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- 2021-06-16 发布
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- 1 -
河南省顶级名校 2020 届高三 6 月考前模拟考试
数学(理科)
本试卷共 6 页,23 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号,
并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、不污损.
2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.
3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内;
如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上要
求作答的答案无效.
4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.
5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回.
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.设 z 2
1
(1 )
i
i
,则|z|=( )
A. 1
2
B. 2
2
C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
把已知等式变形,再由商的模等于模的商求解即可.
【详解】解:∵z 2
1 1
(1 ) 2
i i
i i
,
∴|z|=| 1
2
i
i
| 1 2
2 2
i
i
.
故选:B.
【点睛】本题考查复数模的求法,考查数学转化思想方法,是基础题.
2.已知集合 | 2xA y y , 2| 3 2 0B x x x 则( )
A. A B B. A B R C. A B D. B A
- 2 -
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数函数的值域化简集合 A 的表示,解一元二次不等式化简集合 B 的表示,最后根据集
合的交集和并集的定义、子集的定义进行判断即可.
【详解】因为 | 2 | 0xA y y y y , 2| 3 2 0 |1 2B x x x x x ,
所以 |1 2A B x x ,故选项 A 不正确;
| 0y yA B R ,故选项 B 不正确;
根据子集的定义有 B A .
故选:D
【点睛】本题考查了集合交集、并集的运算,考查了子集的定义,考查了指数函数的值域,
考查了解一元二次不等式,考查了数学运算能力.
3.设α为平面,m,n 为两条直线,若 m ,则“ m n ”是“ n ”的( )
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据充分性和必要性的定义,结合线面垂直的性质进行判断即可.
【详解】当 m 时,如果 m n ,不一定能推出 n ,因为直线 n 可以在平面α外,
当 m 时,如果 n ,根据线面垂直的性质一定能推出 m n ,所以若 m ,则
“ m n ”是“ n ”的必要不充分条件.
故选:C
【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,考查了线面垂直的性质,考查了推理论证能力.
4.已知双曲线 C:
2 2
2 2 1y x
a b
( 0a , 0b )的两条渐近线互相垂直,则 C 的离心率为( )
A. 2 B. 2 C. 3 D. 3
【答案】A
- 3 -
【解析】
【分析】
根据双曲线和渐近线的对称性,结合双曲线离心率的公式、 , ,a b c 之间的关系、双曲线渐近线
方程进行求解即可.
【详解】双曲线 C:
2 2
2 2 1y x
a b
的渐近线方程为: ay xb
,因为该双曲线的两条渐近线互
相垂直,
所以有 2 2 2 2 2 2 21 2 2 2a ca b a b a c a c a c a eb a
.
故选:A
【点睛】本题考查了已知双曲线渐近线的性质求离心率问题,考查了数学运算能力,属于基
础题.
5.已知定义在 R 上的函数 f x 满足 2f x f x ,当 0 1x 时,
1
3f x x ,则
17( )8f ( )
A. 1
2
B. 2 C. 1
8
D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等式 2f x f x ,结合已知函数的解析式、指数幂运算公式进行求解即可
【详解】因为 2f x f x ,所以 17 1 1( ) (2 ) ( )8 8 8f f f ,
因为 1 [0,1]8
,所以
1 1
33 3 1[1 1 1( ) ( ) ( 2) ]8 8 2f .
故选:A
【点睛】本题考查了求函数值,考查了指数运算公式的应用,考查了数学运算能力.
6.若 1x , 2x ,…, nx 的平均数为 a,方差为 b,则 12 3x , 22 3x ,…, 2 3nx 的平均数
和方差分别为( )
A. 2a,2b B. 2a,4b C. 2 3a ,2b D. 2 3a ,
4b
- 4 -
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据平均值和方差的性质得到答案.
【详解】根据平均值和方差的性质知:
12 3x , 22 3x ,…, 2 3nx 的平均数和方差分别为 2 3a 和 22 4b b .
故选:D.
【点睛】本题考查了平均值和方差,意在考查学生的计算能力和对于平均值和方差的性质的
灵活运用.
7.记等差数列 na 的前 n 项和为 nS ,若 2 4S , 4 2S ,则 6S ( )
A. 6 B. 4 C. 2 D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用等差数列和的性质得到答案.
【详解】根据等差数列和的性质知: 4 2 2 6 42 S S S S S ,故 64= 2S ,即 6 6S .
故选:A.
【点睛】本题考查了等差数列和的性质,意在考查学生的计算能力和应用能力.
