【数学】2020届一轮复习北师大版求体积（点到面的距离）（文）学案 5页

‎[2019·东莞调研]如图，四棱锥中，平面，为等腰直角三角形，且，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求四棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）1．‎ ‎【解析】（1）∵平面，平面，∴，‎ 又∵，，平面，平面，∴平面．‎ ‎∵平面，∴．‎ ‎（2）∵，，且，平面，平面，∴平面，①‎ ‎∵平面，平面，∴．‎ 又∵，，平面，平面，∴平面，②‎ 由①②得，∵，∴四边形是直角梯形，‎ ‎∵，，∴，‎ 又∵平面，∴．‎ ‎1．[2019·安庆期末]如图所示多面体中，四边形是一个等腰梯形，四边形是一个矩形，，，，，．‎ ‎（1）求证：面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎2．[2019·驻马店期末]在四棱锥中，底面是直角梯形，，， ，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若三棱锥的体积为，求的长．‎ ‎3．[2019·珠海期末]几何体中，四边形为直角梯形，，，面 面，，三棱锥的体积为．‎ ‎（1）求证：面；‎ ‎（2）求点到面的距离．‎ ‎1．【答案】（1）详见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）在等腰梯形中，由条件，，，‎ 可以得到，，从而有，即证，‎ 又条件知，而、面且相交，因此面，‎ 又∵面，∴．‎ 又∵为矩形知；而、面且相交，‎ ‎∴面．‎ ‎（2）过做交的延长线于点，‎ 由（1）知，∴面，‎ ‎∴即为等腰梯形的高，由条件可得，∴，‎ ‎∴三棱锥的体积，；而，‎ ‎∴，即三棱锥的体积为．‎ ‎2．【答案】（1）见证明；（2）．‎ ‎【解析】（1）取的中点，的中点，连接，，．‎ 由已知得，四边形是梯形，，．‎ ‎∴，∴，‎ 又∵，∴，且，∴平面，‎ ‎∴，由已知得，∴，‎ 又与相交，∴平面，∴，‎ 又∵，∴，∴平面且平面，‎ ‎∴平面平面，‎ ‎（2）设，则，，‎ 解得，‎ 又∵，且，‎ ‎∴, ，从而．‎ ‎3．【答案】（1）见证明；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，面面，面面，面，‎ ‎∴面，‎ 由，且得，得，‎ 且，得，即，‎ ‎∵面面，面面，面，∴面．‎ ‎（2）设点到面的距离为，‎ 由题意可知，，，∴，‎ ‎∴，∴，‎ 由（1）知面，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴等腰的面积，‎ ‎∴，解得，∴点到面的距离为．‎