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- 2021-06-16 发布
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模块综合检测(一)
(时间:120 分钟,满分:150 分)
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的)
1.-1 120°角所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:选 D -1 120°=-360°×4+320°,-1 120°角所在象限与 320°角所在象限相同.又
320°角为第四象限角,故选 D.
2.(江西高考)若 sinα
2
= 3
3
,则 cos α=( )
A.-2
3 B.-1
3
C.1
3 D.2
3
解析:选 C 因为 sinα
2
= 3
3
,所以 cos α=1-2sin2 α
2
=1-2×
3
3 2=1
3.
3.(陕西高考)已知向量 a=(1,m),b=(m,2), 若 a∥b, 则实数 m 等于( )
A.- 2 B. 2
C.- 2或 2 D.0
解析:选 C a∥b 的充要条件的坐标表示为 1×2-m2=0,∴m=± 2,选 C.
4. 1-sin 20°=( )
A.cos 10°
B.sin 10°-cos 10°
C. 2sin 35°
D.±(sin 10°-cos 10°)
解析:选 C ∵1-sin 20°=1-cos 70°=2sin235°,
∴ 1-sin 20°= 2sin 35°.
5.已知 a=(1,2),b=(x,4),且 a·b=10,则|a-b|=( )
A.-10 B.10
C.- 5 D. 5
解析:选 D 因为 a· b=10,所以 x+8=10,x=2,所以 a-b=(-1,-2),故|a-b|= 5.
6.(2013·浙江高考)函数 f(x)=sin xcos x+ 3
2 ·cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( )
A.π,1 B.π,2
C.2π,1 D.2π,2
解析:选 A 由 f(x)=sin xcos x+ 3
2 cos 2x=1
2sin 2x+ 3
2 ·cos 2x=sin 2x+π
3 ,得最小正
周期为π,振幅为 1,故选 A.
7.已知α满足 sin α=1
2
,那么 sin
π
4
+α ·sin
π
4
-α 的值为( )
A.1
4 B.-1
4
C.1
2 D.-1
2
解析:选 A 依题意得,sin
π
4
+α sin
π
4
-α =sinπ
4
+α·cos
π
4
+α =1
2sin
π
2
+2α =1
2cos 2α
=1
2(1-2sin2α)=1
4.
8.如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点
4π
3
,0 中心对称,那么|φ|的最小值为( )
A.π
6 B.π
4
C.π
3 D.π
2
解析:选 A 由题意得 3cos 2×4π
3
+φ =3cos
2π
3
+φ+2π =3cos
2π
3
+φ =0,∴2π
3
+φ
=kπ+π
2
,k∈Z,
∴φ=kπ-π
6
,k∈Z.取 k=0,得|φ|的最小值为π
6.
9.已知向量 a= sin α+π
6 ,1 ,b=(4,4cos α- 3),若 a⊥b,则 sin α+4π
3 =( )
A.- 3
4 B.-1
4
C. 3
4 D.1
4
解析:选 B a·b=4sin α+π
6 +4cos α- 3=
2 3sin α+6cos α- 3=4 3sin α+π
3 - 3=0,
∴sin α+π
3 =1
4.
∴sin α+4π
3 =-sin α+π
3 =-1
4
,故选 B.
10.函数 f(x)= 3cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,则θ为( )
A.kπ,(k∈Z)
B.kπ+π
6
,(k∈Z)
C.kπ+π
3
,(k∈Z)
D.-kπ-π
3
,(k∈Z)
解析:选 D f(x)= 3cos(3x-θ)-sin(3x-θ)=2cos 3x-θ+π
6 .由函数为奇函数得-θ+π
6
=kπ+π
2(k∈Z),解得θ=-kπ-π
3(k∈Z),故选 D.