8.函数 f(x) 1 4
2
x
x
sinx
的部分图象大致为( )
A. [Failed to download image :
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485821041958912/STEM/5b2c8f2a-2800-4b4e-beeb-b88acda4caf6.png] B. [Failed to
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485821041958912/STEM/e315a420-f7f4-4af5-8ce7-b298818c4378.png]
C. [Failed to download image :
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485821041958912/STEM/6348dfe3-6e67-4c22-927d-222a91abbf8e.png] D. [Failed to
- 5 -
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485821041958912/STEM/c383cf42-4f7a-4bce-9e36-8d13c7606515.png]
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性,结合选项中函数图象的对称性,先排除不符合题意的,然后结合特殊
点函数值的正负即可判断.
【详解】因为 f(﹣x) 1 4 4 1 1 4
2 2 2
x x x
x x x
sin x sinx sinx f(x),
所以 f(x)为偶函数,图象关于 y 轴对称,排除选项 A,C,
又 f(2) 2
2
1 4 2 15 sin 22 4
sin ,
因为 22
,所以sin 2 0 ,所以 f(2)<0,排除选项 D.
故选:B.
【点睛】本题主要考查函数图象与性质及其应用,还考查了数形结合的思想方法,属于中档
题.
9.已知椭圆 C:
2 2
2 13
x y
a
的右焦点为 F,O 为坐标原点,C 上有且只有一个点 P 满足
OF FP ,则 C 的方程为( )
A.
2 2
112 3
x y B.
2 2
18 3
x y C.
2 2
16 3
x y D.
2 2
14 3
x y
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对称性知 P 在 x 轴上, 2a c ,计算得到答案.
【详解】根据对称性知 P 在 x 轴上,OF FP ,故 2a c , 2 23a c ,解得 2a , 1c ,
- 6 -
故椭圆方程为:
2 2
14 3
x y .
故选:D.
【点睛】本题考查了椭圆方程,意在考查学生的计算能力,确定 P 在 x 轴上是解题的关键.
10.下面图 1 是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图 2 所示,图 2 中圆
的半径均为 1,且相邻的圆都相切,A,B,C,D 是其中四个圆的圆心,则 AB
•CD ( )
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85821041967104/STEM/40d0d031640c44bfa67fe681e9b962e8.png]
A. 32 B. 28 C. 26 D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】
建立以 ,a b
为一组基底的基向量,其中 1a b 且 ,a b
的夹角为 60°,根据平面向量的基本
定理可知,向量 AB
和CD
均可以用 a b, 表示,再结合平面向量数量积运算法则即可得解.
【详解】解:如图所示,建立以 ,a b
为一组基底的基向量,其中 1a b 且 ,a b
的夹角为 60°,
[Failed to download image :
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85821041967104/EXPLANATION/15b154d8f6564aeea86d44d8aaf0c168.png]
∴ 2 4AB a b , 4 2CD a b ,
∴ 2 2 12 4 4 2 8 8 20 8 8 20 1 1 262AB CD a b a b a b a b .
故选:C.
【点睛】本题考查平面向量的混合运算,观察图形特征,建立基向量是解题的关键,考查学生的
分析能力和运算能力,属于中档题.
11.意大利数学家斐波那契(1175 年—1250 年)以兔子繁殖数量为例,引入数列:1,1,2,
3,5,8,…,该数列从第三项起,每一项都等于前两项之和,即 2 1n n na a a n N 故
此数列称为斐波那契数列,又称“兔子数列”,其通项公式为
- 7 -
1 1 5 1 5
2 25
n n
na
(设 n 是不等式 2log 1 5
x
1 5 2 11
x
x 的正
整数解,则 n 的最小值为( )
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】
根 据 题 意 , n 是 不 等 式 2log 1 5 1 5 2 11
x x
x 的 正 整 数 解 , 化 简 得
11
2
5na ,即
11
2 2
5na ,根据数列 na 的单调性,求出
11
2 2
5na 成立的 n 的最小值,即可
求出答案.
【详解】解析:∵ n 是不等式 2log 1 5 1 5 2 11
x x
x 的正整数解,
∴ 2log 1 5 1 5 2 11
n n
n ,
∴ 2log 1 5 1 5 2 11
n n
n ,
∴ 2
2 2log 1 5 1 5 log 2 11
n n n ,
即 2 2log 1 5 1 5 log 2 11
n n n
∴
2
1 5 1 5
log 112
n n
n
,
∴ 2
1 5 1 5log 112 2
n n
,
∴ 111 5 1 5 22 2
n n
,
- 8 -
∴ 11
21 1 5 1 5
2 25 5
n n
,
令 1 1 5 1 5
2 25
n n
na
,则数列 na 即为斐波那契数列,
11
2
5na ,即
11
2 2
5na ,
显然数列 na 为递增数列,所以数列 2
na 亦为递增数列,
不难知道 7 13a , 8 21a ,且
11
2
7
2
5a ,
11
2
8
2
5a ,
∴使得
11
2 2
5na 成立的 n 的最小值为 8,
∴使得 2log 1 5 1 5 2 11
x x
x 成立的 n 的最小值为 8.
