧ሼ 晦 得,ݔ ,
令 䁧ሼ 得,ݔ ,
故函数 䁧ሼ 在 上单调递减,在 上单调递增,
综上,当 ݔ 时, 䁧ሼ 在 R上单调递增;
当 ݔ 时, 䁧ሼ 在 上单调递减,
在 上单调递增;
䁧 由 䁧ሼ 䁧ሼ ,即 ሼ1ݔ ݔ 䁧 ㈮ ሼ ݔ 䁧1 ㈮ 䁪ሼ ,
得 䁪ሼ ㈮ ሼ1ݔ ݔ 䁧 ㈮ ሼ ㈮ ,ݔ
令 䁧ሼ ൌ 䁪ሼ ㈮ ሼ1ݔ ݔ 䁧 ㈮ ሼ ㈮ ,
则 䁧ሼ ൌ
ሼ
㈮ ሼ1ݔ ݔ 䁧 ㈮
ൌ ሼ ሼݔ1ݔ䁧 ㈮ ሼ㈮
ሼ
,
由䁧1 知,函数 ൌ ሼ1ݔ ݔ ሼ在区间 1 ㈮ 上单调递增,
当 ሼ 1时, ሼ1ݔ ݔ ሼ ݔ ݔ ൌ 即在 1,ݔ ㈮ 上恒有 ሼ1ݔ ሼ,
在 1 ㈮ 上, ሼ ሼݔ 䁧 ㈮ ሼ㈮
ሼ
ൌ ሼݔ ሼ1ݔ
ሼ
,
当 时, 䁧ሼ 在区间 1ݔ ㈮ 上恒成立,
即 䁧ሼ 在 1 ㈮ 上单调递增,
䁧ሼ 䁧1 ൌ ; 䁧符合题意ݔ
当 时,由 ሼ ൌ ሼ ሼݔ1ݔ䁧 ㈮ ሼ㈮
ሼ
,
设 ሼ ൌ ሼ ሼݔ1ݔ䁧 ㈮ ሼ㈮
ሼ
,
得 ሼ ൌݔ
ሼ
㈮ ሼ1ݔ,
可知 ሼ 在 1 ㈮ 上单调递增,
又 1 ൌ ݔ 晦 ,ݔ ൌ 1ݔ ݔ 1 ,ݔ
故 ሼ 在 1 上存在唯一零点ሼݔ,
当 ሼ 䁧1 ሼݔ 时, ሼ 晦 即,ݔ 䁧ሼ 在䁧1 ሼݔ 上单调递减,
此时 ሼ 晦 1 ൌ ,ݔ
所以 䁧ሼ 在 ሼ 䁧1 ሼݔ 上单调递减,
此时 䁧ሼ 晦 䁧1 ൌ ; 与已知矛盾䁧不符合题意ݔ
综上,实数 a的取值范围为䁧 ݔ .
解析:本题主要考查了导数的运用,运用导数研究函数的单调性和最值,涉及导数中的不等式恒成
立问题,考查了分类讨论思想,属于较难题.
䁧1 先求出函数 䁧ሼ 的导函数,然后对 a分类讨论,确定导函数符号即可得到函数 䁧ሼ 的单调性;
䁧 根据 䁧ሼ 䁧ሼ ,得到 䁪ሼ ㈮ ሼ1ݔ ݔ 䁧 ㈮ ሼ ㈮ 令,ݔ 䁧ሼ ൌ 䁪ሼ ㈮ ሼ1ݔ ݔ 䁧 ㈮ ሼ ㈮ ,
则 䁧ሼ ൌ
ሼ
㈮ ሼ1ݔ ݔ 䁧 ㈮ ൌ ሼ ሼݔ1ݔ䁧 ㈮ ሼ㈮
ሼ
,然后对 a分类讨论,讨论函数的单调性和最值,即
可得到实数 a的取值范围.
21.答案:解:䁧1 设 䁧ሼ , ㈮ ൌ 则, ݔ 䁧 ሼ
, 䁧ݔ
,
根据 ൌ ,
可得ሼ ㈮
ൌ 1䁧 . ݔ
䁧 当直线 EF的斜率不存在时, ൌ .
当直线 EF的斜率存在时,设斜率为 .则直线 EH的方程为 ൌ ሼ㈮ ,点 M的坐标为䁧
.
