山西省运城市2020届高三6月考前适应性测试数学（文）试题 Word版含解析 24页

- 1 - 2020 年运城市高三考前适应性测试 文科数学试卷 本试卷共 4 页，23 题.全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上 的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选岀答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答 题卡上的非答题区域无效. 4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑.答案写在答题 卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效. 5.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知复数 z 满足 (1 ) 3i z i   ，则 z 在复平面内对应的点为（ ） A. （2，1） B. （1，2） C. (2, 1) D. (1, 2) 【答案】D 【解析】 【分析】 等式两边同除1 i ，再化简即可的出答案. 【详解】因为 3 (3 )(1 ) 2 4 1 21 (1 )(1 ) 2 i i i iz ii i i           ， 所以 z 在复平面内对应的点为 (1, 2) . 故选：D. 【点睛】本题考查复数的基本运算与几何意义，属于基础题.熟练掌握分式复数的化简是本题 的关键. 2.已知集合  {1,2,3,4,5,6,7}, {2,4,6,7}, {2,6}UU A A B  ∩ ð ，则集合 B 可以为（ ） - 2 - A. {2,5,7} B. {1,3,4,5} C. {1,4,5,7} D. {4,5,6,7} 【答案】C 【解析】 【分析】 根据   {2,6}UA B ∩ ð 知道集合 B 中的元素不能有 2 或 6，必含有 4 和 7，则可选出答案. 【详解】因为集合  {1,2,3,4,5,6,7}, {2,4,6,7}, {2,6}UU A A B  ∩ ð ， 所以集合 B 中的元素不能有 2 或 6，必含有 4 和 7. 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交并补.属于基础题.熟练掌握集合的交并补运算是解本题的关键. 3.已知 1.5 4 2log 2.5, log 1.5, 0.4a b c    ，则（ ） A. a b c  B. a c b  C. c a b  D. b a c  【答案】D 【解析】 【分析】 由题意结合对数运算的性质、对数函数的单调性、指数函数的单调性可得 1b a c   ，即可 得解. 【详解】因为 2 4 4 9log 1.5 log log 2.5 14b a     ， 1.5 00.4 0.4 1c    ， 所以 1b a c   . 故选：D. 【点睛】本题考查了对数运算的性质、对数函数的单调性、指数函数的单调性的应用，考查 了对数式、指数式的大小比较，属于基础题. 4.已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若  5 4 175 2S a a m    ，则 m  （ ） A. 16 B. 19 C. 33 D. 35 【答案】D 【解析】 - 3 - 【分析】 将等差数列的通项公式与前 n 项和公式带入等式，即可解出首项与公差，则可解出 m .. 【详解】因为  5 45 2S a  ， 所以  1 5 5 3 45 5 5 22 a aS a a     ， 所以公差 2d  ， 又  4 175 2a a  ， 所以  1 15 4 16 2a a    ，解得 1 3a  ， 所以 17 3 16 2 35a     . 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列，属于基础题.熟练掌握其通项公式与前 n 项和公式是解本题的关 键. 5.设 x ， y 满足 1 0 2 0 2 4 x x y x y         ，向量  2 ,1a x ，  1,b m y  ，则满足 a b  的实数 m 的最 小值为（ ） A. 12 5 B. 12 5  C. 3 2 D. 3 2  【答案】B 【解析】 【分析】 先根据平面向量垂直的坐标表示，得 2m y x  ，根据约束条件画出可行域，再利用 m 的几 何意义求最值，只需求出直线 2m y x  过可行域内的点 C 时，从而得到 m 的最小值即可． 【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为  2 ,1a x ，  1,b m y  ， 由 a b  得 2 0x m y   ，∴当直线经过点 C 时，m 有最小值， 由 2 4 2 x y x y     ，得 8 5 4 5 x y     ，∴ 8 4,5 5C      ， - 4 - ∴ 4 16 122 5 5 5m y x      ， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简 单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题， 这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解． 