故选:C.
【点睛】本题考查数列的新定义,以及利用数列的单调性求最值,还根据对数运算化简不等
式,考查转化思想和化简运算能力.
12.已知直线 y 与函数 sinf x x ( 0 1 )的图象相交,将其中三个相邻
交点从左到右依次记为 A,B,C,且满足 AC nBC *Nn 有下列结论:
①n 的值可能为 2
②当 3n ,且 时, f x 的图象可能关于直线 x 对称
③当
6
π 时,有且仅有一个实数ω,使得 f x 在 ,1 1
上单调递增;
④不等式 1n 恒成立
其中所有正确结论的编号为( )
A. ③ B. ①② C. ②④ D. ③④
【答案】D
【解析】
【分析】
- 9 -
根据三角函数的图像性质,依次分析四个结论即可求解.
【详解】解析:如图所示,
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85935294750720/EXPLANATION/0ef26475606e45cb962f2e3850d7ada9.png]
不妨设 1,A x , 2 ,B x , 3,C x ,且线段 AB 的中点为 0 ,M x ,
显然有 3 1
2x x
, 1 2
0 2
x xx ,且 f x 的图象关于直线 0x x 对称,
∵ AC nBC *nN ,∴ | | 1
| |
AB n
nAC
*nN ,
∴
2 1
2 1nx x n
,即
2 1
2 1nx x n
,(1)
∵ 0 1 ,且 *nN ,∴由正弦曲线的图像可知,
0 2 2x k ( k Z ).
∴ 1 2 22 2
x x k ( k Z ),
即 2 1 4 2x x k ,(2)
由等式(1),(2)可得 1
32 2x k n
,
∴ 3sin 2 2k n
,即 cos n
,
∴ cos 0,1n
,且 *nN ,∴ 3n ,且 1 ,12
,
对于结论①,显然 2n ,故结论①错误:
对于结论②,当 3n ,且| | 时,则 1cos 3 2
,
故 sin 2
xf x
,若 f x 的图象关于直线 x 对称,
则
2 2k ( k Z ),即 2k ( k Z )
显然与| | 矛盾,从而可知结论②错误:
- 10 -
对于结论③,∵ 1 ,12
,且 f x 在区间 ,1 1
上单调递增,
∴ 1 6 2
1 6 2
,∴ 1
2
,故结论③正确;
对于结论④,下证不等式 cos 1n n
( 3n ),
(法一)当 3n 时, 1cos cos 3 2n
,
∴ 3cos 12n n
( 3n ),即 cos 1n n
( 3n ),
(法二)即证不等式 1cos 0n n
( 3n )恒成立,
构造函数 1cosg x x x
( 3x ),显然函数 g x 单调递增,
当 3n 时, 13 06g n g ,即不等式 1cos 0n n
( 3n )恒成立,故结论④正
确:
综上所述,正确的结论编号为③④
故选:D
【点睛】本题考查三角函数的图像性质,属于中档题.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.曲线 lny x x 在点 (1,0) 处的切线的方程为__________.
【答案】 1 0x y
【解析】
【分析】
对 f x 求导,带入 1x 得到斜率,通过点斜式得到切线方程,再整理成一般式得到答案.
【详解】 lny x x
1ln ln +1y x x xx
带入 1x 得切线的斜率 1k ,
切线方程为 0 1 1y x ,整理得 1 0x y
- 11 -
【点睛】本题考查导数的几何意义,通过求导求出切线的斜率,再由斜率和切点写出切线方
程.难度不大,属于简单题.
14.若 x,y 满足约束条件
2 0
0
3 0
y
x y
x y
,则 yz x
的最大值为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】
画出可行域, z 表示可行域上的点到原点 (0,0) 的斜率,分析并计算 z 的最大值.
【详解】作出可行域如图所示,
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85935295315968/EXPLANATION/ef8bce5c3b85488191538ddf6a011411.png]
又 z 为可行域内的点到原点 (0,0)O 的斜率,由图得 z 的最大值为 AOk ,
又 (1,2)A ,得 z 的最大值为 AOk 2 .
故答案为: 2
【点睛】本题考查了线性规则,正确画出不等式组表示的平面区域是解题的基础,理解目标
函数的意义是解题的关键.