11.如图,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是( )
A. 1 2P P
· 1 3P P
B. 1 2P P
· 1 4P P
C. 1 2P P
· 1 5P P
D. 1 2P P
· 1 6P P
解析:选 A 由于 1 2P P
⊥ 1 5P P
,故其数量积是 0,可排除 C; 1 2P P
与 1 6P P
的夹角是2π
3
,
故其数量积小于零,可排除 D;设正六边形的边长是 a,则 1 2P P
· 1 3P P
=| 1 2P P
|·| 1 3P P
|·cos 30°
=3
2a2, 1 2P P
· 1 4P P
=| 1 2P P
|·| 1 4P P
|·cos 60°=a2.
12.已知函数 f(x)=2asin2x-2 3asin xcos x+a+b(a<0)的定义域是 0,π
2 ,值域为[-
5,1],则 a、b 的值分别为( )
A.a=2,b=-5
B.a=-2,b=2
C.a=-2,b=1
D.a=1,b=-2
解析:选 C f(x)=-a(cos 2x+ 3sin 2x)+2a+b=-2asin 2x+π
6 +2a+b.
又∵x∈ 0,π
2 ,
∴2x+π
6
∈
π
6
,7π
6 ,
∴-1
2
≤sin 2x+π
6 ≤1.
∵-5≤f(x)≤1,a<0,
∴ 3a+b=-5,
-2a+2a+b=1,
∴ a=-2,
b=1.
二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.cos
-17π
3 =________.
解析:cos
-17π
3 =cos
-6π+π
3 =cosπ
3
=1
2.
答案:1
2
14.(四川高考)如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O, AB
+ AD
=λ AO
,则λ=________.
解析: AB
+ AD
= AC
=2 AO
,故λ=2.
答案:2
15.(重庆高考)在 OA 为边,OB 为对角线的矩形中,OA
=(-3,1),OB
=(-2,k),则
实数 k=________.
解析:因为 AB
= OB
- OA
=(1,k-1),且 OA
⊥ AB
,所以OA
· AB
=0,即-3×1
+1×(k-1)=0,解得 k=4.
答案:4
16.函数 y=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<π
2 的图象如图所示,则 y 的表达式为________.
解析:由图象,知 A=2,由T
2
=2π
3
-π
6
,求出周期 T=π,ω=2,然后可求得φ=π
6.
答案:y=2sin 2x+π
6
三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分 10 分)已知向量 a,b 满足|a|=|b|=2,a 与 b 的夹角为 120°.求:
(1)|a+b|及|a-b|;
(2)向量 a+b 与 a-b 的夹角.
解:(1)a·b=|a||b|cos θ=2×2×cos 120°=-2,所以|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=22+
22+2×(-2)=4,所以|a+b|=2,同理可求得|a-b|=2 3.
(2)因为(a+b)·(a-b)=a2-b2=22-22=0,
所以(a+b)⊥(a-b),所以 a+b 与 a-b 的夹角为 90°.
18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=asin(2ωx+π
6)+a
2
+b(x∈R,a>0,ω>0)的最小正周
期为π,函数 f(x)的最大值是7
4
,最小值是3
4.
(1)求ω、a、b 的值;
(2)指出 f(x)的单调递增区间.
解:(1)由函数最小正周期为π,得2π
2ω
=π,∴ω=1,
又 f(x)的最大值是7
4
,最小值是3
4
,
则
a+a
2
+b=7
4
,
-a+a
2
+b=3
4
,
解得
a=1
2
,
b=1.
(2)由(1)知,f(x)=1
2sin(2x+π
6)+5
4
,
当 2kπ-π
2
≤2x+π
6
≤2kπ+π
2(k∈Z),
即 kπ-π
3
≤x≤kπ+π
6(k∈Z)时,f(x)单调递增,
∴f(x)的单调递增区间为[kπ-π
3
,kπ+π
6](k∈Z).
19.(本小题满分 12 分)(福建高考)已知函数 f(x)=2cos x(sin x+cos x).
(1)求 f
5π
4 的值;
(2)求函数 f(x) 的最小正周期及单调递增区间.
解:法一:(1)f
5π
4 =2cos5π
4
sin5π
4
+cos5π
4
=-2cosπ
4
-sinπ
4
-cosπ
4
=2.