把直线方程代入椭圆方程可得䁧 ㈮ ሼ ㈮ ሼ ݔ 1 ൌ 设,ݔ 䁧ሼ1 1 , 䁧ሼ , 䁧ܧ 䁧 . ݔ
则ሼ1 ㈮ ሼ ൌ
ݔ
㈮
,ሼ1ሼ ൌ
1ݔ
㈮
,
1
1
ൌ ሼ1ݔ
ݔ 1
ൌ ሼ1ݔ
ሼ1
,
1
ൌ ሼݔ
ሼ
,
1
ൌ 1
ݔ .
又 1
1
㈮ 1
ൌ
,
ሼ1ݔ
ሼ1
㈮ ሼݔ
ሼ
ൌ
ݔ .
故存在常数 ൌ 满足条件.
解析:䁧1 设 䁧ሼ , ㈮ ൌ 可得, ݔ 䁧 ሼ
, 䁧ݔ
,根据 ൌ ,即可得出.
䁧 当直线 EF的斜率不存在时, ൌ .当直线 EF的斜率存在时,设斜率为 .则直线 EH的方程为 ൌ
ሼ㈮ ,点 M的坐标为䁧
.把直线方程代入椭圆方程可得䁧 ㈮ ሼ ㈮ ሼݔ 1 ൌ 设,ݔ
䁧ሼ1 1 , 䁧ሼ , 䁧ܧ 䁧 利用根与系数的关系可得. ݔ
1
1
ൌ ሼ1ݔ
ݔ 1
ൌ ሼ1ݔ
ሼ1
,
1
ൌ ሼݔ
ሼ
,
1
ൌ 1
ݔ
.又
1
1
㈮ 1
ൌ
,即可得出.
本题综合考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切转化为方程联立可得根与系数的关
系、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.题目应该为 ㈮ ൌ 平行于ݔ
AB
22.答案:解:䁧1
ሼ ൌ ሼ
ൌ
,
ሼ ൌ ሼ
ൌ .
ሼ ൌ ㈮ ܣ
ൌ 㠳䁪ܣ 䁧 为参数 ,
ሼ ൌ ㈮ ܣ
ൌ 㠳䁪ܣ ,
ሼ ൌ 1 ㈮ ܣ
ൌ 㠳䁪ܣ ,
普通方程为 ሼ ݔ 1 ㈮ ൌ 1,
即 的极坐标方程为 ൌ ; ܣ
䁧 㠳䁪ܣ
ݔ ൌ 1,
直角坐标方程为 ሼ ݔ ݔ ൌ ,ݔ
是以䁧1ݔ 为圆心,1为半径的圆,
圆心到直线 的距离为: ൌ ݔݔݔ1
ൌ 1
,
ൌ 1 ݔ
1
ൌ .
解析:本题考查坐标系及参数方程.
䁧1 求出 的参数方程,即可求 C2的极坐标方程;
䁧 是以䁧1ݔ 为圆心,2为半径的圆,曲线 的极坐标方程为ܣ 㠳䁪䁧
ݔ ൌ 1,直角坐标方程为 ሼ ݔ
ݔ ൌ .求出圆心到直线的距离,即可求 的值,ݔ
23.答案:解:䁧1 䁧ሼ ൌ ሼ ㈮ 1 ݔ ‵ ݔ ሼ ൌ
ሼ ݔ ሼ 晦ݔ 1
ሼݔ ݔ 1 ሼ
ݔ ሼ ㈮ ሼ
,
因为 䁧ሼ 1
䁧ሼ ݔ 1 ,
所以
ሼ 晦ݔ 1
ሼ ݔ 1
䁧ሼ ݔ 1 或
ݔ 1 ሼ
ሼݔ 1
䁧ሼ ݔ 1 或
ሼ
ݔ ሼ ㈮ 1
䁧ሼ ݔ 1 ,
解得 1 ሼ 或 晦 ሼ ‵.
故不等式 䁧ሼ 1
䁧ሼ ݔ 1 的解集为 1 ‵ .
䁧 由䁧1 可知 䁧ሼ 的最大值 ܾ ൌ 䁧 ൌ .
因为 ㈮ ൌ 䁧 ݔ 所以, ݔ
㈮ 1
ൌ 1
䁧 ㈮ 䁧
㈮ 1
ൌ 1
䁧
㈮
㈮ 1
䁧 ㈮ ൌ ,
当且仅当 ൌ ൌ 1时,等号成立,
故
㈮ 1
的最小值是 3.
解析:䁧1 将函数 䁧ሼ 化为分段函数的形式,再分类讨论去掉绝对值,解不等式组后取并集即可得到
解集;
䁧 由䁧1 知, ㈮ ൌ ,再利用基本不等式即可求得所求式子的最小值.
本题考查绝对值不等式的解法以及利用基本不等式求最值,考查计算能力,属于基础题.
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