15.2020 年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸
多困难,全国人民心系湖北,志愿者纷纷驰援若将 4 名医生志愿者分配到两家医院(每人去
一家医院,每家医院至少去 1 人),则共有__________种分配方案.
【答案】14
【解析】
【分析】
根据题意先将 4 名医生分成 2 组,再分配的两家医院即可求得分配方案的种数,分组时有1 3
和 2 2 两种分组方法,同时注意 2 2 是平均分组问题.
【详解】由题先将 4 名医生分成 2 组,有
2 2
1 4 2
4 2
2
C CC
A
4 3 7 种,
再分配的两家医院有 2
27 14A 种.
- 12 -
故答案为:14
【点睛】本题考查了排列组组合的综合应用,考查了先选再排的技巧,分组时要注意分类讨
论,还有要特别注意平均分组问题的计数方法.
16.已知正方形 ABCD 边长为 3,点 E,F 分别在边 AB , AD 上运动(E 不与 A,B 重合,F
不与 A,D 重合),将 AEF 以 EF 为折痕折起,当 A,E,F 位置变化时,所得五棱锥 A EBCDF
体积的最大值为__________.
【答案】 2 3
【解析】
【分析】
欲使五棱锥 A EBCDF 的体积最大,须有平面 AEF 平面 EBCDF ,求出底面五边形
EBCDF 的面积以及高,利用棱锥的体积公式得出体积表达式,再由基本不等式以及导数得
出五棱锥 A EBCDF 体积的最大值.
【详解】解析:不妨设 3AE a , 3AF b , , (0,1)a b
在直角三角形 AEF 中,易知 EF 边上的高为 2 2
3abh
a b
又五棱锥 A EBCDF 的底面面积为 9 1 2
abS
欲使五棱锥 A EBCDF 的体积最大,须有平面 AEF 平面 EBCDF
∴ max 2 2
1 9 13 2
ab abV Sh
a b
∵ 2 2 2a b ab ,∴ max
9 29 1 22 42
ab abV ab ab ab
ab
令t ab ,则 0,1t ,∴ 3
max
9 2 24V t t , 0,1t
令 32f t t t , 0,1t ,则 22 3tf t
不难知道,当 6
3t 时, ( )f t 取得最大值 4 6
9
∴ max
9 2 4 6 2 34 9V
- 13 -
综上所述,当 6
3a b 时,五棱锥 A EBCDF 的体积取得最大值 2 3
故答案为: 2 3 .
【点睛】本题主要考查了利用导数解决实际应用问题,涉及了棱锥的体积公式和基本不等式
的应用,属于中档题.
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分.
17. ABC 中,D 为 BC 上的点,AD 平分 BAC , 5AD , 8AC , ACD△ 的面积为10 3 .
(1)求 CD 的长;
(2)求sin B .
【答案】(1) 7 (2) 3 3
14
【解析】
【分析】
(1)根据三角形面积公式可得 3sin 2DAC ,可得 60 ∠DAC ,根据余弦定理可得
7CD ;
(2)根据余弦定理求出 1cos 7ADC ,可得 4 3sin 7ADC ,再利用 60B ADC
以及两角差的正弦公式可得结果.
【详解】(1)因为 5AD , 8AC , ACD△ 的面积为10 3 ,
∴ 1 5 8sin 10 32 DAC ,
∴ 3sin 2DAC ,
∵ 0 180BAC , AD 平分 BAC ,
∴ 0 90DAC ,
∴ 60 ∠DAC ,
- 14 -
在 ACD△ 中,由余弦定理,得
2 2 2 2 22 cos 5 8 2 5 8 cos60 49CD AD AC AC AD DAC ,
∴ 7CD .
(2)在 ACD△ 中,由余弦定理,得
2 2 25 7 8 1cos 2 5 7 7ADC
,
∴ 2 1 4 3sin 1 cos 1 49 7ADC ADC ,
因为 AD 平分 BAC ,所以 60BAD CAD ,
∴ sin sin 60 sin cos60 cos sin 60B ADC ADC ADC
4 3 1 1 3 3 3
7 2 7 2 14
,
【点睛】本题考查了余弦定理、三角形内角和定理、三角形的面积公式、两角差的正弦公式,
属于基础题..
18.如图,三棱柱 1 1 1ABC A B C 中,底面 ABC 为等边三角形,E,F 分别为 AB , 1AA 的中点,
1CE FB , 1 1
2 32 3AB AA EB .