6.已知 1tan 3   ，则 cos 2 2       （ ） A. 3 5 B. 3 5- C. 4 5 D. 4 5  【答案】B 【解析】 【分析】 利用诱导公式、正弦的倍角公式、同角三角函数关系，将目标式转化为关于正切的代数式， 代值计算即可. 【详解】 cos 2 sin 22       Q ， 而 2 2 2 2sin cos 2tansin 2 2sin cos sin cos tan 1            ， 且 1tan 3    2 12 33cos 2 2 511 3               ， 故选：B 【点睛】本题考查利用诱导公式、同角三角函数关系、正弦的倍角公式化简求值，属于中档 题. - 5 - 7.已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的右焦点为 F ，若以OF （O 为坐标原点）为直径的 圆被双曲线C 的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线C 的虚轴长，则双曲线C 的渐近线方程 为（ ） A. 2y x  B. 1 2y x  C. 3y x  D. 4y x  【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，求出圆心、半径、渐近线，结合几何法求得圆被直线所截得的弦长 2a b ，由此可 求出答案． 【详解】解：由题意知，  ,0F c  2 2 2 , 0c a b c   ， ∴以 OF 为直径的圆的方程为 2 2 2 2 4 c cx y      ，圆心为 ,02 c     ，半径 2 cr  ， 又双曲线的渐近线的方程为 by xa   ，即 0bx ay  ， ∴圆心到渐近线的距离 2 2 2 2 cb bd a b     ， ∴该圆被渐近线截得的弦长 2 2 2 24 4 c b a b   ， ∴ 1 2 b a  ， ∴渐近线方程为 1 2y x  ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，属于基础题． 8.函数 ( ) tan ( 1 1)f x x x x  „ „ 的图象可能是（ ） A. B. - 6 - C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 采用排除法，根据函数的奇偶性以及函数在 0,1 处的函数值大小，可得结果. 【详解】由 ( ) tan ( 1 1)f x x x x  „ „ ， 则    ( ) tan tan    f x x x x x 所以  ( )f x f x  ，即函数 ( )f x 是偶函数 故排除 A，C， 当 0 1x  时， ( ) 0f x  ，排除 D. 故选：B 【点睛】本题考查根据函数解析式判断大致图象，针对这种题型常常从定义域、奇偶性、单 调性、对称性、值域、特殊值入手，考验分析问题的能力，属基础题. 9.已知 ,  是不重合的平面， ,m n 是不重合的直线，则 m  的一个充分条件是( ) A. m n ， n   B. / /m  ，  C. n  ， n  ， m  D. n   ，  ， m n 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，分别分析每个答案，容易得出当 n  ，n  ，得出 / /  ，再 m  得出 m  ， 得出答案. 【详解】对于答案 A： m n ， n  ，得出 m 与 是相交的或是垂直的，故 A 错； 答案 B： / /m  ，  ，得出 m 与 是相交的、平行的都可以，故 B 错； - 7 - 答案 C： n  ， n  ，得出 / /  ，再 m  得出 m  ，故 C 正确； 答案 D: n   ，  ， m n ，得出 m 与 是相交的或是垂直的，故 D 错 故选 C 【点睛】本题主要考查了线面位置关系的知识点，熟悉平行以及垂直的判定定理和性质定理 是我们解题的关键所在，属于较为基础题. 10.已知直线 2y x 与椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     交于 ,A B 两点，点 F 是椭圆C 的左焦 点，若| | | | 2 2,| | 2FA FB FA FB       ，则椭圆C 的离心率 e （ ） A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 3 3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据直线与椭圆都关于原点对称则的可得到 2FA FB a   ， 2FA FB c   ，即可解出 a ， c ，根据 ce a  则可得出答案. 【详解】由对称性可得 2 2 2FA FB a    ，所以 2a  ， 又 2 2FA FB c    ，得 1c  . 所以 1 2 22 ce a    . 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆的离心率.属于基础题.利用其对称性分析出 2FA FB a   ， 2FA FB c   是解本题的关键. 11.