高中数学人教a版必修四课时训练：1.1.2 弧度制 4页

1.1.2 弧度制 课时目标 1.理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行 正确的变换.2.掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式． 1．角的单位制 (1)角度制：规定周角的________为 1 度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． (2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，记作________． (3)角的弧度数求法：如果半径为 r 的圆的圆心角α所对的弧长为 l，那么 l，α，r 之间存在的 关系是：____________；这里α的正负由角α的________________决定．正角的弧度数是一个 ________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________． 2．角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝________ rad 2π rad＝________ 180°＝______ rad π rad＝________ 1°＝______rad≈ 0.017 45 rad 1 rad＝______≈57°18′ 3.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为 R，弧长为 l，α (0<α<2π)为其圆心角，则 度量单位 类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l＝________ l＝______ 扇形的面积 S＝________ S＝______＝______ 一、选择题 1．集合 A＝ α|α＝kπ＋π 2 ，k∈Z 与集合 B＝ α|α＝2kπ±π 2 ，k∈Z 的关系是( ) A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．以上都不对 2．已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A．2 B．sin 2 C. 2 sin 1 D．2sin 1 3．扇形周长为 6 cm，面积为 2 cm2，则其中心角的弧度数是( ) A．1 或 4 B．1 或 2 C．2 或 4 D．1 或 5 4．已知集合 A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则 A∩B 等于( ) A．∅ B．{α|－4≤α≤π} C．{α|0≤α≤π} D．{α|－4≤α≤－π，或 0≤α≤π} 5．把－11 4 π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A.π 4 B．－π 4 C.3 4π D．－3 4π 6．扇形圆心角为π 3 ，半径长为 a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A．1∶3 B．2∶3 C．4∶3 D．4∶9 二、填空题 7．将－1 485°化为 2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式是________． 8．若扇形圆心角为 216°，弧长为 30π，则扇形半径为____． 9．若 2π<α<4π，且α与－7π 6 角的终边垂直，则α＝______. 10．若角α的终边与角π 6 的终边关于直线 y＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________. 三、解答题 11．把下列各角化成 2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°；(2)23 6 π；(3)－4. 12．已知一扇形的周长为 40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？ 最大面积是多少？ 能力提升 13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为 ________． 14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是 R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积； (2)若扇形的周长是一定值 c (c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应的关系：每一 个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的 一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应． 2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π”这一关系式．易知：度数 × π 180 ＝弧度数，弧度数× 180 π ＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位 取弧度． 1.1.2 弧度制 答案 知识梳理 1．(1) 1 360 (2)半径长 1 rad (3)|α|＝l r 终边的旋转方向 正数 负数 0 2．2π 360° π 180° π 180 180 π ° 3.απR 180 αR απR2 360 1 2αR2 1 2lR 作业设计 1．A 2．C [r＝ 1 sin 1 ，∴l＝|α|r＝ 2 sin 1.] 3．A [设扇形半径为 r，圆心角为α， 则 2r＋αr＝6 1 2αr2＝2 ， 解得 r＝1 α＝4 或 r＝2 α＝1 .] 4．C [集合 A 限制了角α终边只能落在 x 轴上方或 x 轴上．] 5．D [∵－11 4 π＝－2π＋ －3 4π ，∴θ＝－3 4π.] 6．B [设扇形内切圆半径为 r， 则 r＋ r sin π 6 ＝r＋2r＝a.∴a＝3r，∴S 内切＝πr2. S 扇形＝1 2αr2＝1 2 ×π 3 ×a2＝1 2 ×π 3 ×9r2＝3 2πr2. ∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.] 7．－10π＋7 4π 解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°， ∴－1 485°可以表示为－10π＋7 4π. 8．25 解析 216°＝216× π 180 ＝6π 5 ，l＝α·r＝6π 5 r＝30π，∴r＝25. 9.7 3π或10 3 π 解析 －7 6π＋7 2π＝14 6 π＝7 3π，－7 6π＋9 2π＝20 6 π＝10 3 π. 10．－11π 3 ，－5π 3 ，π 3 ，7π 3 解析 由题意，角α与π 3 终边相同，则π 3 ＋2π＝7 3π， π 3 －2π＝－5 3π，π 3 －4π＝－11 3 π. 11．解 (1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π 3 ， ∴－1 500°与5 3π终边相同，是第四象限角． (2)23 6 π＝2π＋11 6 π，∴23 6 π与11 6 π终边相同，是第四象限角． (3)－4＝－2π＋(2π－4)， ∴－4 与 2π－4 终边相同，是第二象限角． 12．解 设扇形的圆心角为θ，半径为 r，弧长为 l，面积为 S， 则 l＋2r＝40，∴l＝40－2r. ∴S＝1 2lr＝1 2 ×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100. ∴当半径 r＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为 100 cm2， 此时θ＝l r ＝40－2×10 10 ＝2 rad. 13．4 2 解析 设圆半径为 r，则内接正方形的边长为 2r，圆弧长为 4 2r. ∴圆弧所对圆心角|θ|＝4 2r r ＝4 2. 14．解 (1)设弧长为 l，弓形面积为 S 弓， ∵α＝60°＝π 3 ，R＝10，∴l＝αR＝10π 3 (cm)． S 弓＝S 扇－S△＝1 2 ×10π 3 ×10－1 2 ×102×sin 60°＝50 π 3 － 3 2 (cm2)． (2)扇形周长 c＝2R＋l＝2R＋αR，∴α＝c－2R R ， ∴S 扇＝1 2αR2＝1 2·c－2R R ·R2＝1 2(c－2R)R＝－R2＋1 2cR＝－(R－c 4)2＋c2 16. 当且仅当 R＝c 4 ，即α＝2 时，扇形面积最大，且最大面积是c2 16.