[Failed to download image :
http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2020/6/16/2485731821363200/24
85935296094208/STEM/a5f530f4c0d5492c9db03a6057e83cee.png]
(1)证明: EF 平面 1CEB ;
(2)求直线 EF 与平面 1CFB 所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析;(2)
4
【解析】
【分析】
(1)通过计算可得 1EF EB ,通过证明CE 平面 1 1ABB A ,可得CE EF ,再根据直线
与平面垂直的判定定理可得 EF 平面 1CEB ;
- 15 -
(2)先说明直线 EB ,CE , EM 两两垂直,再以 EB
, EC
, EM
的方向为 x,y,z 轴的
正方向,以点 E 为原点,建立空间直角坐标系,然后利用空间向量可求得结果.
【详解】(1)证明:设 1 2AA a ,∵ 1 1
2 32 3AB AA EB ,
则 2 2AB a , 1 6EB a , 1 2BB a ,
∵点 E 为棱 AB 的中点,∴ 2EB a ,
∴ 2 2 2
1 1EB EB BB ,∴ 1EB BB .
∵三棱柱 1 1 1ABC A B C 的侧面 1 1ABB A 为平行四边形,
∴四边形 1 1ABB A 为矩形,
∵点 F 为棱 1AA 的中点,
∴ 2 2 2 2
1 1 1 1 9FB A F A B a , 2 2 2 23FE AF AE a ,
∴ 2 2 2
1 1FB EF EB ,∴ 1EF EB .
∵三棱柱的底面 ABC 是正三角形,E 为 AB 的中点,
∴CE AB .
∵ 1CE FB ,且 AB Ì平面 1 1ABB A , 1FB 平面 1 1ABB A ,且 AB , 1FB 相交,
∴CE 平面 1 1ABB A ,∵ EF 平面 1 1ABB A ,∴CE EF ,∵ 1EC EB E ,
∴ EF 平面 1CEB .
(2)由(1)可知 CE 平面 1 1ABB A ,∴ 1CE BB ,∴ 1BB 平面 ABC ,
∴三棱柱 1 1 1ABC A B C 是正三棱柱,
设 1 1A B 的中点为 M,则直线 EB ,CE , EM 两两垂直,
分别以 EB
,EC
,EM
的方向为 x,y,z 轴的正方向,以点 E 为原点,建立如图所示的空间
直角坐标系,
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- 16 -
85935296094208/EXPLANATION/035d0046506d41e0855b4b4b74ac335a.png]
设 0,0,0E , 0, 6 ,0C a , 2 ,0,F a a , 1 2 ,0,2B a a ,
则 2 ,0,EF a a
, 2 , 6 ,FC a a a
, 1 2 2 ,0,FB a a
.
设平面 1CFB 的一个法向量为 , ,n x y zr ,则
1
0
0
n FC
n FB
,则 2 6 0
2 2 0 0
ax ay az
ax y az
,则
2 6 0
2 2 0
x y z
x z
,
不妨取 1x ,则 3y ,则 2 2z ,所以 1, 3, 2 2n ,
设直线 EF 与平面 1CFB 所成角为 ,
则 2 2 2| | 2sin 2| || | 3 12
a aEF n
EF n a
,
因为 [0, ]2
,所以
4
则直线 EF 与平面 1CFB 所成角的大小为
4
.
【点睛】本题考查了线面垂直的性质与判定,考查了直线与平面所成角的向量求法,属于中
档题.
19.足球运动被誉为“世界第一运动”.为推广足球运动,某学校成立了足球社团由于报名人
数较多,需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取,规则如下:
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85935297028096/STEM/0cd440c33bf24f7d87c75a1a93fc64c2.png]
(1)下表是某同学 6 次的训练数据,以这 150 个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概
率.为加入足球社团,该同学进行了“点球测试”,每次点球是否踢进相互独立,将他在测试
中所踢的点球次数记为 ,求 E ;
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85935297028096/STEM/c67b1f9ca4644b1f91b8ea03ae930d54.png]
(2)社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练,从甲开始随机地将球传给其他两人中的
- 17 -
任意一人,接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人,如此不停地传下去,且假定每
次传球都能被接到.记开始传球的人为第 1 次触球者,接到第 n 次传球的人即为第 1n 次触球
者 n N ,第 n 次触球者是甲的概率记为 nP .
(i)求 1P , 2P , 3P (直接写出结果即可);
(ii)证明:数列 1
3nP
为等比数列.
【答案】(1)1.56(2)(i) 1 1P , 2 0P , 3
1
2P (ii)证明见解析;
【解析】
【分析】
(1)先求出踢一次点球命中的概率,然后根据相互独立事件的乘法公式分别求出 取 1,2,
3 的概率,再根据离散型随机变量的期望公式可求得结果;
(2)(i)根据传球顺序分析可得答案;(ii)根据题意可得
1 1 1
1 10 1 12 2n n n nP P P P ,再变形为 1
1 1 1
3 2 3n nP P
,根据等比数列
的定义可证结论.
