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- 2021-06-17 发布
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小题强化练
小题强化练(一)
一、选择题
1.i为虚数单位,a∈R.若z=+i为实数,则实数a=( )
A.-1 B.-
C.1 D.2
2.已知集合U={x|x2≥2x},A={x|log2x≥2},则∁UA=( )
A.{x|x≤0或2≤x<4} B.{x|x≤-2或0≤x<4}
C.{x|x≤0或1≤x<2} D.{x|x≤-2或x>4}
3.已知数列{an}为等差数列,若a3+6=2a5,则3a6+a10=( )
A.18 B.24
C.30 D.32
4.如图,在△ABC中,AD⊥AB,=2,||=2,则·的值为( )
A.-4 B.-3
C.-2 D.-8
5.已知函数f(x)=x-sin x,则不等式f(1-x2)+f(3x+3)>0的解集是( )
A.(-∞,-4)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(4,+∞)
C.(-1,4) D.(-4,1)
6.函数y=-ln(x+1)的图象大致为( )
7.若将函数f(x)=sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得图象关于y轴对称,则当φ最小时,函数g(x)=cos-1图象的一个对称中心的坐标是( )
A. B.
C. D.
8.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1,1,1,1,,a,且长为a的棱与长为的棱所在直线是异面直线,则三棱锥的体积的最大值为( )
A. B.
C. D.
9.已知F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F向C的一条渐近线引垂线,垂足为A,交一条渐近线于点B,O为坐标原点.|OF|=|FB|,则C的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±2x
C.y=±x D.y=±x
10.已知函数f(x)=若存在实数x1,x2,x3,且x10可转化为f(1-x2)>-f(3x+3)=f(-3x-3),所以1-x2>-3x-3,即x2-3x-4<0,解得-10,排除C,D;
y′=--=-,当x>0时,y′<0,函数单调递减,排除B,选A.
7.解析:选D.将函数f(x)=sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,可得函数的解析式为h(x)=sin=sin.又函数h(x)的图象关于y轴对称,所以2φ+=kπ+(k∈Z),即φ=+(k∈Z).又φ>0,则当k=0时,φmin=,此时函数g(x)=cos-1=cos-1.由x+=kπ+(k∈Z),得x=2kπ+(k∈Z).当k=0时,x=,由选项知A,B,C中的点均不是函数g(x)图象的对称中心,故选D.
8.解析:选A.如图,在三棱锥ABCD中,设AD=a,BC=,AB=AC=BD=CD=1,则该三棱锥为满足题意的三棱锥.易知BD⊥CD,AB⊥AC.将△BCD看作底面,假设平面ABD⊥平面BCD,因为平面ABD∩平面BCD=BD,CD⊥BD,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AD.在△ACD中,已知AC=CD=1,所以CD⊥AD不成立,即平面ABD不垂直于平面BCD.同理可知平面ACD不垂直于平面BCD.则当平面ABC⊥平面BCD时,该三棱锥的体积有最大值,此时三棱锥的高h=.△BCD是等腰直角三角形,则S△BCD=×1×1=.所以此三棱锥的体积的最大值为××=,故选A.
9.解析:选A.如图,过点F向C的一条渐近线引垂线,垂足为D.双曲线的渐近线方程为y=±x,则点F(c,0)到渐近线的距离d==b,即|FA|=|FD|=b,则|OA|=|OD|=a.又|OF|=|FB|,则|AB|=b+c.△OFB为等腰三角形,则D为OB的中点,所以|OB|=2a.在Rt△OAB中,则|OB|2=|OA|2+|AB|2,即4a2=a2+(b+c)2,整理得c2-bc-2b2=0,解得c=2b.又c2=a2+b2,则4b2=a2+b2,即=,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,故选A.
10.解析:选B.作出函数f(x)=的图象,如图所示.由题设f(x1)=f(x2)=f(x3)=m,由图易知m∈(0,2],且x1∈(-2,0],x2∈,x3∈(1,e2].则由f(x1)=m,得x1+2=m,解得x1=m-2,所以x1f(x2)=(m-2)·m=(m-1)2-1,则当m=1时,x1f(x2)取得最小值-1,当m=2时,x1f(x2)取得最大值0,所以x1f(x2)的取值范围是[-1,0],故选B.
11.解析:选AD.根据题意得f(x)=,所以f==,所以f(x)=f;f(-x)==-=-f(x),所以f(-x)=-f(x).故AD正确,BC错误.
12.解析:选ACD.由三角函数的定义可知P(cos α,sin α),则以点P为切点的圆的切线方程为xcos α+ysin α=1,由已知有cos α≠0,令y=0,得x=,即函数f(α)=.
由cos α≠0,得α≠2kπ±,即函数f(α)的定义域为,故A错误;
函数f(α)的对称中心为,k∈Z,故B正确;
由复合函数的单调性可知,函数f(α)的增区间为,,k∈Z,故C错误;
由函数的周期T=可得f(α)的周期为2π,故D错误.
13.解析:选ABD.设A(x1,x),B(x2,x),则·=0,即x1x2·(1+x1x2)=0,所以x2=-.对于A,|OA|·|OB|==≥2,当且仅当x1=±1时取等号,正确;对于B,|OA|+|OB|≥2≥2,正确;对于C,直线AB的方程为y-x=(x-x1),不过点,错误;对于D,原点到直线AB:x-y+1=0的距离d=≤1,正确.
14.解析:因为f(ex)=,所以f(x)=(x>0),
所以f′(x)==,
所以f′(e)=0.
答案:0
15.解析:由已知得(cos α+sin α)=2(cos α-sin α)·(cos α+sin α),所以cos α+sin α=0或cos α-sin α=,
由cos α+sin α=0得tan α=-1,因为α∈,所以cos α+sin α=0不满足条件;
由cos α-sin α=,两边平方得1-sin 2α=,
所以sin 2α=.
答案:
16.解析:取AD的中点为E,连接EC,EB.因为DC⊥平面ABC,所以DC⊥AC,DC⊥AB,所以在Rt△ACD中,EA=ED=EC.因为AB⊥BC,且BC∩DC=C,所以AB⊥平面BCD,所以AB⊥DB,所以在Rt△ABD中,EA=ED=EB,所以球心O与AD的中点E重合,所以球O的半径为3,所以球O的表面积为4π×32=36π.
答案:36π
17.解析:由题意有a1=1-a1,故a1=.当n≥2时,由
两式相减得an=Sn-Sn-1=-an+an-1,则=,故数列{an}是以为首项,为公比的等比数列,可得数列{an}的通项公式为an=.由等比数列性质可得a1a3=a,a3a5=a,…,a2n-1a2n+1=a,所以数列{a2n-1a2n+1}是以a=为首项,为公比的等比数列,则Tn=a+a+…+a==.
答案: