【精品试题】2021年高考数学一轮复习创优测评卷（新高考专用）测试卷13 椭圆（原卷版） 6页

2021 年高考数学一轮复习椭圆创优测评卷(新高考专用) 一、单选题（共 60 分，每题 5 分） 1．命题“ m N  ，曲线 2 2 1x ym   是椭圆”的否定是（ ） A． m N  ，曲线 2 2 1x ym   是椭圆 B． m N  ，曲线 2 2 1x ym   不是椭圆 C． *m N  ，曲线 2 2 1x ym   是椭圆 D． *m N  ，曲线 2 2 1x ym   不是椭圆 2．已知椭圆 C: 2 2 19 5 x y  ，点 (1,1)A ，则点 A 与椭圆 C 的位置关系是（ ）． A．点 A 在椭圆 C 上 B．点 A 在椭圆 C 内 C．点 A 在椭圆 C 外 D．无法判断 3．已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     ， 1F ， 2F 分别是椭圆的左、右焦点， A 是椭圆的下顶点，直线 2AF 交 椭圆于另一点 P ，若 1PF PA ，则椭圆的离心率为（ ） A． 3 3 B． 1 3 C． 2 2 D． 1 2 4．黄金分割比例 5 1 2  具有严格的比例性，艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值.这一比值能够引起 人们的美感，被称为是建筑和艺术中最理想的比例.我们把离心率 5 1 2e  的椭圆称为“黄金椭圆”，则 以下四种说法中正确的个数为（ ） ①椭圆 2 2 12 5 1 x y   是“黄金椭圆； ②若椭圆 2 2 2 2 1x y a b   ， 0a b  的右焦点  ,0F c 且满足 2b ac ，则该椭圆为“黄金椭圆”； ③设椭圆 2 2 2 2 1x y a b   ， 0a b  的左焦点为 F，上顶点为 B，右顶点为 A，若 90ABF  ，则该椭圆 为“黄金椭圆”； ④设椭圆， 2 2 2 2 1x y a b   ， 0a b  的左右顶点分别 A，B，左右焦点分别是 1F ， 2F ，若 1AF ， 1 2F F ， 1F B 成等比数列，则该椭圆为“黄金椭圆”； A．1 B．2 C．3 D．4 5．椭圆焦点在 x 轴上，A 为该椭圆右顶点，P 在椭圆上一点， ，则该椭圆的离心率 e 的范围 是（ ） A． B． C． D． 6．已知 1F 、 2F 为椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的两个焦点，过 2F 作椭圆的弦 AB ，若 1AF B 的周长为 16， 椭圆离心率 3 2e  ，则椭圆的方程为( ) A． 2 2 14 3 x y  B． 2 2 116 4 x y  C． 2 2 116 2 x y  D． 2 2 116 3 x y  7．如图，在边长为 10 的正方形内有一个椭圆，某同学用随机模拟的方法求椭圆的面积．若在正方形内随 机产生 2000 个点，并记录落在椭圆区域内的点的个数有 680 个，则椭圆区域的面积约为（ ） A．34 B．66 C．68 D．132 8．能够把椭圆 ： 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数 称为椭圆 的“亲和函数”， 下列函数是椭圆 的“亲和函数”的是（ ） A． B．   51 5 xf x n x   C． D． 9．已知点 2,0A （ ）， 2,0B（ ）, 0 0,P x y（ ）是直线 4y x  上任意一点，以 A B， 为焦点的椭圆过点 P ，记 椭圆离心率 e 关于 0x 的函数为 0( )e x ，那么下列结论正确的是 A． e 与 0x 一一对应 B．函数 0( )e x 是增函数 C．函数 0( )e x 无最小值，有最大值 D．函数 0( )e x 有最小值，无最大值 10．给出下列两个命题：命题 :p 空间任意三个向量都是共面向量；命题 :q 若 0a  ， 0b  ，则方程 2 2 1ax by  表示的曲线一定是椭圆.那么下列命题中为真命题的是（ ） A． p q B． p q C． ( )p q  D． ( )p q  11．已知椭圆   2 2: 1, 2,04 xC y A  ，点 P 在椭圆 C 上，且 OP PA ，其中O 为坐标原点，则点 P 的 坐标为（ ） A． 2 2 2,3 3      B． 2 5 2,3 3      C． 2 2 2,3 3       D． 2 5 2,3 3       12．已知椭圆 2 2 19 4 x y  的焦点为 1 2,F F ，椭圆上的动点 P 的坐标为 ,p px y ，且 1 2F PF 为锐角，则 py 的 取值范围是（ ）. A． 4 5 4 5,0 0,5 5               B． 4 5 4 52, ,25 5                C． 3 5 3 5,0 0,5 5               D． 4 5 4 53, ,35 5                二、填空题（共 20 分，每题 5 分） 13．已知椭圆 2 2 : 116 12 x yC   ， 1 2,F F 分别为椭圆的两焦点，点 P 椭圆在椭圆上，且 2 3PF  ，则 1 2PF F 的面积为__________． 14．