【详解】(1)这 150 个点球中的进球频率为10 17 20 16 13 14 0.6150
,
则该同学踢一次点球命中的概率 0.6p ,
由题意, 可能取 1,2,3,则
1 0.6P , 2 0.4 0.6 0.24P , 23 0.4 0.16P ,
则 的期望 1 0.6 2 0.24 3 0.16 1.56E .
(2)(i)因为从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人,所以第 1 次触球者是甲的概
率 1 1P ,显然第 2 次触球者是甲的概率 2 0P ,第 2 次传球有两种可能,所以第 3 次触球者
是甲的概率概 3
1
2P ,
(ii)∵第 n 次触球者是甲的概率为 nP ,
所以当 2n 时,第 1n 次触球者是甲的概率为 1nP ,第 1n 次触球者不是甲的概率为
- 18 -
11 nP ,
则 1 1 1
1 10 1 12 2n n n nP P P P .
从而 1
1 1 1
3 2 3n nP P
,又 1
1 2
3 3P ,
∴ 1
3nP
是以 2
3
为首项,公比为 1
2
的等比数列.
【点睛】本题考查了样本估计总体,离散型随机变量的期望,考查了递推关系以及等比数列
的概念;考查分析问题、解决问题的能力,建模能力,处理数据能力.属于中档题.
20.在平面直角坐标系 xOy 中,P 为直线 0l : 4x 上的动点,动点 Q 满足 0PQ l ,且原点
O 在以 PQ 为直径的圆上.记动点 Q 的轨迹为曲线 C
(1)求曲线 C 的方程:
(2)过点 2,0E 的直线 1l 与曲线 C 交于 A,B 两点,点 D(异于 A,B)在 C 上,直线 AD ,
BD 分别与 x 轴交于点 M,N,且 3AD AM ,求 BMN△ 面积的最小值.
【答案】(1) 2 4y x (2)8 2
【解析】
【分析】
(1)设动点 ,Q x y ,表示出 ,OP OQ
,再由原点 O 在以 PQ 为直径的圆上,转化为
0OP OQ ,得到曲线 C 的方程.
(2)设而不解,利用方程思想、韦达定理构建 BMN△ 面积的函数关系式,再求最小值.
【详解】解:(1)由题意,不妨设 ,Q x y ,则 4,P y , 4,OP y , ,OQ x y
∵O 在以 PQ 为直径的圆上,∴ 0OP OQ ,∴ 24, , 4 0y x y x y ,
∴ 2 4y x ,∴曲线 C 的方程为 2 4y x .
(2)设 1 1,A x y , 2 2,B x y , 3 3,D x y , ,0M m , ,0N n ,
依题意,可设 1l : x ty a (其中 2a ),由方程组 2 4
x ty a
y x
消去 x 并整理,得
- 19 -
2 4 4 0y ty a ,则 1 2 4y y t , 1 2 4 8y y a ,
同理可设 1:AM x t y m , 2:BN x t y n ,
可得 1 3 4y y m , 2 3 4y y n ,
∴ 1 3
4
y ym , 2 3
4
y yn ,
又∵ 3AD AM ,∴ 3 1 3 1 1 1, 3 ,x x y y m x y ,
∴ 3 1 13y y y ,∴ 3 12y y ,
∴ 1 3 2 3 1 2 3
1 1
4 4MN m n y y y y y y y
1 2 1 1 1 2
1 124 2y y y y y y ,
∴ 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 4 8 22 4BMNS MN y y y y y y y y y t △ ,
∴当 0t 时, BMN△ 面积取得最小值,其最小值为8 2 .
【点睛】本题以直线与抛物线为载体,其几何关系的向量表达为背景,利用方程思想、韦达
定理构建目标函数,利用坐标法解决几何问题贯穿始终,主要考查直线与抛物线的位置关系
最值问题,考查学生的逻辑推理,数学运算等数学核心素养及思辨能力.
21.已知函数 1 cos 0axf x e x a .(其中常数 2.71828e ,是自然对数的底数)
(1)若 3a ,求 f x 在 0, 2
上的极大值点;
(2)(i )证明 f x 在
2
0,
1
a
a
上单调递增;
(ii )求关于 x 的方程
1
af x e 在 0, 2
上的实数解的个数.
【答案】(1)
3
;(2)(i )证明见解析,(ii )当 0 1a 时,方程
1
af x e 在 0, 2
上的
实数解的个数为1,当 1a 时,方程
1
af x e 在 0, 2
上的实数解的个数为 2 .
