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- 2021-06-16 发布
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学业分层测评
(建议用时:45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.椭圆 25x2+9y2=225 的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A.5,3,4
5 B.10,6,4
5
C.5,3,3
5 D.10,6,3
5
【解析】 椭圆方程可化为x2
9
+y2
25
=1.
∴a=5,b=3,c=4,
∴长轴长 2a=10,短轴长 2b=6,
离心率 e=c
a
=4
5.故选 B.
【答案】 B
2.若焦点在 x 轴上的椭圆x2
2
+y2
m
=1 的离心率为1
2
,则 m 等于( )
A. 3 B.3
2
C.8
3 D.2
3
【解析】 ∵椭圆焦点在 x 轴上,
∴0<m<2,a= 2,c= 2-m,
e=c
a
= 2-m
2
=1
2.
故2-m
2
=1
4
,∴m=3
2.
【答案】 B
3.中心在原点,焦点在 x 轴,若长轴长为 18,且两个焦点恰好
将长轴三等分,则此椭圆的方程是( )
A.x2
81
+y2
72
=1 B.x2
81
+y2
9
=1
C.x2
81
+y2
45
=1 D.x2
81
+y2
36
=1
【解析】 因为 2a=18,2c=1
3
×2a=6,所以 a=9,c=3,b2=
81-9=72.故所求方程为x2
81
+y2
72
=1.
【答案】 A
4.已知椭圆x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)的两顶点为 A(a,0),B(0,b),且左
焦点为 F,△FAB 是以角 B 为直角的直角三角形,则椭圆的离心率 e
为( )
A. 3-1
2 B. 5-1
2
C.1+ 5
4 D. 3+1
4
【解析】 由题意得 a2+b2+a2=(a+c)2,即 c2+ac-a2=0,即
e2+e-1=0,解得 e=-1± 5
2
,又 e>0,故所求的椭圆的离心率为
5-1
2 .故选 B.
【答案】 B
5.设 e 是椭圆x2
4
+y2
k
=1 的离心率,且 e∈
1
2
,1 ,则实数 k 的取
值范围是( )
A.(0,3) B. 3,16
3
C.(0,3)∪
16
3
,+∞
D.(0,2)
【解析】 当焦点在 x 轴上时,e2=c2
a2=4-k
4
∈
1
4
,1 ,
解得 0<k<3.
当焦点在 y 轴上时,
e2=c2
a2=k-4
k
∈
1
4
,1 ,
解得 k>16
3 .综上可知选 C.
【答案】 C
二、填空题
6.已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为1
3
,长轴长为 12,则
椭圆方程为________. 【导学号:26160036】
【解析】 由题意得
c
a
=1
3
,
2a=12,
a2=b2+c2,
解得
a=6,
b=4 2,
c=2,
∴椭圆方程为x2
36
+y2
32
=1 或y2
36
+x2
32
=1.
【答案】 x2
36
+y2
32
=1 或y2
36
+x2
32
=1
7.若椭圆 x2
k+8
+y2
9
=1 的离心率为2
3
,则 k 的值为________.
【解析】 若焦点在 x 轴上,则 9
k+8
=1-
2
3 2=5
9
,k=41
5
;若焦
点在 y 轴上,则k+8
9
=5
9
,∴k=-3.
【答案】 41
5
或-3
8.(2016·台州高二检测)若椭圆的两焦点为 F1(-4,0),F2(4,0),
点 P 在椭圆上,且△PF1F2 的最大面积是 12,则椭圆的短半轴长为
________.
【解析】 设 P 点到 x 轴的距离为 h,则
S△PF1F2=1
2|F1F2|h,
当 P 点在 y 轴上时,h 最大,此时 S△PF1F2 最大,
∵|F1F2|=2c=8,∴h=3,即 b=3.