已知在锐角 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，若 2 cos( ) cos( )b A B A C   ， 则 1 1 1 tan tan tanA B C   的最小值为（ ） A. 2 7 3 B. 5 C. 7 3 D. 2 5 - 8 - 【答案】A 【解析】 【分析】 先根据已知条件，把边化成角得到 B,C 关系式，结合基本不等式可求. 【详解】 2 cos( ) ccos( )b A B A C  Q ，且 A B C    2 cos ccosb C B  ， 由正弦定理得： 2sin cos sin cosB C C B ， 即 2tan tanB C 又 A B C    ， 2 tan tan 3tantan tan[ ( )] tan( ) 1 tan tan 1 2tan B C BA B C B C B C B              ， 21 1 1 1 2tan 1 1 tan tan tan 3tan tan 2tan B A B C B B B       2 2 22tan 1 3 9 4tan 2 4tan 7 3tan 2tan 6tan 6tan B B B B B B B        ， 2 7 2 7 2 7tan 2 tan3 6tan 3 6tan 3B BB B    … （当且仅当 2 7tan3 6tanB B  ，即 7tan 2B  ，取“=”）. 故选：A 【点睛】本题主要考查正弦定理和基本不等式，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧 重考查数学运算的核心素养，属于中档题. 12.已知函数 2( ) ln , ( ) ( 4 ) 22 xf x g x m x xx      ，对于 1 2[0,4], [0,1]x x    ，使得    2 1f x g x ，则实数 m 的取值范围是（ ） A. 1 1 1ln3 ,1 ln34 2 2      B. 1 1 1ln3 ,1 ln34 2 2      C. 1 ,12     D. 1 ,12     【答案】C - 9 - 【解析】 【分析】 对于 1 2[0,4], [0,1]x x    ，使得    2 1f x g x ，等价于 mi inn m( ) ( )f g xx  .利用单调性分 别找到 min( )f x 与 min( )g x 解不等式即可得出答案. 【详解】对于 1 2[0,4], [0,1]x x    ，使得    2 1f x g x ，等价于 mi inn m( ) ( )f g xx  . 因为函数 2( ) ln ln(2 ) ln(2 ) ( 2 2)2 xf x x x xx         ， . 因为 ln(2 )y x  与 ln(2 )y x   在[0，1]上为增函数 所以函数 ( )f x 在[0，1]上为增函数， 所以 min( ) (0) 0f x f  . 同理可知函数 4y x x   在[0，4]上为增函数，则 2 4 4x x     . 则当 0m  时， 2 2 ( ) 4 2m g x m  „ „ ， 于是由 0 2 2m   ，得 0 1m  ； 当 0m  时， ( ) 2 0g x   ，满足 mi inn m( ) ( )f g xx  ； 当 0m  时， 4 2 ( ) 2 2m g x m  „ „ ，于是由 0 4 2m  ，得 1 02 m   . 综上可知 1 12 m   ， 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数单调性解含参不等式，属于难题.其中将恒成立问题转化为最值问 题是解本题的关键. 常见不等式恒成立转最值问题： （1） min( ) ( )x D f x m f x m    ， ； （2） max( ) ( )x D f x m f x m    ， ； （3）  min( ) ( ) ( ) ( ) 0x D f x g x f x g x     ， ； （4）  max( ) ( ) ( ) ( ) 0x D f x g x f x g x     ， ； （5） 1 2 1 2 1 min 2 max, ( ) ( ) ( ) ( )x D x M f x g x f x g x     ， ； - 10 - （6） 1 2 1 2 1 max 2 min, ( ) ( ) ( ) ( )x D x M f x g x f x g x     ， ； （7） 1 2 1 2 1 min 2 min, ( ) ( ) ( ) ( )x D x M f x g x f x g x      ， ； （8） 1 2 1 2 1 max 2 max, ( ) ( ) ( ) ( )x D x M f x g x f x g x      ， ； 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.执行如图所示的程序框图，则输出的T  ___________. 【答案】 4 3 【解析】 【分析】 变量初始值 1, 0, 0k S T   执行第一次循环列举结果，再执行第二次循环，直到循环终止 得到答案. 【详解】 1, 0, 0k S T   ， 则 1 6, 1, 2S T k    ； 43 6, , 33S T k    6S  ，输出 4 3T  . 故答案为： 4 3 【点睛】本题考查循环结构程序框图. 