2020年高中数学第四讲数学归纳法证明不等式达标检测新人教A版选修4-5 8页

第四讲 数学归纳法证明不等式 达标检测　‎ 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．用数学归纳法证明“对任意x＞0和正整数n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋＋＋≥n＋‎1”‎时，需要验证的使命题成立的最小正整数值n0应为(　　)‎ A．n0＝1　　　　　　　　 B．n0＝2‎ C．n0＝1,2 D．以上答案均不正确 解析：当n0＝1时，x＋≥2成立，故选A.‎ 答案：A ‎2．从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n级台阶共有f(n)种走法，则下面的猜想正确的是(　　)‎ A．f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n≥3)‎ B．f(n)＝‎2f(n－1)(n≥2)‎ C．f(n)＝‎2f(n－1)－1(n≥2)‎ D． f(n)＝f(n－1) f(n－2)(n≥3)‎ 解析：分别取n＝1,2,3,4验证，得f(n)＝ 答案：A ‎3．设凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形的对角形的条数f(n＋1)为(　　)‎ A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2‎ 解析：凸n＋1边形的对角线的条数等于凸n边形的对角线的条数，加上多的那个点向其他点引的对角线的条数(n－2)条，再加上原来有一边成为对角线，共有f(n)＋n－1条对角线，故选C.‎ 答案：C ‎4．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，n∈N＋能被9整除”，利用归纳假设证n＝k＋1，只需展开(　　)‎ A．(k＋3)3 B．(k＋2)3‎ C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3‎ 解析：n＝k时，式子为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3，‎ n＝k＋1时，式子为(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3，‎ 8‎ 故只需展开(k＋3)3.‎ 答案：A ‎5．下列说法中正确的是(　　)‎ A．若一个命题当n＝1,2时为真，则此命题为真命题 B．若一个命题当n＝k时成立且推得n＝k＋1时也成立，则这个命题为真命题 C．若一个命题当n＝1,2时为真，则当n＝3时这个命题也为真 D．若一个命题当n＝1时为真，n＝k时为真能推得n＝k＋1时亦为真，则此命题为真命题 解析：由完全归纳法可知，只有当n的初始取值成立且由n＝k成立能推得n＝k＋1时也成立时，才可以证明结论正确，二者缺一不可．A，B，C项均不全面．‎ 答案：D ‎6．平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为(　　)‎ A．f(k)＋1 B．f(k)＋k C．f(k)＋k＋1 D．k·f(k)‎ 解析：第k＋1条直线与前k条直线都相交且有不同交点时，交点个数最多，此时应比原先增加k个交点．‎ 答案：B ‎7．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被8整除时，若n＝k时，命题成立，欲证当n＝k＋1时命题成立，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为(　　)‎ A．56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)‎ B．34×34k＋1＋52×52k C．34k＋1＋52k＋1‎ D．25(34k＋1＋52k＋1)‎ 解析：由34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋1＋25×52k＋1＋25×34k＋1－25×34k＋1‎ ‎＝56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)．‎ 答案：A ‎8．数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1通过计算a2，a3，a4，猜想an等于(　　)‎ A. B． C. D． 解析：由a2＝S2－S1＝‎4a2－1得a2＝＝ 由a3＝S3－S2＝‎9a3－‎4a2得a3＝a2＝＝.‎ 8‎ 由a4＝S4－S3＝‎16a4－‎9a3得a4＝a3＝＝，猜想an＝.‎ 答案：B ‎9．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)时，从k到k＋1，左边需要增加的代数式为(　　)‎ A．2k＋1 B．2(2k＋1)‎ C. D． 解析：当n＝k时左边的最后一项是2k，n＝k＋1时左边的最后一项是2k＋2，‎ 而左边各项都是连续的，所以n＝k＋1时比n＝k时左边少了(k＋1)，而多了 ‎(2k＋1)·(2k＋2)．因此增加的代数式是＝2(2k＋1)．‎ 答案：B ‎10．把正整数按如图所示的规律排序，则从2 018到2 020的箭头方向依次为(　　)‎ A．↓→ B．→↓‎ C．↑→ D．→↑‎ 解析：由2 018＝4×504＋2，而an＝4n是每一个下边不封闭的正方形左上顶点的数，故应选D.‎ 答案：D ‎11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应 在n＝k的基础上加上(　　)‎ A．k2‎ B．(k＋1)2‎ C. D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2‎ 解析：∵当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，‎ 当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.‎ 故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故应选D.‎ 答案：D ‎12．若k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱的对角面的个数为(　　)‎ A．‎2f(k) B．f(k)＋k－1‎ C．f(k)＋k D．f(k)＋2‎ 8‎ 解析：如图所示是k＋1棱柱的一个横截面，显然从k棱柱到k＋1棱柱，增加了从Ak＋1发出的对角线k－2条，即相应对角面k－2个，以及A1Ak棱变为对角线(变为相应的对角面)．故 f(k＋1)＝f(k)＋(k－2)＋1＝f(k)＋k－1.‎ 答案：B 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)‎ ‎13．