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- 2021-06-17 发布
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5.3 复数的四则运算
一、基础达标
1.复数z1=2-i,z2=-2i,则z1+z2等于
( )
A.0 B.+i
C.-i D.-i
答案 C
解析 z1+z2=-i=-i.
2.若z+3-2i=4+i,则z等于
( )
A.1+i B.1+3i C.-1-i D.-1-3i
答案 B
解析 z=4+i-(3-2i)=1+3i.
3.若a,b∈R,i为虚数单位,且(a+i)i=b+i,则
( )
A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1
C.a=-1,b=-1 D.a=1,b=-1
答案 D
解析 ∵(a+i)i=-1+ai=b+i,∴.
4.在复平面内,复数+(1+i)2对应的点位于
( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案 B
解析 +(1+i)2=+i+(-2+2i)=
-+i,对应点在第二象限.
5.设复数i满足i(z+1)=-3+2i(i为虚数单位),则z的实部是________.
答案 1
3
解析 由i(z+1)=-3+2i得到z=-1=2+3i-1=1+3i.
6.复数的虚部是________.
答案 -
解析 原式===-i,∴虚部为-.
7.计算:+2 010.
解 +2 010=+1 005
=i(1+i)+1 005=-1+i+(-i)1 005
=-1+i-i=-1.
二、能力提升
8.(2013·新课标)设复数z满足(1-i)z=2i,则z=
( )
A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i
答案 A
解析 因为复数z满足z(1-i)=2i,所以z===-1+i.
9.若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位),则z为
( )
A.3+5i B.3-5i
C.-3+5i D.-3-5i
答案 A
解析 z====3+5i.
10.已知z是纯虚数,是实数,那么z等于________.
答案 -2i
解析 设z=bi(b∈R,b≠0),则===
=+i是实数,所以b+2=0,b=-2,所以z=-2i.
11.(2013·山东聊城期中)已知复数z=,若z2+az+b=1+i(a,b∈R),求a+b的值.
3
解 由z=,
得z===1-i,
又z2+az+b=1+i,∴(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,
∴(a+b)+(-2-a)i=1+i,∴a+b=1.
12.满足z+是实数,且z+3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在?若存在,求出虚数z,若不存在,请说明理由.
解 设虚数z=x+yi(x,y∈R,且y≠0).
z+=x+yi+
=x++(y-)i,
由已知得
∵y≠0,∴
解得或.
∴存在虚数z=-1-2i或z=-2-i满足以上条件.
三、探究与创新
13.已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b、c为实数).
(1)求b,c的值;
(2)试说明1-i也是方程的根吗?
解 (1)因为1+i是方程x2+bx+c=0的根,
∴(1+i)2+b(1+i)+c=0,
即(b+c)+(2+b)i=0.∴,得.
∴b、c的值为b=-2,c=2.
(2)方程为x2-2x+2=0.
把1-i代入方程左边得(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立,
∴1-i也是方程的一个根.
3
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