最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体时 要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体． 14.如图为制作某款木制品过程中的产量 x 吨与相应的消耗木材 y 吨的统计数据，经计算得到 y 关于 x 的线性回归方程 ˆ 0.7 0.85y x  ，由于某些原因 m 处的数据看不清楚了，则根据运 - 11 - 算可得 m  __________． x 3 4 5 6 y 2.2 3.5 4.8 m 【答案】5.5 【解析】 【分析】 根据线性回归方程过样本中心点，结合平均数的定义、线性回归方程进行求解即可. 【详解】由题可知 3 4 5 6 9 4 2x     ，又知线性回归方程必过样本中心点 ( ),x y ，将 9 2x  代入 ˆ 0.7 0.85y x  ，得 4y  ，即 2.2 3.5 4.8 44 m    ，解得 5.5m  ． 故答案为：5.5 【点睛】本题考查了线性回归方程的性质，考查了平均数的定义，考查了数学运算能力. 15.将函数 ( ) sin cos ( , R, 0)f x a x b x a b a    的图象向左平移 6  个单位长度，得到一个 偶函数图象，则 b a  ________． 【答案】 3 【解析】 【分析】 根据平移后关于 y 轴对称可知  f x 关于 6x  对称，进而利用特殊值  03f f     构造方 程，从而求得结果. 【详解】  f x 向左平移 6  个单位长度后得到偶函数图象，即关于 y 轴对称  f x 关于 6x  对称  03f f     即： 3 1sin cos3 3 2 2a b a b b     3b a   本题正确结果： 3 - 12 - 【点睛】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称 轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解. 16.在三棱锥 B ADC 中， ADC 是等腰直角三角形， ,AC AD BD  平面 , 6ADC AD BD  .设 AD x ，三棱锥 B ADC 的外接球的体积为 ( )y f x .则 ( )f x 的最小值为___________. 【答案】8 6 【解析】 【分析】 由题意可得，外接球球心在 BC 的中点，由此可求出半径，再根据体积公式表示出 ( )f x ，再 根据单调性即可求出答案． 【详解】解：根据题意，可得 6BD x  ，且平面 BDC  平面 ADC ， ∴外接球球心在 BC 的中点， ∴三棱锥 B ADC 的外接球的半径 2 2 21 (6 )2R x x x    ， ∴三棱锥 B ADC 的外接球的体积为 3 3 2 2 24 4 1( ) (6 )3 3 2f x R x x x           3 2 23 12 366 x x     3 2 23 2 8 (0 6)2 x x       ， ∴函数 ( )f x 在 0,2 上单调递减，在 2,6 上单调递增， ∴当 2x  时， ( )f x 取最小值为 ( ) 8 6f x  ， 故答案为：8 6 ． 【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题． 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.已知 na 是递增的等差数列， 3 1 4 2 8 15, , ,a a a a a a   成等比数列. （1）求数列 na 的通项公式； - 13 - （2）若 1 3 n n n b a a   ，求数列 nb 的前 n 项和 nS ，并证明 3 2nS  . 【答案】（1） 2 1na n  ；（2） 3 1(1 )2 2 1nS n    ；证明见解析. 【解析】 【分析】 设{ }na 的公差为 d ，由条件列出方程组，求得 1,a d 的值，即可得到数列的通项公式； 由（1）可得 1 3 3 1 1( )2 2 1 2 1n n n b a a n n+ = = -- + 利用裂项法，即可求解数列的前 n 项和. 【详解】（1）设数列 na 的公差为 ( 0)d d  由已知得 1 2 1 1 2 5 (2 7 ) (2 ) a d a a d d      解得 1 1 2 a d    1 2( 1) 2 1na n n      （2） 1 3 3 3 1 1( )(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n n n b a a n n n n        3 1 1 1 1 1(1 )2 3 3 5 2 1 2 1nS n n         3 1(1 )2 2 1n    1, 02 1n N n   . 3 2nS  . 【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式和“裂项法”求数列的前 n 项和，其中解答中根据 题意，列出方程组求得 1,a d 的值，求得数列的通项公式，以及合理利用“裂项法”求和是解 答的关键，着重考查了推理与运算能力. 18.