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝2时，若已假设n＝k(k≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立．‎ 解析：∵n＝k为偶数，∴下一个偶数为n＝k＋2.‎ 答案：k＋2‎ ‎14．在数列{an}中，a1＝1，且Sn，Sn＋1,2S1成等差数列，则S2，S3，S4分别为________，猜想Sn＝________.‎ 解析：S1＝1,2Sn＋1＝Sn＋2S1.‎ 当n＝1时，2S2＝S1＋2＝3，S2＝；‎ 当n＝2时，2S3＝S2＋2，S3＝；‎ 当n＝3时，2S4＝S3＋2，S4＝.‎ 猜想Sn＝.‎ 答案：、、　 ‎15．设f(n)＝…，用数学归纳法证明f(n)≥3.在“假设n＝k时成立”后，f(k＋1)与f(k)的关系是f(k＋1)＝f(k)·________.‎ 解析：当n＝k时，‎ f(k)＝…；‎ 当n＝k＋1时，f(k＋1)‎ ‎＝…，‎ 所以应乘·.‎ 8‎ 答案：· ‎16. 有以下四个命题：‎ ‎(1)2n>2n＋1(n≥3)．‎ ‎(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＋2(n≥1)．‎ ‎(3)凸n边形内角和为f(n)＝(n－1)π(n≥3)．‎ ‎(4)凸n边形对角线条数f(n)＝(n≥4)．‎ 其中满足“假设n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，则当n＝k＋1时命题也成立．”但不满足“当n＝n0(n0是题中给定的n的初始值)时命题成立”的命题序号是________．‎ 解析：当n取第一个值时经验证(2)，(3)，(4)均不成立，(1)不符合题意，对于(4)假设n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，则当n＝k＋1时命题不成立．所以(2)(3)正确．‎ 答案：(2)(3)‎ 三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(12分)用数学归纳法证明对于整数n≥0，An＝11n＋2＋122n＋1能被133整除．‎ 证明：(1)当n＝0时，A0＝112＋12＝133能被133整除．‎ ‎(2)假设n＝k时，Ak＝11k＋2＋122k＋1能被133整除．‎ 当n＝k＋1时，‎ Ak＋1＝11k＋3＋122k＋3＝11·11k＋2＋122·122k＋1‎ ‎＝11·11k＋2＋11·122k＋1＋(122－11)·122k＋1.‎ ‎＝11·(11k＋2＋122k＋1)＋133·122k＋1.‎ ‎∴n＝k＋1时，命题也成立．‎ 根据(1)(2)，对于任意整数n≥0，命题都成立．‎ ‎18．(12分)设{xn}是由x1＝2，xn＋1＝＋(n∈N＋)定义的数列，求证：xn<＋.‎ 证明：(1)当n＝1时，x1＝2<＋1，不等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥1)时，不等式成立，即xk<＋，那么，当n＝k＋1时，xk＋1＝＋.‎ 由归纳假设，xk<＋，则<＋，‎ >.∵xk>，∴<.‎ ‎∴xk＋1＝＋<＋＋＝＋≤＋.‎ 即xk＋1<＋.‎ 8‎ ‎∴当n＝k＋1时，不等式xn<＋成立．‎ 综上，得xn<＋(n∈N＋)．‎ ‎19．(12分)证明：tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(n－1)α·tan nα＝‎ －n(n≥2，n∈N＋)．‎ 证明：(1)当n＝2时，左边＝tan α·tan 2α，‎ 右边＝－2＝·－2‎ ‎＝－2‎ ‎＝＝＝tan α·tan 2α＝左边，等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立，即 tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＝－k.‎ 当n＝k＋1时，‎ tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＋tan kα·tan(k＋1)α ‎＝－k＋tan kα·tan(k＋1)α ‎＝－k ‎＝[1＋tan(k＋1)α·tan α]－k ‎＝[tan(k＋1)α－tan α]－k ‎＝－(k＋1)，‎ 所以当n＝k＋1时，等式也成立．‎ 由(1)和(2)知，当n≥2，n∈N＋时等式恒成立．‎ ‎20．(12分)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N＋)．‎ ‎(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；‎ ‎(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．‎ 解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.‎ 当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝.‎ 当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.‎ 8‎ 当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，‎ ‎∴a4＝.‎ 由此猜想an＝(n∈N＋)．‎ ‎(2)证明：当n＝1时，a1＝1，结论成立．‎ 假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，即ak＝，‎ 那么n＝k＋1(k≥1且k∈N＋)时，‎ ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1.‎ ‎∴2ak＋1＝2＋ak，∴ak＋1＝＝＝.‎ 这表明n＝k＋1时，结论成立，‎ 所以an＝(n∈N＋)．‎ ‎21．(13分)在平面内有n条直线，每两条直线都相交，任何三条直线不共点，求证：这n条直线分平面为个部分．‎ 证明：(1)当n＝1时，一条直线把平面分成两部分，而f(1)＝＝2，所以命题成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥1)时命题成立，即k条直线把平面分成f(k)＝个部分．‎ 则当n＝k＋1时，即增加一条直线l，因为任何两条直线都相交，所以l与k条直线都相交，有k个交点；又因为任何三条直线不共点，所以这k个交点不同于k条直线的交点，且k个交点也互不相同，如此k个交点把直线l分成k＋1段，每一段把它所在的平面区域分为两部分，故新增加了k＋1个平面部分．‎ 所以f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＝＋k＋1＝＝.‎ 所以当n＝k＋1时命题也成立．‎ 由(1)(2)可知当n∈N＋时，命题成立，‎ 即平面上通过同一点的n条直线分平面为个部分．‎ ‎22．(13分)设x1>0，x1≠1，且xn＋1＝，n∈N＋.用数学归纳法证明：如果00.‎ 由(1)、(2)知n∈N＋时命题都成立．‎ xn－xn＋1＝xn－ ‎＝ ‎＝<0，于是xn