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- 2021-06-16 发布
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【师说 高中全程复习构想】(新课标) 高考数学 9.3 随机抽样练
习
一、选择题
1.下列各图是正方体或正四面体,P、Q、R、S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一
个图是( )
答案:D
2.下列命题中,正确的个数是( )
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等;
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;
④如果两条直线同平行于第三直线,那么这两条直线互相平行;
⑤过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行.
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:①可能相等,也可能互补;③在空间中不成立,所以②④⑤正确,故选 C.
答案:C
3.已知 a、b、c、d 是空间四条直线,如果 a⊥c,b⊥c,a⊥d,b⊥d,那么( )
A.a∥b 且 c∥d
B.a、b、c、d 中任意两条可能都不平行
C.a∥b 或 c∥d
D.a、b、c、d 中至多有一对直线互相平行
解析:若 a 与 b 不平行,则存在平面β,使得 a⊂β且 b⊂β,由 a⊥c,b⊥c,知 c⊥β,
同理 d⊥β,所以 c∥d.若 a∥b,则 c 与 d 可能平行,也可能不平行.结合各选项知选 C.
答案:C
4.如图,M 是正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 DD1 的中点,给出下列四个命题:
①过 M 点有且只有一条直线与直线 AB,B1C1 都相交;
②过 M 点有且只有一条直线与直线 AB,B1C1 都垂直;
③过 M 点有且只有一个平面与直线 AB,B1C1 都相交;
④过 M 点有且只有一个平面与直线 AB,B1C1 都平行.
其中真命题是( )
A.②③④ B.①③④
C.①②④ D.①②③
解析:由于两相交直线可确定一个平面,设 l 过 M 点,与 AB,B1C1 均相交,则 l 与 AB 可确
定平面α,l 与 B1C1 可确定平面β,又 AB 与 B1C1 为异面直线,
∴l 为平面α与平面β的交线,如图所示.
GE 即为 l,故①正确.
由于 DD1 过点 M,DD1⊥AB,DD1⊥B1C1,BB1 为 AB、B1C1 的公垂线,DD1∥BB1,故②正确.
显然④正确.
过 M 点有无数个平面与 AB,B1C1 都相交,故③错误.
答案:C
5.在三棱锥 PABC 中,P A⊥底面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=BC,则直线 PC 与 AB 所成角的大
小是( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析:分别取 PA,AC,CB 的中点 F,D,E,连接 FD,DE,EF,AE,则∠FDE 是直线 PC 与 AB
所成角或其补角.
设 PA=AC=BC=2a,在△FDE 中,易求得 FD= 2a,DE= 2a,FE= 6a,
根据余弦定理,
得 cos∠FDE=2a2+2a2-6a2
2× 2a× 2a
=-1
2
,
所以∠FDE=120°.
所以 PC 与 AB 所成角的大小是 60°.
答案:C
6.如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P 为棱 BB1 的中点,则在平面 BCC1B1 内过点 P
且与直线 AC 成 50°角的直线有( )条
A.0 B.1
C.2 D.无数
解析:依题意,直线 AC 与平面 BCC1B1 所成的角为π
4
,因为直线与平面 所成的角是这条直
线与平面内的直线所成的角中最小的角,所以在平面 BCC1B1 内过点 C 有两条直线与直线 AC
成 50°角,所以在平面 BCC1B1 内过点 P 亦有两条直线与直线 AC 成 50°角,选择 C.
答案:C
二、填空题
7.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦
值为__________.
解析:取 A1B1 的中点 F,连接 EF,FA,则有 EF∥B1C1∥BC,∠AEF 即是直线 AE 与 BC 所成
的角或其补角.设正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2a,则有 EF=2a,AF= 2a 2+a2=
5 a , AE = 2a 2+ 2a 2+a2 = 3a. 在 △ AEF 中 , cos ∠ AEF = AE2+EF2-AF2
2AE·EF
=
9a2+4a2-5a2
2×3a×2a
=2
3
.因此,异面直线 AE 与 BC 所成的角的余弦值是2
3
.