如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形， ,AB AC PA  平面 ABCD ，且 2, 1PA AB AC   ，点 E 是 PD 的中点. - 14 - （1）求证： / /PB 平面 AEC ； （2）求 P 到平面 AEC 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2） 2 . 【解析】 【分析】 （1）连接 BD 交 AC 于点 F ，连接 EF ，由此根据线面平行的判定定理即可证明； （2）由题意，点 P 到平面 AEC 的距离与点 D 到平面 AEC 的距离相等，证得 DC  平面 PAC ， 从而 DC PC ，设 D 到平面 AEC 的距离为 h ，作 EH AD ，交 AD 于点 H ， 由题意得 EH 即为点 E 到平面 ADC 的距离，利用等体积法即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接 BD 交 AC 于点 F ，连接 EF ， 在 PBD△ 中， E 为 PD 中点， F 为 BD 中点， //EF PB ， 又 EF  平面 ,AEC PB  平面 AEC ， //PB 平面 AEC ； （2）解：∵ E 为 PD 中点， ∴点 P 到平面 AEC 的距离与点 D 到平面 AEC 的距离相等， // ,DC AB AC AB ， DC AC  ，又 PA  平面 ABCD ，则 DC PA ， DC  平面 PAC ， 又 PC  平面 ,PAC DC PC  ， 在 Rt PDC 中， 2 2 2 2 21 1 1 3 2 2 2 2EC PD PA AD PA AC CD       ， 同理 3 2AE  ， - 15 - 则在 AEC 中， 3 2AE CE  ， 1,AC F 为 AC 中点， 2EF  ∴ 1 1 21 22 2 2EACS AC EF       ， 设 D 到平面 AEC 的距离为 h ，作 EH AD ，交 AD 于点 H ， 由题意得 EH 即为点 E 到平面 ADC 的距离， 由 D EAC E DCAV V  ，得 1 1 3 3EAC ADCS h S EH      ， 即 2 1 12 h   ，解得 2h  ， D∴ 到平面 AEC 的距离为 2 ， P 到平面 AEC 的距离为 2 ． 【点睛】本题主要考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法（等体积法），考查数学 运算与逻辑推理，属于中档题． 19.某网上论坛从关注某事件的跟贴中，随机抽取了 100 名网友进行调査统计，先分别统计他 们在跟贴中的留言条数，再把网友人数按留言条数分成 6 组： [0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60) ，得到如图所示的频率分布直方图；并将其中留言 不低于 40 条的规定为“强烈关注”，否则为“一般关注”，对这 100 名网友进一步统计得到 列联表的部分数据如下表： 一般关注 强烈关注 合计 男 45 女 10 55 - 16 - 合计 100 （1）补全 2 2 列联表中数据，并判断能否有 95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注” 与性别有关； （2）现已从“强烈关注”的网友中按性别分层抽样选取了 5 人，再从这 5 人中选取 2 人，求 这 2 人中至少有 1 名女性的概率. 参考公式及数据： 2 2 ( ) ,( )( )( )( ) n ad bcK n a b c da b c d a c b d         .  2 0P K k… 0.050 0.010 0k 3.841 6.635 【答案】（1）填表见解析；没有 95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关； （2） 7 10 . 【解析】 【分析】 （1）根据频率分布直方图，求出强烈关注的总人数，即可完成表格.将数据带入公式计算出 2K , 结果与 3.841 比较则可得出结论. （2）根据男女比例求出样本中男女生的人数，利用列举法列举出所有基本事件，即可求出答 案. 【详解】（1） 2 2 列联表如下： 一般关注 强烈关注 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 - 17 - 合计 75 25 100 2 2 100 (30 10 15 45) 3.030 3.84145 55 75 25K         . ∴没有 95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关. （2）从“强烈关注”的网友所选的 5 人中，男性人数为 155 315 10   ，记为 , ,A B C ，女性 人数为5 3 2  ，记为 ,d e .则 从这 5 人中选 2 人，所有的基本事件为 , , , , , , , , ,AB AC Ad Ae BC Bd Be Cd Ce de ，共 10 种， 且它们是等可能的， 其中至少有一名女性网友的基本事件为 , , , , , ,Ad Ae Bd Be Cd Ce de ，共 7 种， 则所求概率 7 10P  . 【点睛】本题考查频率分布直方图， 2K 检验，古典概型.属于基础题.涉及频率分布直方图需 注意纵坐标为频率/组距. 20.