高考数学大一轮复习第八章立体几何8_3空间图形的基本关系与公理教师用书文北师大版 17页

少年易学老难成，一寸光阴不可轻 - 百度文库 1 2018 版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 空间图形的基本关 系与公理教师用书 文 北师大版 1．四个公理 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即 直线在平面内)． 公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)． 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直 线． 公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 共面直线 平行直线 相交直线 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 (2)异面直线所成的角 ①定义：过空间任意一点 P 分别引两条异面直线 a，b 的平行线 l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两 条相交直线所成的锐角(或直角)叫作异面直线 a，b 所成的角(或夹角)． ②范围： 0，π 2 . 3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．等角定理 空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 【知识拓展】 1．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 少年易学老难成，一寸光阴不可轻 - 百度文库 2 (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 2．异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线 a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝ a.( √ ) (2)两个平面α，β有一个公共点 A，就说α，β相交于过 A 点的任意一条直线．( × ) (3)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC.( × ) (4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．( √ ) (5)没有公共点的两条直线是异面直线．( × ) 1．下列命题正确的个数为( ) ①梯形可以确定一个平面； ②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． A．0 B．1 C．2 D．3 答案 C 解析 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交， ①③正确． 2．(2016·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线 l.若直线 m，n 满足 m∥α，n⊥β，则 ( ) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 答案 C 解析 由已知，α∩β＝l，∴l β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C 正确． 少年易学老难成，一寸光阴不可轻 - 百度文库 3 3．已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b( ) A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 答案 C 解析 由已知得直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若 b∥c，则 a∥b，与已知 a、b 为异面直线相矛盾． 4.(教材改编)如图所示，已知在长方体 ABCD－EFGH 中，AB＝2 3，AD＝2 3，AE＝2，则 BC 和 EG 所成角的大小是______，AE 和 BG 所成角的大小是________． 答案 45° 60° 解析 ∵BC 与 EG 所成的角等于 EG 与 FG 所成的角即∠EGF，tan∠EGF＝EF FG ＝2 3 2 3 ＝1，∴∠EGF ＝45°， ∵AE 与 BG 所成的角等于 BF 与 BG 所成的角即∠GBF，tan∠GBF＝GF BF ＝2 3 2 ＝ 3，∴∠GBF＝ 60°. 5．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且 AB∥CD，则直线 EF 与正方体 的六个面所在的平面相交的平面个数为________． 答案 4 解析 EF 与正方体左、右两侧面均平行．所以与 EF 相交的侧面有 4 个． 题型一 平面基本性质的应用 例 1 (1)(2016·山东)已知直线 a，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 少年易学老难成，一寸光阴不可轻 - 百度文库 4 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若直线 a 和直线 b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线 a 和直线 b 可能平行或异面或相交，故选 A. (2)已知空间四边形 ABCD(如图所示)，E、F 分别是 AB、AD 的中点，G、H 分别是 BC、CD 上的 点，且 CG＝1 3 BC，CH＝1 3 DC.求证： ①E、F、G、H 四点共面； ②三直线 FH、EG、AC 共点． 证明 ①连接 EF、GH，如图所示， ∵E、F 分别是 AB、AD 的中点， ∴EF∥BD. 又∵CG＝1 3 BC，CH＝1 3 DC， ∴GH∥BD，∴EF∥GH， ∴E、F、G、H 四点共面． ②易知 FH 与直线 AC 不平行，但共面， ∴设 FH∩AC＝M，∴M∈平面 EFHG，M∈平面 ABC. 又∵平面 EFHG∩平面 ABC＝EG， ∴M∈EG，∴FH、EG、AC 共点． 思维升华 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然 后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证 少年易学老难成，一寸光阴不可轻 - 百度文库 5 两平面重合． (2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； ②直接证明这些点都在同一条特定直线上． (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 如图，正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点．求证： (1)E、C、D1、F 四点共面； (2)CE，D1F，DA 三线共点． 证明 (1)如图， 连接 EF，CD1，A1B. ∵E，F 分别是 AB，AA1 的中点，∴EF∥A1B. 又 A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E、C、D1、F 四点共面． (2)∵EF∥CD1，EF