高考数学二轮复习9 6页

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  • 2021-06-16 发布

高考数学二轮复习9

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【师说 高中全程复习构想】(新课标) 高考数学 9.3 随机抽样练 习 一、选择题 1.下列各图是正方体或正四面体,P、Q、R、S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一 个图是( ) 答案:D 2.下列命题中,正确的个数是( ) ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等; ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等; ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补; ④如果两条直线同平行于第三直线,那么这两条直线互相平行; ⑤过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行. A.1 B.2 C.3 D.4 解析:①可能相等,也可能互补;③在空间中不成立,所以②④⑤正确,故选 C. 答案:C 3.已知 a、b、c、d 是空间四条直线,如果 a⊥c,b⊥c,a⊥d,b⊥d,那么( ) A.a∥b 且 c∥d B.a、b、c、d 中任意两条可能都不平行 C.a∥b 或 c∥d D.a、b、c、d 中至多有一对直线互相平行 解析:若 a 与 b 不平行,则存在平面β,使得 a⊂β且 b⊂β,由 a⊥c,b⊥c,知 c⊥β, 同理 d⊥β,所以 c∥d.若 a∥b,则 c 与 d 可能平行,也可能不平行.结合各选项知选 C. 答案:C 4.如图,M 是正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 DD1 的中点,给出下列四个命题: ①过 M 点有且只有一条直线与直线 AB,B1C1 都相交; ②过 M 点有且只有一条直线与直线 AB,B1C1 都垂直; ③过 M 点有且只有一个平面与直线 AB,B1C1 都相交; ④过 M 点有且只有一个平面与直线 AB,B1C1 都平行. 其中真命题是( ) A.②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③ 解析:由于两相交直线可确定一个平面,设 l 过 M 点,与 AB,B1C1 均相交,则 l 与 AB 可确 定平面α,l 与 B1C1 可确定平面β,又 AB 与 B1C1 为异面直线, ∴l 为平面α与平面β的交线,如图所示. GE 即为 l,故①正确. 由于 DD1 过点 M,DD1⊥AB,DD1⊥B1C1,BB1 为 AB、B1C1 的公垂线,DD1∥BB1,故②正确. 显然④正确. 过 M 点有无数个平面与 AB,B1C1 都相交,故③错误. 答案:C 5.在三棱锥 PABC 中,P A⊥底面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=BC,则直线 PC 与 AB 所成角的大 小是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析:分别取 PA,AC,CB 的中点 F,D,E,连接 FD,DE,EF,AE,则∠FDE 是直线 PC 与 AB 所成角或其补角. 设 PA=AC=BC=2a,在△FDE 中,易求得 FD= 2a,DE= 2a,FE= 6a, 根据余弦定理, 得 cos∠FDE=2a2+2a2-6a2 2× 2a× 2a =-1 2 , 所以∠FDE=120°. 所以 PC 与 AB 所成角的大小是 60°. 答案:C 6.如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P 为棱 BB1 的中点,则在平面 BCC1B1 内过点 P 且与直线 AC 成 50°角的直线有( )条 A.0 B.1 C.2 D.无数 解析:依题意,直线 AC 与平面 BCC1B1 所成的角为π 4 ,因为直线与平面 所成的角是这条直 线与平面内的直线所成的角中最小的角,所以在平面 BCC1B1 内过点 C 有两条直线与直线 AC 成 50°角,所以在平面 BCC1B1 内过点 P 亦有两条直线与直线 AC 成 50°角,选择 C. 答案:C 二、填空题 7.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦 值为__________. 解析:取 A1B1 的中点 F,连接 EF,FA,则有 EF∥B1C1∥BC,∠AEF 即是直线 AE 与 BC 所成 的角或其补角.