已知椭圆 2 2 2: 1( 1)xE y aa    的离心率为 3 2 ，右顶点 ( ,0)P a 是抛物线 2: 2C y px 的 焦点. （1）求抛物线 2: 2C y px 的标准方程； （2）若 C 上存在两动点 A，B（A，B 在 x 轴异侧）满足 20OA OB   ，且 PAB△ 的周长为 2 | | 4AB  ，求| |AB 的值. 【答案】（1） 2 8y x ；（2）30. 【解析】 【分析】 (1)根据椭圆离心率的关系可得 2a  ，进而根据抛物线的性质求出方程即可. (2) 设直线 :AB x my n  ，联立 2 8y x 得出韦达定理，再结合抛物线的方程与 20OA OB   - 18 - 化简可得 10n  ，再根据抛物线的焦半径公式以及弦长公式求得 5 2m   ，进而求得| |AB . 【详解】解析：（1）因为椭圆 2 2 2: 1xE ya   的离心率为 3 2 ，所以 2 2 1 3 4 a a   ， 解得 2 4a  ，所以 2a  ， 而 22 p  ，所以 4p  ， 从而得抛物线 C 的标准方程为 2 8y x . （2）由题意 0ABk  ，设直线 :AB x my n  ， 联立 2 8y x 得 2 8 8 0y my n   ， 设    1 1 2 2, , ,A x y B x y （其中 1 2 0y y  ） 所以 1 2 1 28 , 8y y m y y n     ，且 0n  ， 因为 20OA OB   ，所以 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2064 y yOA OB x x y y y y       ， 2 8 20n n  ，所以( 10)( 2) 0n n   ，故 10n  或 2n   （舍）， 直线 : 10AB x my  ， 因为 PAB△ 的周长为 2 | | 4AB  所以| | | | | | 2 | | 4PA PB AB AB    . 即| | | | | | 4PA PB AB   ， 因为   2 1 2 1 2| | | | 4 24 8 24PA PB x x m y y m         . 又 2 2 2 1 2| | 1 1 (8 ) 320AB m y y m m       ， 所以   2 2 28 20 1 320 64m m m    ， 解得 5 2m   ， 所以   2 2| | 1 320 64 30AB m m    . - 19 - 【点睛】本题主要考查了联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理与弦长公式、焦半径公式 求解的问题，属于中档题. 21.设函数 ( ) lnf x x x （1）求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程； （2）若函数 2( ) ( )F x f x ax  有两个极值点，求实数 a 的取值范围； （3）当 1 2 0x x  时，      2 2 1 2 1 22 m x x f x f x   恒成立，求实数 m 的取值范围. 【答案】（1） 1y x  ；（2） 10, 2a     ；（3） 1m… . 【解析】 【分析】 （1）将 1x  代入 ( )f x 与 ( )f x ，求出切点与斜率，再利用点斜式写出切线方程即可. （2） ( )F x 有两个极值点等价于 ( )F x 有两个零点，参变分离，求出新函数的单调性，借助图 像，即可得出 a 的取值范围. （3）原不等式等价于    2 2 2 2 1 12 2 m mf x x f x x   .即 2( ) ( ) 2 mQ x f x x  在 在 (0, ) 上单调递减，利用 ( ) 0Q x „ 在 (0, ) 上恒成立，参变分离，借助第（2）问的结论， 即可解出 m 的取值范围. 【详解】（1）由题意知 (1) 0f  ， ( ) ln 1f x x   所以 ( )f x 在点 (1, (1))f 处的切线斜率 (1) 1k f   ， 则切线方程为 1y x  . （2）定义域： (0,+ ) . ( ) ( ) 2 ln 1 2F x f x ax x ax      . ( )F x 有两个极值点. 即 ( )F x 有两个零点，即 ln 1 2 0x ax   有两个不等实根， 1 ln2 xa x  ， 令 1 ln( ) xg x x  ，即函数 2y a 与函数 1 ln( ) xg x x  有两个不同的交点 - 20 - 又因为 2 ln( ) xg x x   ，所以在（0，1）上 ( ) 0, ( ) g x g x 在（0，1）上单调递增，在 (1, ) 上 ( ) 0, ( )g x g x  单调递减， max( ) (1) 1g x g  . 如图所示： 当 1 2a  时， ( ) 2g x a ，函数 2y a 与函数 1 ln( ) xg x x  无交点； 当 1 2a  时， max( ) 2g x a ，函数 2y a 与函数 1 ln( ) xg x x  仅有一个交点； 当 0a  时，因为当 1x e  时， ( ) 0g x ，而 ( )g x 在（0，1）上单调递增，所以函数 2y a 与 函数 1 ln( ) xg x x  至多在（0，1）上有一个交点； 当 10 2a  时， ( )g x 在（0，1）上单调递增， 1(1) 1 2 , ( ) 0 2g a g ae     ，所以函数 2y a 与函数 1 ln( ) xg x x  在（0，1）上仅有一个交点； ( )g x 在 (1, ) 上单调递减， 1 12 1 1 22 1 12 22 2(1) 1 2 , ( ) 21( 1)2 a a a ag a g e a e a           .