【解析】
- 20 -
【分析】
(1)首先求出函数的导数,利用导数得到函数的单调区间,再根据单调区间即可得到函数的
极大值点.
(2)(i )首先根据 f x 的单调性只需证明 021
a x
a
,将问题转化为证明 0 0sin x x ,
构造函数 ( ) sing x x x ,再结合 ( )g x 的单调性即可证明.(ii)首先证明 1xe x ,再证明
函数 f x 的最大值
1
0
af x e
,设
1
1cos ax aG x x e e
,分别求出 0 , 2x x
和
00,x x 的零点个数,从而得到方程解得个数.
【详解】(1) 1 1 1cos sin cos ( tan )ax ax axf x ae x e x x e a x .
当 3a 时, 3 1cos ( 3 tan )xf x x e x .
x 0, 3
3
,3 2
f x 0
f x 增函数 极大值 减函数
所以函数 f x 的极大值点为
3
.
(2)(i )因为 0a ,所以在 0, 2
上必存在唯一的实数 0x ,使得 0tan x a .
所以 00,x x , 0f x , f x 为增函数,
0, 2x x
, 0f x , f x 为减函数.
要证明 f x 在
2
0,
1
a
a
上单调递增,只需证明 021
a x
a
即可.
- 21 -
又因为 0tan x a ,所以
0
0 0
02
0 0
0
2 2
2
sin
cos sin
1 1 sin1 cos
tan
tan
x
x x x
x xa
x
a
,
即证 0 0sin x x 即可.
设 ( ) sing x x x , ( ) cos 1 0g x x ,所以 ( )g x 在 0, 2
为减函数.
当 0, 2x
时, 0( ) (0) 0g x g , 0 0sin 0x x ,即 0 0sin x x ,
即证 021
a x
a
,
所以 f x 在
2
0,
1
a
a
上单调递增.
(ii )先证明 0x 时, 1xe x .
设 1xh x e x , 0x , 1xh x e ,
因为 0x ,所以 0h x , h x 在 0, 为增函数.
所以 0 0h x h ,即 1xe x .
再证明函数 f x 的最大值
1
0
af x e
.
因为 0tan x a ,所以 0 2
1cos
1
x
a
, 0 2
sin
1
ax
a
.
因为 1xe x ,所以 0 1
0 0sinaxe ax a x .
所以 0
2
1
0 0 0 0 2cos sin cos 1
ax af x e x a x x a
.
下面证
12
21
aa ea
,令 1t a
,则 0t ,
即证 2
1
1
tet
, 0t , 21 1 0tt e , 0t .
设 21 1tF t t e , 21 0tF t t e ,
- 22 -
所以函数 F t 为增函数.
当 0t 时, 0 0F t F ,即 21 1 0tt e .
即证:
1
0
af x e
.
设
1
1cos ax aG x x e e
, 0, 2x
,
当 0 , 2x x
时, 0 0G x ,
1
02
aG e
,
且 G x 在 0 , 2x
为减函数,所以 G x 在 0 , 2x
上有唯一零点.
当 00,x x 时,
110 aG ee
, 0 0G x ,且 G x 在 00, x 为增函数.
①当 0 1a 时,
11 aee
,即 0 0G ,所以 G x 在 00, x 上没有零点.
②当 1a 时,
11 aee
,即 0 0G ,所以 G x 在 00, x 上有唯一零点.
综上所述:当 0 1a 时,方程
1
af x e 在 0, 2
上的实数解的个数为1,
当 1a 时,方程
1
af x e 在 0, 2
上的实数解的个数为 2 .
【点睛】本题主要考查函数的单调区间、极值和最值,同时考查了利用导数研究函数的零点
问题,考查了学生的计算能力,属于难题.
(二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.
如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
选修 4-4;坐标系与参数方程
22.椭圆规是用来画椭圆的一种器械,它的构造如图所示,在一个十字形的金属板上有两条互
相垂直的导槽,在直尺上有两个固定的滑块 A,B,它们可分别在纵槽和横槽中滑动,在直尺
上的点 M 处用套管装上铅笔,使直尺转动一周,则点 M 的轨迹 C 是一个椭圆,其中|MA|=2,
|MB|=1,如图,以两条导槽的交点为原点 O,横槽所在直线为 x 轴,建立直角坐标系.