【答案】 3
三、解答题
9.椭圆y2
a2+x2
b2=1(a>b>0)的两焦点 F1(0,-c),F2(0,c)(c>0),
离心率 e= 3
2
,焦点到椭圆上点的最短距离为 2- 3,求椭圆的方程.
【解】 因为椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短,∴a-c
=2- 3.又 e=c
a
= 3
2
,
∴a=2,c= 3,b2=1,
∴椭圆的方程为y2
4
+x2=1.
10.如图 2-1-3 所示,F1,F2 分别为椭圆的左,右焦点,M 为
椭圆上一点,且 MF2⊥F1F2,∠MF1F2=30°.试求椭圆的离心率.
图 2-1-3
【解】 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为 a,b,c.因为
MF2⊥F1F2,所以△MF1F2 为直角三角形.
又∠MF1F2=30°,
所以|MF1|=2|MF2|,|F1F2|= 3
2 |MF1|.
而由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a,
因此|MF1|=4a
3
,|MF2|=2a
3
,
所以 2c= 3
2
×4a
3
,即c
a
= 3
3
,
即椭圆的离心率是 3
3 .
[能力提升]
1.(2016·长沙一模)已知 P 是椭圆上一定点,F1,F2 是椭圆的两
个焦点,若∠PF1F2=60°,|PF2|= 3|PF1|,则椭圆的离心率为( )
A. 3-1
2 B. 3-1
C.2- 3 D.1- 3
2
【解析】 由题意可得△PF1F2 是直角三角形,|F1F2|=2c,|PF1|
=c,|PF2|= 3c.点 P 在椭圆上,由椭圆的定义可得 e=c
a
=2c
2a
=
|F1F2|
|PF1|+|PF2|
= 2c
c+ 3c
= 3-1.
【答案】 B
2.若点 O 和点 F 分别为椭圆x2
4
+y2
3
=1 的中心和左焦点,点 P
为椭圆上的任意一点,则OP→ ·FP→的最大值为( )
A.2 B.3 C.6 D.8
【解析】 由题意得 F(-1,0),
设点 P(x0,y0),
则 y20=3 1-x20
4 (-2≤x0≤2),
OP→ ·FP→=x0(x0+1)+y20=x20+x0+y20=x20+x0+3 1-x20
4 =1
4(x0+2)2
+2,
当 x0=2 时,OP→ ·FP→取得最大值为 6.
故选 C.
【答案】 C
3.椭圆的焦点在 y 轴上,一个焦点到长轴的两端点的距离之比
是 1∶4,短轴长为 8,则椭圆的标准方程是________.
【导学号:26160037】
【解析】 由题意得a-c
a+c
=1
4
,解得 c=3
5a.又短轴长为 2b,则 2b
=8,即 b=4,故 b2=a2-c2=a2-
3
5a 2=16,则 a2=25.故椭圆的标
准方程为y2
25
+x2
16
=1.
【答案】 y2
25
+x2
16
=1
4.(2014·安徽高考)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)
的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A,B 两点,|AF1|=3|BF1|.
(1)若|AB|=4,△ABF2 的周长为 16,求|AF2|;
(2)若 cos∠AF2B=3
5
,求椭圆 E 的离心率.
【解】 (1)由|AF1|=3|BF1|,|AB|=4,得|AF1|=3,|BF1|=1.
因为△ABF2 的周长为 16,所以由椭圆定义可得 4a=16,|AF1|+
|AF2|=2a=8.
故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.
(2)设|BF1|=k,则 k>0,且|AF1|=3k,|AB|=4k.
由椭圆定义可得
|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.
在△ABF2 中,由余弦定理可得
|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B,
即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-6
5(2a-3k)·(2a-k),化简可得(a+
k)(a-3k)=0,
而 a+k>0,故 a=3k,
于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.
因此|BF2|2=|AF2|2+|AB|2,可得 F1A⊥F2A,
故△AF1F2 为等腰直角三角形.
从而 c= 2
2 a,所以椭圆 E 的离心率 e=c
a
= 2
2 .
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