所以函数 2y a 与函数 1 ln( ) xg x x  在 (1, ) 上仅有一个交点；即函数 2y a 与函数 1 ln( ) xg x x  有两个不同的交点 因此 10, 2a     . （3）      2 2 1 2 1 22 m x x f x f x   可化为    2 2 2 2 1 12 2 m mf x x f x x   . 设 2( ) ( ) 2 mQ x f x x  ，又 1 2 0x x  . ( )Q x 在 (0, ) 上单调递减， ( ) 1 ln 0Q x x mx    „ 在 (0, ) 上恒成立，即 1 ln xm x  … . 又 1 ln( ) xh x x  在（0，1）上单调递增，在 (1, ) 上单调递减. ( )h x 在 1x  处取得最大值. (1) 1h  . 1m … . 【点睛】本题考查导函数的应用，属于中档题，需熟练掌握导数的求导规则、基础函数的导 数、导数的几何意义；零点问题一般可参变分离后转化为两函数的交点问题来解；解不等式 - 21 - 时常利用参变分离将其转化为最值问题来求解. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一 题计分. 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 22.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是： 2 ,2 2 .2 x m t y t      （ t 是参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是 6sin  . （1）若直线 l 与曲线C 相交于 ,A B 两点，且| | 2AB  ，试求实数 m 值； （2）设 ( , )M x y 为曲线C 上任意一点，求 y x 的取值范围. 【答案】（1） 1m  或 7m   ；（2）[3 3 2,3 3 2]  . 【解析】 【分析】 （1）把直线、曲线方程化为直角坐标方程后根据圆心到直线的距离和半径的关系建立方程即 可．（2）利用圆的参数方程，根据点到直线的距离公式和三角函数的知识求解． 【详解】解析：（1）曲线C 的极坐标方程是 6sin  化为直角坐标方程为： 2 2 6 0x y y   ， 直线 l 的直角坐标方程为： y x m  . 所以圆心 (0,3) 到直线l 的距离（弦心距） 2 23 1 2 2d    ， 圆心 (0,3) 到直线 y x m  的距离为： |0 3 | 2 2 2 m   ， 所以| 3| 4m   所以 1m  或 7m   ， （2）曲线 C 的方程可化为 2 2( 3) 9x y   ，其参数方程为 3cos , 3 3sin , x y       （ 为参数） 因为 ( , )M x y 为曲线 C 上任意一点， 3 3sin 3cos 3 3 2 sin( )4y x          所以 y x 的取值范围是[3 3 2,3 3 2]  . - 22 - 【点睛】本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，圆的参数方程 的应用以及直线和圆的位置关系． 【选修 4-5：不等式选讲】 23. 已知函数 ( ) | 2 | | 1|,f x x a x a R     . （1）若不等式 ( ) 2 | 1|f x x „ 无解，求实数 a 的取值范围； （2）当 2a  时，函数 ( )f x 的最小值为 2，求实数 a 的值. 【答案】（1） ( ,0) (4, )  ；（2） 2a   . 【解析】 【分析】 （1）把 ( )f x 代入不等式，并化简，根据题意可得 min(| 2 | | 2 2 |) 2x a x    ，利用绝对值 三角不等式，可得| 2 | 2a   ，简单计算可得结果. （2）使用零点分段法，去掉绝对值，可得  f x 表达式，然后画出图像，可得结果. 【详解】（1）把 ( ) | 2 | | 1|f x x a x    代入不等式 ( ) 2 | 1|f x x „ 得| 2 | | 2 2 | 2x a x   „ ，因为不等式 ( ) 2 | 1|f x x „ 无解， 所以 min(| 2 | | 2 2 |) 2x a x    ， 即| 2 | 2a   ，解得 4a  ，或 0a  ， 所以实数 a 的取值范围是 ( ,0) (4, )  . （2）函数 ( ) | 2 | | 1|f x x a x    的零点是 2 a 和 1， 因为 2a  ，所以 12 a  ， 则 3 1, ,2 ( ) 1, 1,2 3 1, 1. ax a x af x x a x x a x             „ … 如图 - 23 - 由图可知当 2 ax  时， min( ) 1 22 af x    ，得 2 2a    符合题意， 所以 2a   . 【点睛】本题考查绝对值不等式的应用以及分段函数图象应用，熟悉绝对值的三角不等式 a b a b a b     ，同时熟练掌握零点分段法的使用，属中档题. - 24 -