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  • 2021-06-17 发布

2020年高中数学第五章数系的扩充与复数5

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‎5.3 复数的四则运算 一、基础达标 ‎1.复数z1=2-i,z2=-2i,则z1+z2等于 ‎(  )‎ A.0 B.+i C.-i D.-i 答案 C 解析 z1+z2=-i=-i.‎ ‎2.若z+3-2i=4+i,则z等于 ‎(  )‎ A.1+i B.1+3i C.-1-i D.-1-3i 答案 B 解析 z=4+i-(3-2i)=1+3i.‎ ‎3.若a,b∈R,i为虚数单位,且(a+i)i=b+i,则 ‎(  )‎ A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1‎ C.a=-1,b=-1 D.a=1,b=-1‎ 答案 D 解析 ∵(a+i)i=-1+ai=b+i,∴.‎ ‎4.在复平面内,复数+(1+i)2对应的点位于 ‎(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B 解析 +(1+i)2=+i+(-2+2i)=‎ ‎-+i,对应点在第二象限.‎ ‎5.设复数i满足i(z+1)=-3+2i(i为虚数单位),则z的实部是________.‎ 答案 1‎ 3‎ 解析 由i(z+1)=-3+2i得到z=-1=2+3i-1=1+3i.‎ ‎6.复数的虚部是________.‎ 答案 - 解析 原式===-i,∴虚部为-.‎ ‎7.计算:+2 010.‎ 解 +2 010=+1 005‎ ‎=i(1+i)+1 005=-1+i+(-i)1 005‎ ‎=-1+i-i=-1.‎ 二、能力提升 ‎8.(2013·新课标)设复数z满足(1-i)z=2i,则z=‎ ‎(  )‎ A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i 答案 A 解析 因为复数z满足z(1-i)=2i,所以z===-1+i.‎ ‎9.若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位),则z为 ‎(  )‎ A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i 答案 A 解析 z====3+5i.‎ ‎10.已知z是纯虚数,是实数,那么z等于________.‎ 答案 -2i 解析 设z=bi(b∈R,b≠0),则=== ‎=+i是实数,所以b+2=0,b=-2,所以z=-2i.‎ ‎11.(2013·山东聊城期中)已知复数z=,若z2+az+b=1+i(a,b∈R),求a+b的值.‎ 3‎ 解 由z=,‎ 得z===1-i,‎ 又z2+az+b=1+i,∴(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,‎ ‎∴(a+b)+(-2-a)i=1+i,∴a+b=1.‎ ‎12.满足z+是实数,且z+3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在?若存在,求出虚数z,若不存在,请说明理由.‎ 解 设虚数z=x+yi(x,y∈R,且y≠0).‎ z+=x+yi+ ‎=x++(y-)i,‎ 由已知得 ‎∵y≠0,∴ 解得或.‎ ‎∴存在虚数z=-1-2i或z=-2-i满足以上条件.‎ 三、探究与创新 ‎13.已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b、c为实数).‎ ‎(1)求b,c的值;‎ ‎(2)试说明1-i也是方程的根吗?‎ 解 (1)因为1+i是方程x2+bx+c=0的根,‎ ‎∴(1+i)2+b(1+i)+c=0,‎ 即(b+c)+(2+b)i=0.∴,得.‎ ‎∴b、c的值为b=-2,c=2.‎ ‎(2)方程为x2-2x+2=0.‎ 把1-i代入方程左边得(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立,‎ ‎∴1-i也是方程的一个根.‎ 3‎