已知椭圆 2 2 116 9 x y  及以下 3 个函数：①  f x x ；②   sinf x x ；③   sinf x x x ,其中函数图 象能等分该椭圆面积的函数个数有______个. 15．已知椭圆 2 2 14 3 x y  ， 1F 、 2F 分别为椭圆的左、右焦点，点  1, 1P  为椭圆内一点，点 Q 在椭圆上， 则 1PQ QF 的最大值为_____________. 16．一般地，我们把离心率为 5 1 2  的椭圆称为“黄金椭圆”．对于下列命题： ①椭圆 2 2 116 12 x y  是黄金椭圆； ②若椭圆 2 2 112 x y m   是黄金椭圆，则 6 5 6m   ； ③在 ABC 中，    2,0 , 2,0B C ，且点 A 在以 ,B C 为焦点的黄金椭圆上，则 ABC 的周长为 6 2 5 ； ④过黄金椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的右焦点  ,0F c 作垂直于长轴的垂线，交椭圆于 ,A B 两点，则  5 1AB a  ； ⑤设 1 2,F F 是黄金椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的两个焦点，则椭圆C 上满足 1 2 90F PF   的点 P 不存 在． 其中所有正确命题的序号是______．（把你认为正确命题的序号都填上） 三、解答题 17．（10 分）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yM a ba b     的焦距为 2，点 (0, 3)D 在椭圆 M 上，过原点O 作直 线交椭圆 M 于 A 、B 两点，且点 A 不是椭圆 M 的顶点，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 H ，点C 是线段 AH 的中点，直线 BC 交椭圆 M 于点 P ，连接 AP （1）求椭圆 M 的方程及离心率； （2）求证： AB AP ． 18．（12 分）已知中心在原点O ，左焦点为 1( 1,0)F  的椭圆 C 的左顶点为 A ，上顶点为 B ， 1F 到直线 AB 的距离为 7 | |7 OB ． （1）求椭圆C 的方程； （2）若椭圆 1C ： 2 2 2 2 1( 0)x y m nm n     ，椭圆 2C ： 2 2 2 2 x y m n   （ 0  ，且 1  ），则称椭圆 2C 是 椭圆 1C 的  倍相似椭圆．已知 2C 是椭圆 C 的 3 倍相似椭圆，若直线 y kx b  与两椭圆 2C 、C 交于四点 （依次为 P 、Q 、 R 、 S ），且 2PS RS QS    ，试研究动点 ( , )E k b 的轨迹方程． 19．（12 分）已知椭圆 1E ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     ，若椭圆 2E ： 2 2 2 2 1( 0, 1)x y a b mma mb      ，则 称椭圆 2E 与椭圆 1E “相似”. （1）求经过点 ( 2,1) ，且与椭圆 1E ： 2 2 12 x y  “相似”的椭圆 2E 的方程； （2）若 4m  ，椭圆 1E 的离心率为 2 2 ， P 在椭圆 2E 上，过 P 的直线l 交椭圆 1E 于 A ， B 两点，且 AP AB  . ①若 B 的坐标为 (0,2) ，且 2  ，求直线l 的方程； ②若直线 OP ，OA的斜率之积为 1 2  ，求实数  的值. 20．（12 分）如图，正方形 ABCD 内接于椭圆，正方形 EFGH 和正方形 UHK 中的顶点 E、H、I 在椭圆上，顶 点 K、H、G 在边 AB 上，顶点 J 在边 HE 上，已知正方形 ABCD 与正方形 EFGH 的面积比为 4：1 求正方形 UHK 与正方形 EFGH 的面积比（精确到 0.001). 21．（12 分）设椭圆C ： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）,左、右焦点分别是 1F 、 2F 且 1 2 2 3F F  ,以 1F 为圆 心,3 为半径的圆与以 2F 为圆心,1 为半径的圆相交于椭圆C 上的点 K （1）求椭圆C 的方程； （2）设椭圆 E ： 2 2 2 2 14 4 x y a b   , P 为椭圆C 上任意一点,过点 P 的直线 y kx m  交椭圆 E 于 ,A B 两点,射 线 PO 交椭圆 E 于点 Q ①求 OQ OP 的值； ②令 2 21 4 m tk  ,求 ABQ△ 的面积 ( )f t 的最大值. 22．（12 分）以椭圆 2 2 2 2   : 1 0y xC a ba b  （ ＞ ＞ ）的中心 O 为圆心，以 2 ab 为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．已 知椭圆的离心率为 3 2 ，且过点 1 32      ， ． （1）求椭圆 C 及其“伴随”的方程； （2）过点  0,P m 作“伴随”的切线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，记 (AOB O 为坐标原点）的面积为 AOBS ， 将 AOBS 表示为 m 的函数，并求 AOBS 的最大值．