[Failed to download image :
- 23 -
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85821042900992/STEM/485c1ef7430a498d8d74241ceff3d0d5.png]
(1)将以射线 Bx 为始边,射线 BM 为终边的角 xBM 记为φ(0≤φ<2π),用 表示点 M 的
坐标,并求出 C 的普通方程;
(2)已知过 C 的左焦点 F,且倾斜角为α(0≤α
2
< )的直线 l1 与 C 交于 D,E 两点,过点
F 且垂直于 l1 的直线 l2 与 C 交于 G,H 两点.当 1
FE ,|GH|, 1
FD 依次成等差数列时,求直线
l2 的普通方程.
【答案】(1) 2 ,M cos sin ,
2
2 14
x y ;(2) 2 3 0x y
【解析】
【分析】
(1)用三角函数表示出点 M 的坐标,直接利用转换关系把极坐标方程转换为直角坐标方程;
(2)设出直线 l1 的参数方程,与椭圆方程联立利用直线参数的几何意义求出 1 1
EF FD
、
GH ,根据题意有 1 1 2 GHEF FD
,列出方程求出直线 l1 的斜率即可求得直线 l2 的方
程.
【详解】(1)设 M(x,y)依题意得:x=2cosφ,y=sinφ,
所以 M(2cosφ,sinφ),
由于 cos2φ+sin2φ=1,整理得
2
2 14
x y .
(2)由于直线 l1 的倾斜角为α( 0 2
),且 l1⊥l2,
所以直线 l2 的倾斜角为
2
,依题意易知:F( 3 0, ),
可设直线 l1 的方程为 3 cos
sin
x t
y t
(t 为参数),
代入
2
2 14
x y 得到: 2 2(1 3sin ) 2 3 cos 1 0t t ,
- 24 -
易知 2 212cos 4 1 3sin 0 ,
设点 D 和点 E 对应的参数为 t1 和 t2,
所以 1 2 2
2 3cos
1 3sint t
, 1 2 2
1
1 3sint t
.
则 2
1 2 1 2 1 2 2
4( ) 4 1 3sint t t t t t
,
由参数的几何意义: 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1 4t t
EF FD t t t t
,
设 G、H 对应的参数为 t3 和 t4,同理对于直线 l2,将α换为
2
,
所以
2
3 4 3 4 3 4 2
2
4 4( ) 4 1 3cos1 3 2sin
GH t t t t t t
,
由于 1
FE ,|GH|, 1
FD 依次成等差数列,
所以 1 1 2 GHEF FD
,则 2
4 21 3cos
,解得 2 1cos 3
,
所以 2
2
1tan 1 2cos
,又 0 2
,所以 tan 2 ,
所以直线 l2 的斜率为 2
2
,直线 l2 的直角坐标方程为 x 2 3 0y .
【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的转换、直线参数方程中参数的几何意义、
韦达定理的应用、等差数列的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,
属于较难题.
选修 4-5:不等式选讲
23.已知 a,b,c 为正实数,且满足 a+b+c=1.证明:
(1)|a 1
2
|+|b+c﹣1| 1
2
;
(2)(a3+b3+c3)( 2 2 2
1 1 1
a b c
)≥3.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
【分析】
- 25 -
(1)根据 a,b,c 为正实数,且满足 a+b+c=1,得到 b+c﹣1=﹣a<0,则|a 1
2
|+|b+c﹣1|
=|a 1
2
|+|﹣a|,再利用绝对值三角不等式求解.
(2)利用(a3+b3+c3)≥3abc,得到(a3+b3+c3)( 2 2 2
1 1 1
a b c
)≥3abc( 2 2 2
1 1 1
a b c
),
进而变形为 3
2
c b c a a ba b cb c a c b a
,再利用基本不等式求解.
【详解】(1)∵a,b,c 为正实数,且满足 a+b+c=1,
∴b+c﹣1=﹣a<0,
∴|a 1
2
|+|b+c﹣1|=|a 1
2
|+|﹣a|≥|(a 1
2
)+(﹣a)| 1
2
.
当且仅当(a 1
2
)(﹣a)≥0,即 0 1
2a 时,等号成立.
∴|a 1
2
|+|b+c﹣1| 1
2
;
(2)(a3+b3+c3)( 2 2 2
1 1 1
a b c
)≥3abc 2 2 2
1 1 1( )a b c
,
3 3 3 3 2 2 2
2
bc ac ab bc ac ab
a b c a b c
,
3
2
c b c a a ba b cb c a c b a
,
3 2 2 22
c b c a a ba b cb c a c b a
,
=3(a+b+c)=3.
当且仅当 a=b=c 1
3
时等号成立.
∴(a3+b3+c3)( 2 2 2
1 1 1
a b c
)≥3.
【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式,基本不等式的应用,还考查了运算求解的能力,
属于中档题.
- 26 -
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