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- 2021-06-16 发布
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专题 03 直击函数压轴题中零点问题
一、解答题
1.已知函数 2ln 1 0f x x a x a .
(1)讨论 f x 的单调性;
(2)若 f x 在区间 0,1 内有唯一的零点 0x ,证明:
3
12
0e x e
.
【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间即可;
(2)依题可知 1 0f ,若 f x 在区间 0,1 内有唯一的零点 0x ,由(1)可知 2a ,
且 0 1
10,
2
x x
,于是: 2
0 0 1 0lnx a x ①,
2
0 02 2 1 0ax ax ②
由①②得 0
0
0
1ln 0
2
xx
x
,设 g(x)=lnx−
1
2
x
x
,(x∈(0,1)),求出函数的导数,根据函数的单调性证明
即可.
(2)依题可知 1 0f ,若 f x 在区间 0,1 内有唯一的零点 0x ,由(1)可知 2a ,
且 0 1
10,
2
x x
.
于是: 2
0 0 1 0lnx a x ①
2
0 02 2 1 0ax ax ②
由①②得 0
0
0
1ln 0
2
xx
x
,设 1ln , 0,1
2
xg x x x
x
,
则 2
2 1
2
xg x
x
,因此 g x 在
10,
2
上单调递减,
又
3
3 2
2 4 0
2
eg e
,
1
1 3 0
2
eg e
根据零点存在定理,故
3
12
0e x e
.
点睛:本题考查了函数的单调性,零点问题,考查导数的应用以及不等式的证明,零点存在性定理,考查分
类讨论思想,转化思想,构造函数的解题方法.
2.设函数 f(x)=x2
+bx-1(b∈R).
(1)当 b=1 时证明:函数 f(x)在区间
1 ,1
2
内存在唯一零点;
(2)若当 x∈[1,2],不等式 f(x)<1 有解.求实数 b的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2) ,1
【解析】试题分析:(1)先根据对称轴与定义区间位置关系确定函数 f(x)在区间
1 ,1
2
单调性,再根据区
间端点函数值异号,结合零点存在定理确定零点个数(2)先分离变量化为对应函数最值问题:
2b x
x
,
再根据函数单调性确定函数最小值,即得实数 b 的取值范围.
(2)由题意可知 x2+bx-1<1 在区间[1,2]上有解,
所以 b< = -x在区间[1,2]上有解.
令 g(x)= -x,可得 g(x)在区间[1,2]上递减,
所以 b
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