(2)因为 f(x)=2sin xcos x+2cos2x
=sin 2x+cos 2x+1
= 2sin 2x+π
4 +1,
所以 T=2π
2
=π.
由 2kπ-π
2
≤2x+π
4
≤2kπ+π
2
,k∈Z,得 kπ-3π
8
≤x≤kπ+π
8
,k∈Z.
所以 f(x)的单调递增区间为 kπ-3π
8
,kπ+π
8 ,k∈Z.
法二:f(x)=2sin xcos x+2cos2x
=sin 2x+cos 2x+1
= 2sin 2x+π
4 +1.
(1)f
5π
4 = 2sin11π
4
+1
= 2sinπ
4
+1
=2.
(2)T=2π
2
=π.由 2kπ-π
2
≤2x+π
4
≤2kπ+π
2
,k∈Z,
得 kπ-3π
8
≤x≤kπ+π
8
,k∈Z.
所以 f(x)的单调递增区间为 kπ-3π
8
,kπ+π
8 ,k∈Z.
20.(本小题满分 12 分)已知向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k 的值;
(2)设 d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求 d.
解:(1)∵(a+kc)∥(2b-a),
且 a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,
∴k=-16
13.
(2) ∵ d - c = (x - 4 , y - 1) , a + b = (2,4) , (d - c) ∥ (a + b) 且 |d - c| = 1 , ∴
4x-4-2y-1=0,
x-42+y-12=1,
解得
x=4+ 5
5
,
y=1+2 5
5
或
x=4- 5
5
,
y=1-2 5
5 .
∴d=20+ 5
5
,5+2 5
5
或 d=20- 5
5
,5-2 5
5
.
21.(本小题满分 12 分)如图所示,是一个半径为 10 个长度单位的水轮,水轮的圆心离水
面 5 2 个长度单位.已知水轮每分钟转 4 圈,水轮上的点 P 到水面距离 d 与时间 t 满足的函
数关系是正弦曲线,其表达式为d-k
b
=sin(t-h
a ).
(1)求正弦曲线的振幅和周期;
(2)如果从 P 点在水中浮现时开始计算时间,写出其有关 d 与 t 的关系式;
(3)在(2)的条件下,求 P 首次到达最高点所用的时间.
解:(1)A=r=10.T=60
4
=15(s).
(2)由d-k
b
=sint-h
a
,得 d=bsint-h
a
+k.
b=A=10,T=2π
1
a
=2πa=15,∴a=15
2π.
由于圆心离水面 5 2个长度单位,
∴k=5 2.
∴d=10sin2πt-h
15
+5 2.
将 t=0,d=0 代入上式,得 sin(2π
15h)= 2
2
,2π
15h=π
4
,
∴d=10sin(2π
15t-π
4)+5 2.
(3)P 到达最高点时 d=10+5 2.
∴sin(2π
15t-π
4)=1,得 2π
15t-π
4
=π
2
,t=45
8 (s).
即 P 首次到达最高点所用时间为45
8 s.
22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=sin(π-ωx)·cos ωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为
π.
(1)求ω的值;
(2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2
,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)
的图象,求函数 g(x)在区间 0, π
16 上的最小值.
解:(1)因为 f(x)=sin(π-ωx)cos ωx+cos2ωx,
所以 f(x)=sin ωxcos ωx+1+cos 2ωx
2
=1
2sin 2ωx+1
2cos 2ωx+1
2
= 2
2 sin 2ωx+π
4 +1
2.
由于ω>0,依题意得2π
2ω
=π,所以ω=1.
(2)由(1)知 f(x)= 2
2 sin 2x+π
4 +1
2
,
所以 g(x)=f(2x)= 2
2 sin 4x+π
4 +1
2.
当 0≤x≤ π
16
时,π
4
≤4x+π
4
≤π
2
,
所以 2
2
≤sin 4x+π
4 ≤1.
因此 1≤g(x)≤1+ 2
2 .
故 g(x)在区间 0, π
16 上的最小值为 1.
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