答案:2
3
8.如图所示,表示一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段 AB、CD、EF 和 GH 在原
正方体中相互异面的有__________对.
解析:还原如图,相互异面的线段有 AB 与 CD,EF 与 GH,AB 与 GH,3 对.
答案:3
9.已知 a、b 为不垂直的异面直线,α是一个平面,则 a、b 在α上的射影可能是:
①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点.
则在上面的结论中,正确结论的编号是________.(写出所有正确结论的编号)
解析:①②④对应的情况如下:
用反证法证明③不可能.
答案:①②④
三、解答题
10.在空间四边形 ABCD 中,已知 AD=1,BC= 3,且 AD⊥BC,对角线 BD= 13
2
,AC= 3
2
,
求 AC 和 BD 所成的角.
解析:如图所示,分别取 AD、CD、AB、BD 的中点 E、F、G、H,连接 EF、FH、HG、GE、GF.
由三角形的中位线定理,知 EF∥AC,且 EF= 3
4
,GE∥BD,且 GE= 13
4
.
GE 和 EF 所成的锐角(或直角)就是 AC 和 BD 所成的角.
同理,GH=1
2
,HF= 3
2
,GH∥AD,HF∥BC.
又 AD⊥BC,∴∠GHF=90°,
∴GF2=GH2+HF2=1.
在△EFG 中,EG2+EF2=1=GF2,
∴∠GEF=90°,即 AC 和 BD 所成的角为 90°.
11.如图,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC 綊 1
2
AD,BE 綊 1
2
FA,
G、H 分别为 FA、FD 的中点.
(1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形.
(2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么?
解析:
(1)由已知 FG=GA,FH=HD,可得 GH 綊 1
2
AD.
又 BC 綊 1
2
AD,∴GH 綊 BC.
∴四边形 BCHG 为平行四边形.
(2)方法一,由 BE 綊 1
2
AF,G 为 FA 中点知,BE 綊 FG,
∴四边形 BEFG 为平行四边形.
∴EF∥BG.由(1)知 BG∥CH,
∴EF∥CH,∴EF 与 CH 共面.
又 D∈FH,∴C、D、F、E 四点共面.
方法二,如图,延长 FE、DC 分别与 AB 交于点 M、M′,
∵BE 綊 1
2
AF,∴B 为 MA 中点.
∵BC 綊 1
2
AD,∴B 为 M′A 中点.
∴M 与 M′重合,即 FE 与DC 交于点 M(M′).
∴C、D、F、E 四点共面.
12.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 所有的棱长都为 2,E 是 A1B 的中点,F 在棱 CC1 上.
(1)当 C1F=1
2
CF 时,求多面体 ABCFA1 的体积;
(2)当点 F 使得 A1F+BF 为最小时,求异面直线 AE 与 A1F 所成的角.
解析:(1)∵C1F=1
2
CF,AC=CC1=2,
∴CF=4
3
, 1AA FCS梯形 =10
3
.
由正三棱柱知△ABC 的高为 3且等于四棱锥 B-A1ACF 的高.
∴ 1B A ACFV - =1
3
×10
3
× 3=10
9
3,
即多面体 ABCFA1 的体积为10
9
3.
(2)将侧面 BCC1B1 展开到侧面 A1ACC1 得到矩形 ABB1A1,连接 A1B,交 C1C 于点 F,此时点 F
使得 A1F+BF 为最小.此时 FC 平行且等于 A1A 的一半,∴F 为 C1C 的中点.
过 E 作 EG∥A1F 交 BF 于 G,则∠AEG 就是 AE 与 A1F 所成的角或所成角的补角.
过 G 作 GH⊥BC,交 BC 于 H,连接 AH,
则 GH=1
2
FC=1
2
.
又 AH= 3,于是在 Rt△AGH 中,
AG= AH2+GH2= 13
2
.
在 Rt△ABA1 中,AE= 2.
∴△AEG 中,cos∠AEG=AE2+GE2-AG2
2AE·GE
=
2+5
4
-13
4
2· 2· 5
2
=0,
∴∠AEG=90°.
故异面直线 AE 与 A1F 所成的角为 90°.
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