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  • 2021-06-17 发布

2020年高中数学 第一讲绝对不等式的解法

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‎1.2.2‎‎ 绝对不等式的解法 A级 基础巩固 一、选择题 ‎1.不等式>的解集是(  )‎ A.(0,2)       B.(-∞,0)‎ C.(2,+∞) D.(-∞,0)∪(2,+∞)‎ 解析:由绝对值的意义知,>等价于<0,‎ 即x(x-2)<0,解得0<x<2.‎ 答案:A ‎2.不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是(  )‎ A.(-∞,4) B.(-∞,1)‎ C.(1,4) D.(1,5)‎ 解析:法一:当x<1时,原不等式化为1-x-(5-x)<2即-4<2,不等式恒成立;当1≤x<5时,原不等式即x-1-(5-x)<2,解得x<4;当x≥5时,原不等式化为x-1-(x-5)<2即4<2,显然不成立,综上可得不等式的解集为(-∞,4).‎ 法二:由绝对值的几何意义可得数轴上的点x到1,5两点(距离为4)的距离之差小于2的点满足x<4,所求不等式的解集为(-∞,4).‎ 答案:A ‎3.(2017·天津卷)设θ∈R,则“<”是“sin θ<”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:因为<,所以-<θ-<,‎ 即0<θ<.‎ 显然0<θ<时,sin θ<成立.‎ 5‎ 但sin θ<时,由周期函数的性质知0<θ<不一定成立.‎ 故<是sin θ<的充分而不必要条件.‎ 故选A.‎ 答案:A ‎4.若不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),则实数a的取值为(  )‎ A.8 B.2‎ C.-4 D.-8‎ 解析:原不等式化为-6<ax+2<6,即-8<ax<4.‎ 又因为-1<x<2,所以验证选项易知a=-4适合.‎ 答案:C ‎5.当|x-2|<a时,不等式|x2-4|<1成立,则正数a的取值范围是(  )‎ A.a>-2 B.0<a≤-2‎ C.a≥-2 D.以上都不正确 解析:由|x-2|<a,得-a+2<x<a+2,‎ 由|x2-4|<1,得<x<或-<x<-.‎ 所以即0<a≤-2,‎ 或无解.‎ 答案:B 二、填空题 ‎6.不等式|2x-1|+x>1的解集是________.‎ 解析:法一 把|2x-1|+x>1移项,得|2x-1|>1-x,把此不等式看作|f(x)|>g(x)的形式得2x-1>1-x或2x-1<-(1-x),‎ 所以x>或x<0,故解集为.‎ 法二 用分类讨论的方法去掉绝对值符号.‎ 当x>时, 2x-1+x>1,所以x>;‎ 当x≤时,1-2x+x>1,所以x<0.‎ 综上得原不等式的解集为.‎ 答案: 5‎ ‎7.若不等式|x+1|+|x-3|≥a+对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范围是________.‎ 解析:当a<0时,显然成立;‎ 因为|x+1|+|x-3|的最小值为4,所以a+≤4.所以a=2,‎ 综上可知a∈(-∞,0)∪{2}.‎ 答案:(-∞,0)∪{2}‎ ‎8.若关于x的不等式|x+2|+|x-1|<a的解集是∅,则a的取值范围是________.‎ 解析:|x+2|+|x-1|≥|(x+2)-(x-1)|=3,所以a<3.‎ 答案:a<3‎ 三、解答题 ‎9.设函数f(x)=|2x+1|-|x-4|.‎ ‎(1)解不等式f(x)>2;‎ ‎(2)求函数y=f(x)的最小值.‎ 解:(1)由f(x)=|2x+1|-|x-4|,‎ 得f(x)= 作出函数f(x)=|2x+1|-|x-4|的图象(图象略),这与直线y=2的交点为(-7,2)和.‎ 所以|2x+1|-|x-4|>2的解集为(-∞,-7)∪.‎ ‎(2)由y=|2x+1|-|x-4|的图象(图略)可知,‎ 当x=-时,y=|2x+1|-|x-4|取得最小值-.‎ ‎10.(2016·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=|2x-a|+a.‎ ‎(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;‎ ‎(2)设g(x)=|2x-1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求实数a的取值范围.‎ 解:(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.‎ 解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.‎ 因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.‎ ‎(2)当x∈R时,‎ f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|2x-1|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a.‎ 5‎ 所以f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①‎ 当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解;‎ 当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.‎ 所以a的取值范围是[2,+∞).‎ B级 能力提升 ‎1.不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为(  )‎ A.(-∞,-1]∪[4,+∞)‎ B.(-∞,-2]∪[5,+∞)‎ C.[1,2]‎ D.(-∞,1]∪[2,+∞)‎ 解析:由绝对值的几何意义得|x+3|-|x-1|的最大值为4,所以a2-3a≥4恒成立,即a≥4或a≤-1.‎ 答案:A ‎2.若关于x的不等式|x+1|≥kx恒成立,则实数k的取值范围是________.‎ 解析:作出y=|x+1|与y=kx的图象,如图,当k<0时,直线一定经过第二、第四象限,从图看出明显不恒成立;当k=0时,直线为x轴,符合题意;当k>0时,要使|x+1|≥kx恒成立,只需 k≤1.‎ 综上可知,实数k的取值范围为[0,1].‎ 答案:[0,1]‎ ‎3.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.‎ ‎(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;‎ ‎(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.‎ 解:(1)当a=-3时,f(x)≥3⇔|x-3|+|x-2|≥3‎ ‎⇔或 或 ‎⇔x≤1或x∈∅或x≥4.‎ 故不等式解集为{x|x≤1或x≥4}.‎ ‎(2)原命题⇔f(x)≤|x-4|在[1,2]上恒成立⇔|x+a|+2-x≤4-x在[1,2]上恒成立⇔-2-x≤a≤2-x在[1,2]上恒成立⇔-3≤a≤0.‎ 5‎ 故a的取值范围是[-3,0].‎ 5‎