设正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2a,则有 EF=2a,AF= 2a 2+a2= 5 a , AE = 2a 2+ 2a 2+a2 = 3a. 在 △ AEF 中 , cos ∠ AEF = AE2+EF2-AF2 2AE·EF = 9a2+4a2-5a2 2×3a×2a =2 3 .因此,异面直线 AE 与 BC 所成的角的余弦值是2 3 . 答案:2 3 8.如图所示,表示一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段 AB、CD、EF 和 GH 在原 正方体中相互异面的有__________对. 解析:还原如图,相互异面的线段有 AB 与 CD,EF 与 GH,AB 与 GH,3 对. 答案:3 9.已知 a、b 为不垂直的异面直线,α是一个平面,则 a、b 在α上的射影可能是: ①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点. 则在上面的结论中,正确结论的编号是________.(写出所有正确结论的编号) 解析:①②④对应的情况如下: 用反证法证明③不可能. 答案:①②④ 三、解答题 10.在空间四边形 ABCD 中,已知 AD=1,BC= 3,且 AD⊥BC,对角线 BD= 13 2 ,AC= 3 2 , 求 AC 和 BD 所成的角. 解析:如图所示,分别取 AD、CD、AB、BD 的中点 E、F、G、H,连接 EF、FH、HG、GE、GF. 由三角形的中位线定理,知 EF∥AC,且 EF= 3 4 ,GE∥BD,且 GE= 13 4 . GE 和 EF 所成的锐角(或直角)就是 AC 和 BD 所成的角. 同理,GH=1 2 ,HF= 3 2 ,GH∥AD,HF∥BC. 又 AD⊥BC,∴∠GHF=90°, ∴GF2=GH2+HF2=1. 在△EFG 中,EG2+EF2=1=GF2, ∴∠GEF=90°,即 AC 和 BD 所成的角为 90°. 11.如图,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC 綊 1 2 AD,BE 綊 1 2 FA, G、H 分别为 FA、FD 的中点. (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形. (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么? 解析: (1)由已知 FG=GA,FH=HD,可得 GH 綊 1 2 AD. 又 BC 綊 1 2 AD,∴GH 綊 BC. ∴四边形 BCHG 为平行四边形. (2)方法一,由 BE 綊 1 2 AF,G 为 FA 中点知,BE 綊 FG, ∴四边形 BEFG 为平行四边形. ∴EF∥BG.由(1)知 BG∥CH, ∴EF∥CH,∴EF 与 CH 共面. 又 D∈FH,∴C、D、F、E 四点共面. 方法二,如图,延长 FE、DC 分别与 AB 交于点 M、M′, ∵BE 綊 1 2 AF,∴B 为 MA 中点. ∵BC 綊 1 2 AD,∴B 为 M′A 中点. ∴M 与 M′重合,即 FE 与DC 交于点 M(M′). ∴C、D、F、E 四点共面. 12.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 所有的棱长都为 2,E 是 A1B 的中点,F 在棱 CC1 上. (1)当 C1F=1 2 CF 时,求多面体 ABCFA1 的体积; (2)当点 F 使得 A1F+BF 为最小时,求异面直线 AE 与 A1F 所成的角. 解析:(1)∵C1F=1 2 CF,AC=CC1=2, ∴CF=4 3 , 1AA FCS梯形 =10 3 . 由正三棱柱知△ABC 的高为 3且等于四棱锥 B-A1ACF 的高. ∴ 1B A ACFV - =1 3 ×10 3 × 3=10 9 3, 即多面体 ABCFA1 的体积为10 9 3. (2)将侧面 BCC1B1 展开到侧面 A1ACC1 得到矩形 ABB1A1,连接 A1B,交 C1C 于点 F,此时点 F 使得 A1F+BF 为最小.此时 FC 平行且等于 A1A 的一半,∴F 为 C1C 的中点. 过 E 作 EG∥A1F 交 BF 于 G,则∠AEG 就是 AE 与 A1F 所成的角或所成角的补角. 过 G 作 GH⊥BC,交 BC 于 H,连接 AH, 则 GH=1 2 FC=1 2 . 又 AH= 3,于是在 Rt△AGH 中, AG= AH2+GH2= 13 2 . 在 Rt△ABA1 中,AE= 2. ∴△AEG 中,cos∠AEG=AE2+GE2-AG2 2AE·GE = 2+5 4 -13 4 2· 2· 5 2 =0, ∴∠AEG=90°. 故异面直线 AE 与 A1F 所成的角为 90°.